Apunts de Matemàtiques: funcions, derivades, integració i geometria

Matemàtiques

Funcions

Concavitat i Convexitat

f(x) -
1
'(x) -> {" (x ) 2a derivada
f"(x) > 0
+
côncava
minim
O
f"(x) < 0
convexa
maxim
{"(x) = 0
PUNT
D'inFlexió
PUNT
D'inFlexió
( - d) , a) U ( b , + w ) concava
( a, b) convexa

Extrems Relatius

maxim
-
f'(x) = 0
minim
-
a mirem la segona derivada
b. mirem el creixement I Decreixement de la funció en Punts ProPERS
max
€ '(3) > 0
3 4 5
{ ' (5) < 0
Decreix
f' (3) < 0
Decreix
34 5
{ ' (5 ) > 0
creix

Creixement i Decreixement

f'(x) >0
creix
1
f'(x) <0
Decreix
T
-0
-0
-U
(-00, a) U (b, c) Decreix
(a, b) U ((1+00) creix

Continuïtat

lim f(x) = lim f(x)
x-d-
x-a+

Derivabilitat

lim f (x ) = lim f(x )
x-d-
x-a+

Bolzano

Sigui una funció continua en (a,b)
si el signe de f(d) és diferent al de f(b) :
f(a) - i flb) +
f(x)=0
d
b
flavors com a minim existeix un PunT
Tal que XE (a,b) on f(x) = 0.

Discontinuïtat

f(x) = 3x-2
x2_4
f(2)=1 =00
assintoTica
vertical

Horitzontal (N grau de x)

f(x) = x =00
lim = 0
D >N
lim = núm.
x-00
D = N
m = lim
x+00
X
+(x)
n = lim f(x) - mx
x-00
no existeix Si :
. la diferencia de graus > 1
x* / x4 X 7-4=3
x 5 / ** V 5- 4 = 1
. Hi HA ds. HORITZonTal
lim f(x) = lim f(x) De saIT
x +a+
x>d-

Domini

DOM f
- DO
+ 00
Dom f = IR
TOTS els Reais
+00
-00
d
-00
-Fo
+ 00
as. vertical !
Domf = (-00, a) U (d,+00)

Obliqua

y = mx + n
X700
lim = 00
x+00
DEN
X
f(x)
x>a g(x)
0
evitable
-
Regia de l'Hôpital
f'(x)
-
lim
x->d
g'(x)
D. SAIT
Domf = IR-{x = a>
= {XER|xza }
= (-00, a) ula,+00)
a
1
b
Per saber Si l'exTrem ēs max o min :
max
min
min
creix
max
min
. min
f(a) + i flb) -
lim
3.
00

Derivació

f(x) =
('(x) =
f(x)=
--
{'(x) =

Operacions amb Derivades

f(x)
f' (x)
· constant K:
k f(x)
k· f'(x)
tanx
1
nx
n
xn
nxn-1
f(x) =
{'(x) =
In x
-1x
loggx
_ 10ge
x
f(x) =
f(x) =
k (núm.)
O
Sinx
1-42
1 -u1
dx = arcos u + C
11 - 42
o suma / resta:
f(x) =g(x)
f'(x) ± g(x)
arcsinx
NI-x2
arcosx
-1
o Producte :
f(x).g(x)
f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
VI-x2
arcTan
1
1+x2
o Divisió :
f(x)
f'(x)g(x) -f(x)g'(x)
9(x)
g(x)2
ex
ex
ax Ina

Optimització

maxims / minims de la funció igualant f'(x) =0.

Integració

J ax = x +C
Jddx = ax +C
Jxmax = ** +1 +c
n + 1
J & dx = Inx +C
Jex dx = e* + C
Je". u'ax = eu+c
[ cosx dx = sinx + C
[ sinx dx = - Cosx + C
S
-
dx = +gx +C
cos2x
[ (1 +gx) dx = +gx + C
Jdx = dresinx +C
- x2
dx = arcosx +C
1-
×2
J
1+x2 x = arctg x +C
"1 dx = arctgu+c
1+ 42
[ ax dx = ax + C
Ju1.0" ax = "+c
Jul cosu ax = sinu + C
Ju' sinu ax = - cosu + C
dx = +gu + c
costu
-
"
dx = arcsinu + C
Cosx
×
1
COS X
- sinx
Cos2x
o

Integració d'Àrees

f(x)
g(x)
0
la
6
[°f(x)-g(x) = f(x)-gim[° =[+(b)-jg(b) -[a]-[g(a]
d
únicamente esTant en un quadrant Positiv de y;
Si el resultat és negaTiu, les Funcions estan en un ordre
Incorrecte i, per Tant, agafem el valor absolut.

Casos d'Àrea Negativa

. area de f(x) entre a i b
+
1. Trobem Punt on f(x)=0 => P
a
0
O
P
6
( d , b)
PUNTS De Tall :
igualem les Funcions en y ~f(x)~ g(x)
2. area negativa > valor absolut
10 (x) ax = f(x) =+(P)-fra)=A-
3. area Positiva
P
[ f(x) dx = {f(x)|
b
P
= f(b)-f(p) = A+
4. A TOTal = A+ + A+
Ju1. ut ax = un++ + c
Jy ax = Inlu1 + c

Integració per Parts

Juav = uv-frau
"una vaca se viste De uniFORme"
1
2
3 4
5
5
S

Matrius

Trasposada

IDENTITET
A=(ag) AT=(a)
I=( 상 무 )

Potències Matrius Quadrades

(bi)2=(61)(0)=( 주 )

Suma / Resta

(ca)+(¥¥)=(
atx
bty
c + +
att

Producte

[num columnes m, = num Files m2] (3 2) (4 5 %) = (31)
12
15
3.2 +4.5
3.3+4.6
19
26 33

Menors

MaTriu resultant D'eliminar la Fila i
a
b
C
4
- M11 =
e
h
.-
9
d
h
ƒ
i
- M2=(9 %)
Per obtenir la mairie de menores fem el determinant dels menores de cada Posició de la matriu original.

Adjunta (A*)

apliquem el criteri de signes
+ - +
( === )
+ -
+

Inversa (A-1)

A'= _ (A)*
det A
1. det A
3. maTriu de menors
5. apliquem l'equació
2. AT
4.
A*
Si deTA =0 => X A"

Determinants

a
b
def
m 2×2:
der
ab
cd
= ad - bc
M 3 x 3 :
deT
d
e
hi
c
9
a
b
C
= dei + pfg + dhc
i
= ceg + bdi +anf
-
Regia de Sarrus
der ™3×3 = dei + bfg + dnc - (ceg + bdi +anf)

Propietats

1.
Fila / columna de 0 -> det M = 0
2. linies iguals _ det M = 0
3.
linies Proporcionals _> der M = 0
4. det M = det MT
8. (COLUMna o Fila)*K -> deTA'= k*deTA
5. maTriu diagonal
O
e
= abc
det = Producte d'elements diag.
0
o
C
10. det | A. B | = det [ A] . det [B]
9. suma marius # suma determinants
=0 ( TOTS) - rang 1
=0 > Ini
4 .-
et
. gil o ... algun menor
V ±0 rang 2
que Hi Ha.
6. Sumem un multiple D'una linia _ det A = deTA'
derA = |34| =|3 2+ |= derA'
7. det I matriu idenTitaT ) = 1

Rang

nombre de vectors
a
b
C
Linealment InDependents
d
e
f
9
h
¡
#0 rang 3 (maxim)
max
rang m = rang m' _ compatible deTerminal
sistema
ax + by =C
mat riu
M
de coefficients:
(a )
a
b
maTriu
ampliada :
laef.
rang M = rang m' - compatible indeTerminaT
rang M # rang M' incompatible

Aplicacions de Matrius: Sistemes d'Equacions

exemple :
x + 5y = 4
2x + 4y = 3
} ( 2 4 / 3 )= MA

Mètode de Cramer

det M = 1+1 = - 6
der Mx = |3 5| = - 11
der My =12 31= 1
x = der mx_
11
6
detm
y = der my = 1,
der m -6

Mètode de Gauss

-
5 1
1
5
1
-6y =1
X + 5y = 1
2
2 43/
O
-6
y =16
X + 5.1 = 1
-6
f2' = f2-2f1
x = "

Teorema de Roche - Frobenius

x
X
×
X
x
X
x
x
x
×
x
×
0
x
x
X
x
x
O
x
X
×
O
O
×
×
O
O
O
0
O
x
SCD
SCI
SI
Sistema
D'equacions : dx + ey =f

Geometria

Mòdul

IAB 1= 1x2+ y2+2 = núm.

Vector Unitari

15
=
(x,y,z) = ( 즉 · 前 · 류 )
x2+ y2+22

Independència de Vectors

no els Podem construir
com a combinació lineal entre ells.
· 2 vectors Dependents : mateixa dirección
. 3 vectors Dependents: Coplanaris
o
4 vectors sempre son L I
-
X1 X2 X31
Z, Zz Zz,
11
1 70 L. I
O L.D.
Per comprovar L.I Fem el Determinant De la
maTriu que FORmen. Si es rang max. Son L.I, Sino L D.

Producte Escalar

T. v = lavlũI cos av
Q .== U,v1 + U2V2 + U3V3
Si
นี่ · ปี = 0
1
-
VeCTORS
Perpendiculars
90°
13
angle
151101

Projecció d'un Segment

™ sobre ₸: projíž) = Ťaž
13
2
P
1>
proj u

Producte Vectorial

Per Trobar un 3r vector 1 als dos anteriores
To
modul:
a x b = ¿
lūxvi = lūllūisine
area Parallelogram
= laxbl
axb
bsine
à
àxb =
i j
ax ay az
bx by Pz
=
by Pzl
CX
ay az +- bx
ax az
+
ax ay |2
Cz
€
K

Producte Mixt

[ū, 0, 5] = t. (vxw) =
X, y, Z1
X2 1/2
X3 /3
A
22
Z3
TO

Volum del Tetraedre

13
"
D
area Triangle
V = {} ] . [x ) = 1 w . luxvi
B
C

Projecció d'un Vector

13
sobre ™:
proj - (a) = U.V .

Equacions de la Recta

vectorial
(x,y,Z) = (x0, Yo, to) + x(v1,V2,V3)
parametrica :
( A, B, C )
-
x = x + Xv,
y = % + AV2
z = Zo + AV3
continua
x-Xo = - = - to
V1
V2
V3

Equacions del Pla

vectorial :
(x,y,z) =(x0,Yo,to) +x(u,U2,U3) + u (v1,V2,V3)
general o implícita
AX + By + Cz + D = 0
vector normal
al pla
canonica
음 x+ 등 y+ 등 급 =1 ~ 증 ++ 른 =1
implicita operant 2 De
Ax + By + Cz =0
les 3 igualTAts
Ax + By + C'= = 0
x = x + XU, + uvi
y = Yo + du2 + MV2
z = to + xu3 +MV3

Recta com a Intersecció de dos Plans

el vector Director de la rectal es el Producte
(A,B,C) X (A, B,C') = ( A" , B", ")
vectorial dels vectors normals dels Plans.

Posició Relativa entre Dues Rectes

r1=12
coincideixen
V. Directors son L.D
Pr2 Er1 0 Pry € 12
= 0
es Tallen
-
PP 2
es creven en l'espai
eis 3 vectors
son copianaris
( Tambe Hi Ha un
meTODe De resolució
Per Determinants)
r
12
Paralleles
V. Directors son L.D
Przer1 0 Prat 12
eis 3 vectors no
70 -
P 2
son copianaris

Posició Relativa entre dos Plans

TT
coinciDentS
A = B = C = D
A'
B' C' D'
Parallels
& = B = 등 음
TT
secanTs en una recTa
2010
o
ulu

Posició Relativa entre 3 Plans

Rang M
Rdng M'
A
A'
B
C
B' C'
3
3
Plans secanTs en un PunT
B" c"
2
3
[plans secanTs
Dos parallels i un secant
m'=
A
BCD
A' B' C' D'
A" ט" c" D"
2
2
[ Plans secanTs i DiferenTs
DOS coinciDENTS i un secant
-
ampliaDa
1
2
Plans Parallels
[Plans Parallels i DOS coinciDentS
1
1
Plans coinciDents
€
W2
1

Projecció Punt Sobre Recta

-
x = - 1 -X
. P
1
1
TS
1.
Pia 1 a la recta :
2. Intersección Pia - recta
A en la recta Per Trobar el punt
3.
x =- 1–– = 一 号
y= 2+3. 속 =J P':(- 즉 , 즉 ,- 특 )
2+2. 속 =- 흑
TT: - x + 3y + 22 -11 =0
r: (x,y,z) = (-1, 2,-2)+x(-1, 3,2)
y = 2+3x
exemple: P: ( 2,3, 2)
z = - 2 + 2X
-1x + 3y + 2+ + D = 0
- ( - 1 - x ) + 3 ( 2 + 3x) + 21-2+2x) - 11=0
-2+3.3+2.2 +D = 0
- 8 + 14x = 0
→ ^= 8 = 告

Punts Simètrics

P : (x, , V, ,+1)
M:(x2,Y2,72)
P
P'
×1 + X3
2
= X2
Y1 + Y3
2
21 + Z3
2
== 2
P'
= y2
M
P': (x3,Y3, 73)

Distància

PUNT - PUNT :
d(p,Q) = 1PQI=+ V(x2-x1)2+(y2-y,)2+(£2-2,2
PUNT - PIa :
( P , T ) =
| Ax + By + Cz+DI
1 A2+B2+ C2
Pla - Pla :
Busquem un punT en TT1 (imposem x=0 i y=0)
2. apliquem id distancia PunT - Pla
Pla - recta Pardi· lela :
1. comprovem que Till r FenT el Prod. escalar del v. normal del TT i el v. Director de F (=O)
2. amb un PUNT de la recta, apliquem Distância PUNT - Pid
PUNT - recTa :
P
distancia
13
d ( P , r ) = 1 PP x Url
1url
Pr
¿ Punt qualsevol de la recta
геста - геста :
d ( r , s ) = [ Pr Ps , Jr , Vs )
I Tr x Vs 1
METODE del Pid Pardi. lei
VS
P& Pr
15
on S: (x,y,z) = Ps +xVs i r: (x'y', ') = Pr + M Vr
1.
Trobem el pla Il a id rectas que contingui r
Pr Ps =(a, b, c ) => ax + by + cz + d = 0 on les coord. seran les components De r
i D es Troba amb el punt de pas de r.
2 .
apliquem la distancia Punt - Pla amb el nou Tir i el punt de Pas de S.

Probabilitat

Unió

AUB
Principi D'exclusion
AND
A
- ANC
B
C
AnBNC
IAUBI = [A] + [3] - IANBI
LAUBUCI = (AI + 1B) + ICI-IANBIANCHIBACH+LANBACI

Intersecció

ANB
BNC

Diferència

A - B

Complementari

1 - A
· PLĀUB) = P(ANB) = 1 - P(ANB)
A
A i no B:
P(ANS) = P(A) - P(ANB)
B
· PLANB) = P(AUB) = 1 - P(AUB)
DI
4, De morgan
complementarieTAT : P(A) = P(A) = 1 - P(A)
operacions amp esdeveniments
AUB : AOBO eis 2
ANB : A i B simulTanis
A -B: A Però no B
A : Si no verifiquen A
ANB
AUB

Taules de Contingència

exemple :
A
B
PIANB)
P(ANB)
P(B)
8
5
13
D + Č : p(D/c) = P(Dnč)
) = 3/23
8123
P ( c )
B
PLANB)
P(ANB)
P(B)
7
3
10
15
8
23
Č + D : p(C/ D) = P(END) = 3/23
P ( D )
10 /23

Dependència

P( B/A)
P(B) = P(ANB) = P(A) . PCB/A)
P bola
= P(A)
P(3/A)
P(6) = PIANB) = P(A) · P(B/A)
P TOTIS
P bola
- = P(A)
P( B/A)
P(B) = P(Ano) = P(A) · P(B/A)
0.4
02
0.4
0
=> P(RAR) = 0.4 . 0.4
P TOTAIS
P(G/A)
P(B) = PLĀNĀ) = P(A) . PCB/A)

Independència

0.6 0
=> P(cnc) = 0.6. 06
0.6 0
D2
0.4
P ( CAR ) = 0.6 . 0.4
Day 1
0.6
=> P (RnC) = 0.4 . 0.6
P(A)
PĻĀ)
1
compatible:
PIAUB) = P(A) + P(B) _ P(ANB)
incompatible: PIAUB) = P(A) + P(B) P(ANB) =0

Distribució Normal

(x-u) M: esperança
202
f(x) =
1
5 12TT
e
T: Desviació Típica
= = x =M
normal

Tipificada

1
calcul
& negativa
valor concret d'x
p [ { [ a ] = Tavla
p[ == a] = p [a-0.5 > > > a+ 0.5]
= p [{{a+0.5] - p[& sa-0.5]
p [ zza] = 1 - p[{sa]
pc-asz[b]=p[b]-[-]
p [ {2-a] = p[{{d]
M=0
~(+) ≥(0,1)

Aproximació de la Binomial a la Normal

Si
. n≥ 30
M = np
B(n,p) ~N (MIT)
. np > 5 , ng > 5
-
5 = Inpg

Teoria de Mostres

Teorema del Límit Central

1X
= =
-
9
I
/
MIX - Zd
blLE

Quasivariància

s2 = n -2
n-1
ps 30 -S
30
1
1.034₸
o variancia mostral
n > 30 _ + (error petit)
100
1
1 0100

Estimació d'una Proporció

n≥ 30
M=P - P=
T=11- - > = Inpg
2
B
11)
N(PI =)
P = int. confiança
9 = 1 -P

Distribució de T Student

n < 30
ME x + + xiv in
V = n-1
graus de llibertat

Precisió

Precissió
M= x + zd Im
8/08
8/8
「 ==
XM
+

Interval de Confiança

n
52
Tx
Z=x-M
H