Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Variables aleatorias

Definición (variable aleatoria): Una variable aleatoria es una correspondencia que a cada resultado de un experimento aleatorio le asigna un número real. Las v.a. se representan con letras mayúsculas. Ejemplo: número de correos electrónicos Spam recibidos en un día. Ejemplo: se arroja una moneda corriente tres veces consecutivas. S = {ccc, ccs, csc, ccs, ssc, scs, css, sss} X="número de caras obtenidas en los tres lanzamientos" CCc → 3, ccs → 2, ... , CSS → 1, sss → 0 X = 0,1,2,3.

Clasificación de variables aleatorias

1. Variable Aleatoria Discreta

   · Toma valores finitos o contables. · Ejemplo: Número de clientes en una tienda por hora.

2. Variable Aleatoria Continua

   · Toma valores en un intervalo de números reales. · Ejemplo: Tiempo de espera en una fila.

Característica Discreta Continua Valores posibles Finito o contable Infinitos en un intervalo Ejemplo Número de llamadas en un call center Altura de una persona Función asociada PMF PDF

Distribuciones de probabilidad (Caso discreto)

El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible,

1. f(x) ≥0,
2. Ef(x)= 1,

   x

3. P(X =x) = f(x).

Función de Masa de Probabilidad (PMF)

Se aplica a variables aleatorias discretas. Define la probabilidad de que la variable tome un valor específico. Ejemplo: P(X = x) = número de éxitos Total de casos Ejemplo en Ciencia de Datos: Modelado de la cantidad de compras en línea por usuario. Ejemplo: modelado de la cantidad de artículos defectuosos en una compra.

Función de Densidad de Probabilidad (PDF)

· Se aplica a variables aleatorias continuas. · La probabilidad de que una variable tome un valor (puntual) exacto es 0. · En su lugar, se usa la probabilidad de intervalos: P(a ≤X ≤b) = a b f(x)dx · Ejemplo en Ciencia de Datos: Modelado de la distribución de tiempos de carga de una página web.

Distribuciones de probabilidad (caso continuo)

La función f(x) es una función de densidad de probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales, si

1. f(x) ≥ 0, para toda x € R.
2. [ f(x) dx = 1.
3. P(a < X < b) = [2f(x) dx.

Ejemplo de cálculo de probabilidad

Suponga que el error en la temperatura de reacción, en ºC, en un experimento de labora- torio controlado, es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad de probabilidad 2 f(x)= 0, -1 <x <2, en otro caso. Calcular P(0 < X ≤ 1)

Función de Distribución Acumulativa (CDF)

· Aplica tanto a variables discretas como continuas. · Define la probabilidad acumulada hasta un punto dado: F (x) = P(X ≤ x) · Ejemplo: Probabilidad de que el tiempo de espera en atención al cliente sea menor a 5 minutos. · Gráfico ilustrativo de una CDF típica. 1.0| 0.5 1 - x -1 0 1 2 Figura 3.6: Función de distribución acumulativa continua.

Distribución acumulada

La función de la distribución acumulativa F(x) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) es F(x) = P(X ≤x) = f(t). IKI para - 0<X< 0. La función de distribución acumulativa F(x), de una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x), es x F(x) = P(X _x) = f(t) dt, para - > < > < 00.

Ejemplo (CDF)

Para - 1 < x <2, F(x)= [{(1) dt = [dt={ ,3 9 = -1 3 x +1 9 Por lo tanto, 0, F(x)= x <- 1, PH -15x<2. 1, x ≥2. La función de la distribución acumulativa F(x) se expresa en la figura 3.6. Entonces, P(0<X ≤1)=F(1) - F(0) = 2 9 - 1 9 = 1 10

Valor esperado y varianza (caso discreto)

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es p = E (X) => xf(x) Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media u. La varian- za de X es o2 = E[(X -1)2] => (x-)2f(x), si X es discreta, y Ejemplo: calcular la media y la varianza de la distribución de probabilidad del ejemplo anterior.

Fórmula alterna para la varianza

o2 = E [X2] - u2 Donde E[x2]= > x2f(x) x

Ejemplo de ganancia esperada

En un juego de azar se pagarán $5 a una persona si le salen puras caras o puros sellos cuando se lanzan tres monedas, y ella pagará $3 si salen una o dos caras. ¿ Cuál es su ganancia esperada (ganancia media)?

Ejercicios en clase

Análisis de correos electrónicos de spam

Un analista de datos está investigando la cantidad de correos electrónicos de spam recibidos por los usuarios de una plataforma de correo. Se sabe que, en promedio, un usuario recibe 1,8 correos de spam por día. Además, se ha registrado la siguiente distribución de probabilidades: Correos Spam (X) 0 1 2 3 4 Probabilidad P(X) 0.15 0.30 0.25 0.20 0.10

• Defina la variable aleatoria adecuada para modelar este fenómeno.
• ¿ Es una variable discreta o continua? Justifique su respuesta.
• Determine la probabilidad de que un usuario reciba exactamente 3 correos de spam en un día.
• ¿ Cuál es la probabilidad de que un usuario reciba al menos 2 correos de spam en un día?

Tiempo de espera en atención al cliente

El tiempo que tarda un usuario en recibir respuesta en un centro de atención al cliente se mide en minutos. Se ha recopilado la siguiente información sobre los tiempos de espera: Tiempo de Espera (min) 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 Probabilidad P(Y) 0.10 0.25 0.30 0.20 0.15

• Defina la variable aleatoria y su dominio de valores posibles.
• Determine la probabilidad de que un usuario reciba respuesta en menos de 3 minutos.
• ¿ Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea mayor a 6 minutos?
• Determine la probabilidad acumulada hasta 6 minutos.

Distribución uniforme discreta

Una variable aleatoria X que toma los valores X1, X2, ... , Xk, se denomina variable aleatoria discreta uniforme si su función de masa de probabilidad es f(x) = J. 0, k 1 si x = X1, X2, ... , Xk, en otro caso. Calcular la media y la varianza de X

Ejemplos de distribución uniforme

• De un equipo de 10 empleados, y mediante la selección al azar de una etiqueta contenida en una caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 al 10, se elige a uno para que supervise cierto proyecto. Calcule la formula para la distribución de probabilidad de X que represente el número en la etiqueta que se saca. ¿ Cuál es la probabilidad de que el número que se extrae sea menor que 4?
• El temario de un examen para un proceso selectivo contiene 50 temas, de los cuales se elegirá uno por sorteo. Si una persona no ha estudiado los 15 últimos temas ¿Cuál es la probabilidad de que salga un tema que haya estudiado?

Distribución de Bernoulli

Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito (1) y fracaso (0)). La probabilidad de éxito se denota por p y la probabilidad de fracaso se denota por q = 1 - p. Ejemplo: se extrae una bola de una bolsa que contiene 8 bolas, de las cuales 3 bolas son negras y 5 son blancas. En este caso vamos a considerar éxito extraer una bola negra y fracaso extraer una bola blanca; por lo tanto, la probabilidad de éxito es p = = y la probabilidad de fracaso es q = 1 - p = 1 --= 5 8 3 8 3 8 . X = "número de éxitos obtenidos en un ensayo de Bernoulli"; X = 0,1.

Fórmulas de Bernoulli

f(x; p) = pxq1-x; donde x = 0,1. u = p o2 = pq S P(X ≤ x) = F (x) 0, x<0 {1- p, 0≤x<1 1, x ≥ 1

Ejemplo de transacción fraudulenta

Una empresa de pagos en línea quiere estimar la tasa de transacciones fraudulentas. Se sabe que la probabilidad de fraude en una transacción es del 2%. Si se selecciona una transacción al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que sea fraudulenta? b) ¿Y de que no sea fraudulenta?

Distribución binomial

Un proceso de Bernoulli es experimento aleatorio que se caracteriza por:

1. El experimento consta de ensayos repetidos.
2. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de un éxito, que se denota con p, permanece constante de un en- sayo a otro.
4. Los ensayos repetidos son independientes.

Ejemplos de distribución binomial

• Se arroja una moneda corriente cinco veces consecutivas.
• Se extraen cinco bolas una después de la otra con reemplazo, de una bolsa que contiene 8 bolas 3 negras y 5 blancas.

Variable aleatoria binomial

Una variable aleatoria discreta con la forma X = "número de exitos obtenidos en n ensayos de Bernoulli" Se denomina variable aleatoria binomial. Hasta aquí el dominio de X = 0,1,2, ... , n. Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 - p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es b(x; n. p) = x n pq" *, x=0,1,2, .... n. M = np y o2 = npq

Ejemplo de software de reconocimiento facial

Un software de reconocimiento facial tiene una tasa de éxito del 80%. Si se prueban 10 imágenes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 imágenes sean clasificadas correctamente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 7 imágenes sean clasificadas correctamente?

Gráfica de distribución binomial

f(x) - P(X=x) 0 0,1 0.2 0,3 4 6 x 8 10

Distribución de Poisson

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, la cual representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o región específicos y se denota con t, es p(x;At) = e-At (At)* x! x =0,1,2, .... donde X es el número promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia, área o volumen y e = 2.71828 ... Tanto la media como la varianza de la distribución de Poisson p(x; At) son Nt.

Ejemplo de visitas a un sitio web

En un sitio web, el número de visitas por minuto sigue una distribución Poisson con media de 3 visitas por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 5 visitas en un minuto? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir menos de 2 visitas en un minuto?

Distribución geométrica

Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabi- lidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 -p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en el que ocurre el primer éxito, es g(x;p) = pq3-, x = 1, 2,3, ... La media y la varianza de una variable aleatoria que sigue la distribución geométrica son 1 p o2 =- p2 1-p