הרצאה 1: סדרות של פונקציות וטורי חזקות במתמטיקה

סדרות של פונקציות

הרצאה 1 סדרות של פונקציות דוגמא: תחום ההגדרה הטבעי של סדרת הפונקציות / = fn x הוא חצי הישר הממשי (0,00]. ידוע לנו כי לכל 0 < x. מתקיים

lim n/x = 1 n->00 כאשר 0 = x), הגבול הוא 0, ולכן תחום ההתכנסות של הסדרה הוא (0,00] = D, והפונקציה הגבולית של הסדרה היא

[0, x= 0 1, x>0 1.8 1.6 1.4. 12 0.6 0.4 0.2 -01 1.9 1.8 1.5 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.6 0.5 04 0.3 0.2 0.1 -02 -04- -0.6.

התכנסות נקודתית

הגדרה: תהי ( fn x סדרת פונקציות בתחום D. נאמר כי (x) .חל מתכנסת נקודתית לפונקציה ( f (x אם לכל x ED

lim fn (x) = f (x) n>00 או באופן שקול: לכל x E D . ולכל 0 < = קיים N כך שלכל < מתקיים

Ifn (x) - f (x)| <€ 1 f(x)={ 0.7הגדרה: נאמר שסדרת פונקציות ( fn (x מתכנסת במידה שווה לפונקציה ( f (x בתחום D, אם לכל 0 < E, קיים N כך שלכל N < ₪ Ifn (x) - f (x)| <€ לכל x E D .

דוגמאות להתכנסות סדרות פונקציות

דוגמא: אם נחזור לדוגמא איתה התחלנו, ניתן לשים לב כי עבור = = לכל N קיים N < ח מתקיים (0,00] = n = 2m ). ובנוסף < 5- 11- 12- (24) " - (24) הל ולכן הסדרה לא מתכנסת במידה שווה בקטע (0,00]. שימו לב שניתן להפעיל הגיון דומה גם בתת הקטע (0,1) אך אם נתבונן בקטע מהצורה (1,a] כאשר 0 < a לא ניתן יהיה לבחור את סדרת נקודות אלו מאחר והיא לא שייכת לקטע. למעשה, בקטע זה הסדרה כן מתכנסת במידה שווה.

דוגמא: נראה לפי ההגדרה כי סדרת הפונקציות

nx 1 + n2x2 fn (x) =: לא מתכנסת במידה שווה בקטע [0,1]. עבור 0 # x

nx lim n+ 1 + n2 x2 = lin 4 + 12 81 2 = 0 ועבור 0 = x. הגבול הוא 0. לכן 0 = ( f (x . נבחר = 8. לכל N קיים < n כך שעבור 1 = x מתקיים

기 = = >> 1+1 Ifn (x) - f (x)|= ולכן לפי ההגדרה הסדרה לא מתכנסת במידה שווה בקטע [1, 0].

לעומת זאת, ניתן לראות שסדרה זו מתכנסת במידה שווה לפונקציית האפס בקטע [1 ,ל]:

2 n Ifn (x) - f (x)| == 1 + n2x2 na < 1 nx SEKE באופן כללי ניתן להוכיח כי לכל 0 < a הסדרה מתכנסת במידה שווה בקטע [1 ,a].

התכנסות במידה שווה

משפט (מבחן הסופרמום): סדרת פונקציות ( fn. (x מתכנסת במידה שווה לפונקציה ( f (x בתחום D אם ורק אם

lim sup |f (x) - fn (x)| =0 n+00 xED או באופן שקול: אם נסמן ( n = pED f (x - fn (x , נרצה לבדוק אם ) .

דוגמא: נתבונן בסדרת הפונקציות הבאה

1 fn (x) = n\1+ x2 2אשר מתכנסת נקודתית ל־0 = ( f (x על כל R. נשים לב שלכל ח טבעי מתקיים

1 1 sup |f (x)-fn(x)|=sup |0-fn (x)| =sup xER DER n\1+ x2 n lim sup |f (x) - fn (x)| = lim == 0 n+00 xER noon ולכן ולפי מבחן הסופרמום ניתן להסיק כי הסדרה מתכנסת במידה שווה בכל R.

רציפות פונקציות

משפט: אם סדרת פונקציות רציפות ( fn. (x מתכנסת במידה שווה לפונקציה ( f (x בתחום .D רציפה בתחום f (x) אזי ,D

הערה: רציפות פונקצית הגבול לא מבטיחה התכנסות במידה שווה.

מסקנה: אם ( f (x היא סדרת פונקציות רציפות המתכנסת נקודתית לפונקציה ( f (x שאינה רציפה, אזי ההתכנסות אינה במידה שווה.

= ( fn (x בקטע [0,1].

דוגמא: In2x, 05x≤1 2>1 n לכל 0 < x קיים N כך שלכל N < מתקיים 1 < x ואז 0 = fn. (x . לכן, פונקציית הגבול היא 0 = ( f (ax .

1 fn (x) dx = n2xdx + 1 Odar = 2 7 - 1mio 1 2 0 1 אבל פונקציית הגבול של סדרת הפונקציות היא 0 = ( f (x . כלומר קיבלנו

1 1 In (x) dx + f (x) dx 2 1 0

אינטגרביליות פונקציות

משפט: תהי ( fn. (x סדרת פונקציות אינטגרביליות המתכנסת במידה שווה לפונקציה ( f (x בקטע [a,b], אזי ( f (x אינטגרבילית בקטע [a,b] ובנוסף מתקיים

F (x) = f (t) dt = lim fn (t) dt a 1700 T =F (x) 3במידה שווה.

דוגמא: 1222 = fn x בקטע [1,a] כאשר 0<. nt 1 + 2+ 2 dt = Fn (x) = \ fn (t) dt = [ a a 1+n2 2 1++n2a2 1 = 1 2n2 = [u = 1 + 2+2, du = 2n2tdt] 1+n2x2 1+n2x2 In |u = 1 2n 1 du = 2 2n 1+n2a2 1 1 + n2x2 In 2n 1 + n2a2 -> 0 = F (x) ולכן Fn (x) =~ 1 - In 1+ n2x2 2n 1 + n2a2 במידה שווה.

גזירות פונקציות

דוגמא: נתבונן בסדרת הפונקציות + 2 = fn x בכל R. זוהי סדרה של פונקציות גזירות המתכנסת לפונקציה | | = ( f (x אשר לא גזירה עבור 0 = x. נבדוק התכנסות במידה שווה על פי ההגדרה. יהי 0 < 8. נרצה למצוא N טבעי כך שלכל < ולכל x ER . מתקיים

= x2+ -. 1 V n - [x] Vx2 + 2 + |x| Vx2 + 2 + |x| Ifn (x) - f (x) = \x2 += - x 1 V Vn < 10+1+0 1 n 1 n Vx2 + 1 + 1xl לשם כך נבחר ל- N ונקבל כי סדרת הפונקציות מתכנסת במידה שווה בכל R.

דוגמא: סדרת הפונקציות fnx = sin (nt היא סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במידה שווה לפונקציה גזירה 0 = f x . אך סדרת הנגזרות fir ( =cost לא מתכנסת n נקודתית.

משפט: יהיו ( fn x פונקציות גזירות ברציפות בקטע [ fn x) ,[a, b מתכנסות במידה שווה בקטע [a,b] ובנוסף (fna סדרת מספרים מתכנסת, אזי ( fn x מתכנסת במידה שווה לפונקציה גזירה ( f (x ומתקיים

f' (x) = lim f1 (x) n+00 4 11+n2a2 n+00 0 x ndu

טורי פונקציות

הרצאה 2 טורי פונקציות

הגדרת טור פונקציות

הגדרה: תהי ( fn x סדרת פונקציות בתחום D. הביטוי

OC fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + .. n=1 נקרא טור פונקציות.

סדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי

n Sn (x) = Lfk (x) k=1 נאמר כי הטור מתכנס נקודתית אם סדרת הסכומים החלקיים ( Sn (x , מתכנסת נקודתית. נאמר כי הטור מתכנס במ״ש אם סדרת הסכומים החלקיים ( Sn (x , מתכנסת במידה שווה.

תחום התכנסות של טור פונקציות

דוגמא: נמצא את תחום ההתכנסות של הטור

00 n+1 n=1 נבדוק התכנסות בהחלט על פי מבחן המנה של דאלמבר

= |x| = n+1 no0 n + 2 lim en+1 n+2 n+1 x = lim n=>00 an+1 Jan| lim n=>00 על פי מבחן המנה, הטור מתכנס עבור 1 > |x|, ומתבדר עבור 1 < | x|. הצבת 1 = x נותנת טור הרמוני מתבדר והצבת 1 - = x נותנת טור לייבניץ מתכנס. לכן תחום ההתכנסות של הטור הוא (1,1-].

התכנסות במידה שווה של טורים

מתכנס במידה שווה לפונקציה משפט (מבחן הסופרמום): טור הפונקציות ( On-l fn x ( S (x בתחום D אם ורק אם

fk (x) = 0 lim sup n+00 xED lk=n+1 00 1Mn נרצה לבדוק אם ,Mn = suPTED Eken או באופן שקול: אם נסמן | ( fk (x ) .0 00 הביטוי ( Rn (x=)+1 fk (x הוא הזנב של הטור.

ונבדוק התכנסות במידה שווה בכל R.

00 (-1)" דוגמא: נתבונן בטור הפונקציות 3/142 . 1=In נתחיל בבדיקת התכנסות נקודתית. נשים לב כי טור זה הוא טור לייבניץ מתכנס מאחר ולכל 1 מונוטונית יורדת ושואפת ל־0. לכן הטור מתכנס נקודתית בכל R. n 1/1+22 הסדרה x כעת, נעבור לבדיקת התכנסות במידה שווה באמצעות מבחן הסופרמום. מאחר ומדובר בטור לייבניץ, ידוע לנו כי מתקיים

=0 lim sup n+00 xER (n +1) n+/1 + x2 1 (n+1) "+1+a2 (-1)"+1 n+00 LER ≤ lim sup lim sup n+00 xER k=n+1 8 k¥1+ x2 (-1)" לכן, לפי מבחן הסופרמום, ניתן להסיק כי הטור מתכנס במידה שווה בכל R.

מבחן ה-M של ויירשטראס

00 טור פונקציות נתון בתחום D. אם משפט (מבחן ה־M של ויירשטראס): יהי ( m=lfn x 1. קיים טור מספרים חיובי מתכנס Mn 1 -. 2. קיים מספר טבעי N, כך שלכל N < ולכל x ED . מתקיים Ifn (x)| ≤ Mn אז הטור ( fn x _( מתכנס במידה שווה ובהחלט בתחום D.

דוגמא: mitment בקטע [0,1]. נסמן fnx= then .סדרת הפונקציות הנ״ל רציפה ולכן היא מקבלת מקסימום בקטע הסגור [0,1]. לכן, נחפש נקודות חשודות fn (x) =ngn-le-na - nine ni = 0 לכן nan-1(1-x) = 0 c = 0,1 ולכן נקודת המקסימום היא 1 = at, זאת מאחר ו־0 = (0) fn. כלומר קיבלנו כי > ( fm (x . e-n. מכאן, נוכל להשתמש במבחן ה־M של ויירשטראס ביחד עם הטור ההנדסי המתכנס .Enzie-n

רציפות סכום טור פונקציות

משפט: אם ( fn. (x סדרת פונקציות רציפות בתחום D, ואם הטור

S (x) = >fn (x) 00 n=1 מתכנס במידה שווה בתחום D, אז הפונקציה ( S (x רציפה בתחום D.

הוכחה: הסדרה (St מתכנסת במידה שווה לפונקציה (x) . מאחר ו-(ג) חל רציפות אז גם ( Sn (x , רציפות כסכום סופי של פונקציות רציפות. לכן ממשפט עבור סדרות של 2פונקציות ( S (x רציפה. מש״ל.

אינטגרציה איבר-איבר

משפט (אינטגרציה איבר־איבר): אם טור הפונקציות ( S x= )_ fn x מתכנס במידה שווה בקטע הסגור [a,b], ואם ( fn x סדרת פונקציות אינטגרביליות בקטע [ a, b ] אזי ( S (x אינטגרבילית בקטע [a,b] ומתקיים

n=1' a b 00 S (x) dx = ৳ 1 a הוכחה: מאחר ו־(ft אינטגרביליות אז ( Sn, אינטגרביליות ולכן על פי משפט עבור סדרות של פונקציות ( S (x אינטגרבילית.

בנוסף, מתקיים

b b S (x) dx = lim | Sn (x) dx n+00 a a על פי תכונות אינטגרל מסוים מתקיים

a b fk (x) dx k=1 fk (x) dx = lim > n b b Sn (x) dx = lim n+00 > n lim 1 a k=1 a n שואפת ל־ fa S ( dar ולכן קיבלנו Ek=1 כלומר סדרת הסכומים החלקיים b fk (x) dx ) את הדרוש. מש״ל.

דוגמא: נחשב את האינטגרל

1 00 (n+1) xn dx 22 n=1 0 0 מתכנס במידה שווה בקטע [0,1] על פי מבחן ה־M של ויירשטראס

> n=1 2n הטור 100 n+1 עם הטור ולכן נוכל לבצע אינטגרציה איבר־איבר ולקבל

n=1 27 1 = 1 1 22 00 xn+1 22 1 0 (n+1) x™ 22 dx n=1 00 0 1 n=1 00 n=1 (n+1) x2 22 0

גזירה איבר-איבר

משפט (גזירה איבר־איבר): יהי ( S )= _ f (x טור פונקציות אשר מתכנס נקודתית בנקודה [ a, b ] . .. אם כל הפונקציות ) fn גזירות ברציפות בקטע [ a, b ] ואם טור הנגזרות ( if t ( מתכנס במידה שווה בקטע [a,b] אזי

00 S' (x) = >fh (x) n=1 ובנוסף, הטור ( mfn( מתכנס במידה שווה. 3 n=1 E fn (x) dx = 00 fn (x) dx a 100 (n+1)x" n+00דוגמא: נחשב את הסכום

00 n22-1 n=1 בקטע [1,1-]. נתבונן בטור הנגזרות ונקבל

00 rn 00 n 2 2 - x 00 n=1 כעת, נרצה לוודא שתנאי המשפט מתקיימים 1. הטור הנתון מתכנס נקודתית ב־0 = 0 . מאחר ונקבל סכום של אפסים. 2. סדרת הפונקציות שהטור סוכם הן גזירות ברציפות בקטע כפולינומים. .Mn = 1 3. טור הנגזרות מתכנס במידה שווה לפי מבחן ה־M של ויירשטראס עם ד-21 לכן לפי משפט גזירה איבר־איבר נקבל

2 S' (x) = 2- I לכן S (x) = [ 2dx =- 2ln (2-x) +c 2 - x על ידי הצבת 0 = x בטור המקורי נקבל 0 = (0) S ונקבל ש־4 c = In לכן

00 4 = In n22-1 n=1 S (x) = (2 - x)2 1 - 1 2 n=1 n22-1 - 22-1 xn-1 00 n=0 n=0 812 4

טורי חזקות

הרצאה 3 טורי חזקות

הגדרת טור חזקות

הגדרה: טור פונקציות מהצורה

ang" = ao + aix + a242 + ... +ang" + ... n=0 נקרא טור חזקות. הקבועים an נקראים מקדמי הטור.

דוגמא: 00 1+3+ 22+3+ ... = " n=0 נציב 0 =: נקבל ··· + 1+0+0+0 ולכן הטור מתכנס. נציב 1 - = 00: נקבל" (1-) -( טור מתבדר. נציב = : נקבל ( ח) טור הנדסי מתכנס. נציב 3 = : נקבל 32 _< טור מתבדר.

דוגמא: an 00 n! 1+2+ +5+ ... = n=0 נציב 0 =: נקבל ·· · + 1+0+0+0 ולכן הטור מתכנס. טור מתכנס. למשל, לפי מבחן המנה נציב 0 < 20: נקבל Daf .n+1 lim (n+1)! = lim TO = 0 n+con +1 n+co n! זהו טור המתכנס בהחלט. n! נציב 0> x = - yo כאשר 0 <0: נקבל ty) .

תחום התכנסות של טור חזקות

הגדרה: לקבוצת הנקודות . עבורן טור החזקות מתכנס נקרא תחום ההתכנסות של הטור.

תחום התכנסות של טור חזקות משפט: אם טור חזקות n ance ( מתכנס עבור נקודה ז = x, אזי הוא מתכנס בהחלט לכל 20. המקיים | | > ato). בנוסף, הוא מתכנס במ״ש בכל קטע [ xo, xo -] עבור כל 20. המקיים | | > > 0.

הוכחה: יהי 20 המקיים | | |. נוכיח כי הטור מתכנס במידה שווה 1ובהחלט בקטע [ o, xo -]. לשם כך נשתמש במבחן ה־M של ויירשטראס. מהתכנסות M חסומה, ולכן קיים {ann_ ולכן הסדרה lim-w ant= נובע כי n anrn כך שלכל n E N מתקיים lan TrIS M לכן לכל [ x E [-ato, xo ולכל n EN מתקיים n Janan S lanxol = fantry . 50 rn <M LO T קיבלנו שכל פונקציה fn x = ance חסומה על ידי המספר " | | M. מאחר ו־1 > z], Me הוא טור הנדסי מתכנס. לכן על פי מבחן ה־M של ויירשטראס הטור . In an מתכנס במידה שווה ובהחלט בקטע [ to, to -]. מש״ל.

משפט: תחום ההתכנסות של טור חזקות n ance חייב להיות בעל אחת מהצורות הבאות: 1. נקודה בודדת {0}. 2. קטע פתוח מהצורה (R,R-). 3. קטע סגור מהצורה [ R, R -]. 4. קטע חצי סגור מהצורה ( R, R -] או [ R, R -). 5. כל הישר הממשי (00,0%-).

רדיוס ההתכנסות

הגדרה: המספר R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור.

הוכחה: נסמן ב־D את תחום ההתכנסות של טור החזקות Ln ance . ידוע לנו כי כל טור חזקות מתכנס עבור 0 = % ולכן D לא ריקה. לכן נוכל להגדיר .R = sup (D) נחלק למקרים: 1. אם R < %0. אז הטור מתבדר ב־%0. מאחר ו־ ao # D . 2. אם co -R , נניח בשלילה שהטור מתכנס ב־%0 ... אזי קיים | |> R < x1 עבורו הטור מתכנס. בסתירה לכך ש־R הוא חסם עליון של D. 3. אם R > > אז קיים x1 ED כך ש־ x <21<R ולכן הטור מתכנס ב־20 .. 4. אם 0 >> R- אז קיים x1 ED כך ש־ xo <21 <R | ולכן הטור מתכנס ב־200. מש״ל.

משפט (נוסחת קושי־אדמר): רדיוס ההתכנסות של טור החזקות mance הוא

R= lim ~lan 1 n+co 2