Verso la Cinematica in 2D: vettori e loro rappresentazione

VERSO LA CINEMATICA in 2D

+ 1 2D P(x,y) -x ++x 0 -y

I Vettori

b a a+b

Somma di vettori in 2 dimensioni

Se si lavora in sistemi di riferimento a due dimensioni e se i due vettori da sommare (10 Km e 5 Km) non giacciono lungo la stessa retta, come in figura, bisogna fare attenzione.

y (km) | nord 6 + Spostamento risultante > 4 DR=D1 +D2 1 2 - angolo retto 0 D x (km) ovest 0 2 4 6 8 10 vettori da sommare sud

Pitagora (Samo, 580 a.C. circa - Metaponto, 495 a.C. circa)

In questo caso i vettori da sommare sono ortogonali, ossia formano un angolo retto, e il modulo del vettore risultante, che rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti i due vettori originali, può dunque essere calcolato con il teorema di Pitagora: DR = D2 + D2= (10.0km)2 + (5.0km)2 = 2 = 1125km =11.2km

C2 C A A2 B B2 2 C2 = B2 + A2 -> C=VB2 + A2 est

Somma di vettori in 2 dimensioni

Se si lavora in sistemi di riferimento a due dimensioni e se i due vettori da sommare (10 Km e 5 Km) non giacciono lungo la stessa retta, come in figura, bisogna fare attenzione.

y (km) | nord 6 + Spostamento risultante > 4 DR=D1 +D2 1 2 - angolo retto 0 D x (km) est 2 4 6 8 10 vettori da sommare sud

Pitagora (Samo, 580 a.C. circa - Metaponto, 495 a.C. circa)

In questo caso i vettori da sommare sono ortogonali, ossia formano un angolo retto, e il modulo del vettore risultante, che rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti i due vettori originali, può dunque essere calcolato con il teorema di Pitagora: DR = D2 + D2 = (10.0km)2 + (5.0km)2 = = \125km2 =11.2km Notiamo anche che il vettore risultante forma un certo angolo 0 con l'asse x positivo (vedremo dopo come ricavarlo).

C A A2 B B 2 C2 = B2 + A2 -> C=VB2 + A2 ovest 0

Metodi per la somma grafica di due o più vettori

Punta Coda o Punto di Applicazione Generalmente le tre informazioni che individuano una grandezza vettoriale (e dunque il vettore ad essa corrispondente) sono:

• l'intensità o modulo (un numero reale con unità di misura)
• la direzione (l'insieme delle rette parallele al vettore dato) il verso (uno dei due versi di percorrenza, data una direzione)

Vettore risultante V R + V2 = (a) Coda-punta V 1 1 Se i vettori da sommare hanno lo stesso punto di applicazione: VR R 2 = V2 1 V + (b) Parallelogramma V stesso punto di applicazione Se i vettori da sommare sono disposti l'uno consecutivamente all'altro:

Scomposizione di un vettore nelle sue componenti

Le componenti di un vettore rispetto agli assi coordinati di un certo sistema di riferimento, in questo caso a 2 dimensioni, sono due vettori, mutuamente perpendicolari e diretti lungo gli assi medesimi, la cui somma è uguale al vettore originario:

y nord y I V x y 0 (=30°) I x 0 est x Ai moduli Vx e Vy delle due componenti si attribuisce un segno positivo o negativo a seconda che i rispettivi vettori siano rivolti nel verso positivo o negativo degli assi coordinati, ed essi contengono tante informazioni quante il vettore di cui rappresentano le componenti. Notare che le componenti di un dato vettore cambiano se cambia la scelta degli assi coordinati, cioè del sistema di riferimento. Essendo questa scelta sempre arbitraria, spesso una buona selezione degli assi può ridurre il lavoro necessario per sommare dei vettori.

Rappresentazioni polare e cartesiana di un vettore in 2D

Abbiamo dunque due modi per rappresentare un vettore in un dato sistema di coordinate in 2D:

1. Darne il modulo V e l'angolo che il vettore forma con l'asse x (rappresentazione polare)
2. Darne le componenti Vx e Vy (rappresentazione cartesiana)

y nord - V POLARE 0 - -x 0 est (a) y nord y CARTESIANA 0 I 0 x est V x (b)

Un po' di trigonometria

Per sommare vettori con il metodo delle componenti dobbiamo ricorrere alle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente (i cui valori sono numeri puri e sono funzioni solo dell'angolo 0, cioè non cambiano se non cambia l'angolo):

Teorema di Pitagora

h2 = o 2 + a 2 h' ipotenusa h 0' h 0 0 e e a lato opposto all'angolo a lato adiacente all'angolo (b) (c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ sent = lato opposto o h h' = ipotenusa lato adiacente a a' ⎨ cos 0 = ipotenusa h h' tg0= lato opposto 0 = lato adiacente a a' 2 utili identità trigonometriche ⎨ ⎪ ⎪ a ha cose A+cos20= 2 + 92 2 = h2 o 2 + a 2 = h2 h2=1 (T.Pitagora, per h=1) tgQ =º oh sene (Definizione di tangente) = à' (a)

Variazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza goniometrica (di centro l'origine e raggio unitario)

h 0 cos90° = 0 sin90° = 1 B [0;1] ℮ a sinĄ P [0,73; 0,68] h=1 cos180º = - 1 sin180° = 0 e C [-1 0) 0 cose A [1;0] cosO" = 1 sin0" = 0 D [0]-1] cos270" = 0 sin270" = - 1

sen0= lato opposto ipotenusa lato adiacente cos 0 = ipotenusa

angolo in gradi	seno	coseno
0°	0	1
30º	0,5	0,87
45º	0,71	0,71
60º	0,87	0,5
90º	1	0
180º	0	-1

sin 0 € [-1,1] cos 0 € [-1,1]

Misura degli angoli nel Sistema Internazionale: il radiante

Il radiante (rad) è l'unità di misura degli angoli nel Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità derivata). Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza spazzato dall'angolo, diviso per la lunghezza del raggio di tale circonferenza. Ne deriva che un radiante è pari all'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, è uguale al raggio della circonferenza stessa. In altre parole, un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

l 8 rad r l V a O r

Quanti radianti ci sono in una circonferenza C?

C= 2mr 7

Quante volte il raggio r è contenuto nella circonferenza C?

r C - = 2x circonferenza diametro centro raggio

Misura degli angoli nel Sistema Internazionale: il radiante

Il radiante (rad) è l'unità di misura degli angoli nel Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità derivata). Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza spazzato dall'angolo, diviso per la lunghezza del raggio di tale circonferenza. Ne deriva che un radiante è pari all'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, è uguale al raggio della circonferenza stessa. In altre parole, un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Quanti radianti ci sono in una circonferenza C? Quante volte il raggio r è contenuto nella circonferenza C?

l 8 rad r l V a O r

C = 2xr > r C - = 2x

Prime 100 mila cifre decimali del pi greco

Si riportano di seguito le prime centomila e uno cifre del pi greco: quella delle unità, 3, seguita dalle prime centomila cifre decimali.[4] 3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891

Misura degli angoli nel Sistema Internazionale: il radiante

Il radiante (rad) è l'unità di misura degli angoli nel Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità derivata). Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza spazzato dall'angolo, diviso per la lunghezza del raggio di tale circonferenza. Ne deriva che un radiante è pari all'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, è uguale al raggio della circonferenza stessa. In altre parole, un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

l 8 rad r l V a O r

Quanti radianti ci sono in una circonferenza C?

C= 2mr 7

Quante volte il raggio r è contenuto nella circonferenza C?

C - = 2x r -> 1 angolo giro = 360° = 27 rad -> 1 angolo piatto = 180° = I rad

Angolo piatto Angolo giro Angolo nullo O Ó Ò

Misura degli angoli nel Sistema Internazionale: il radiante

Il radiante (rad) è l'unità di misura degli angoli nel Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità derivata). Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza spazzato dall'angolo, diviso per la lunghezza del raggio di tale circonferenza. Ne deriva che un radiante è pari all'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, è uguale al raggio della circonferenza stessa. In altre parole, un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

l 8 rad r l V a O r

C= 2mr 7

C - = 2x r -> 1 angolo giro = 360° = 21 rad -> 1 angolo piatto = 180° = I rad

Come si trasformano i gradi in radianti e viceversa?

a = 360°= αrad rad 180° 7 π

a° =- 180°=57.29º = rad 360° 2x = π 180°

A quanti gradi corrisponde un radiante e viceversa?

π rad = 1º 180° n=0.017

Quanti radianti ci sono in una circonferenza C?

Quante volte il raggio r è contenuto nella circonferenza C?

Variazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza goniometrica per angoli espressi in radianti

COS(1/2)=0 sin(π/2)=1 B [0;1] sin Q P [0,73; 0,68] COST =- 1 sinn=0 α C [-1 0) 0 cosa A [1;0) cos0 =1 sin 0 = 0

angolo in gradi	angolo in radianti	seno	coseno
0°	0	0	1
30°	0,52	0,5	0,87
45º	0,79	0,71	0,71
60º	1,05	0,87	0,5
900	1,57	1	0
180º	3,14	0	-1

D [0 -1) 3 COS-I= 0 2 3 sin-I =- 1 2