Proporcionalidad: razones, proporciones y porcentajes en matemáticas

Razones y proporciones

La razón de dos números o de dos cantidades a y b (b / 0) es el cociente indicado de ambos números o cantidades: a b Una proporción es la igualdad de dos razones: 응 = 은 b dColegios Ramón y Cajal Razones y proporciones

Proporción y sus elementos

PROPORCIÓN a C Medios b d Extremos 1 Razón Razón a es a b como c es a d

Propiedad fundamental de las proporciones

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES: El producto de los extremos es igual al producto de los mediosColegios Ramón y Cajal

Cálculo de incógnitas en proporciones

THINKING CAP - HICKS Calcula x en las siguientes proporciones y léelas correctamente: 2 6 x 4 x 10 =- -=- - -= 5 x 5 10 3 15 4 x 3 6 25 10 = - -= = 3 9 x 2 10 x Razones y proporcionesColegios Ramón y Cajal

Aplicación de proporcionalidad en un viaje escolar

Los alumnos de 2º de ESO van a realizar un viaje a Matalascañas. Las habitaciones del hotel son de 4 personas y el importe es de 168 € al día en régimen de pensión completa. Precio (€) 168 Número de alumnos 4 20 60 100 =C Razón de proporcionalidad 00 1Colegios Ramón y Cajal

Magnitudes directamente proporcionales

· Al multiplicar los valores de una de las magnitudes por un número, los valores correspondientes de la otra se por el · Las razones entre los valores correspondientes de las dos magnitudes forman una y son iguales a un número llamado de Magnitud 1 a b c ... Magnitud 2 a' b' C' ... k de

Definición y ejemplos de magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes relacionadas son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) cualquier valor de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda también multi- plicado (o dividido) por el mismo número. · La cantidad de un producto y su coste: si un litro de leche cuesta 0,8 €, dos litros costarán el doble; tres litros, el triple, etc. volumen (L) 1 2 3 4 5 6 7 precio (€) 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 · El tiempo necesario para realizar un trabajo y el coste de la mano de obra: si una hora de trabajo cuesta 30 €, dos horas costaran 60 €, etc. Observa que media hora costará 15 €. tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 0,5 coste (€) 30 60 90 120 150 180 15Colegios Ramón y Cajal

Regla de tres simple y reducción a la unidad

8. Un coche gasta 8 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Si quedan 7 litros en el depósito, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer? ¿Qué magnitudes relaciona el problema? ¿Son directamente proporcionales? Reducción a la unidad Calcula cuántos kilómetros se recorren con 1 litro de gasolina Proporciones (regla de tres):Porcentajes Colegios Ramón y Cajal

Porcentajes

Un porcentaje o tanto por ciento es un caso particular de magni- tudes directamente proporcionales en que uno de los datos es 100. Los porcentajes se pueden expresar también en forma de fracción y de número decimal. Por ejemplo: 23% = 23 100 = 0,23 Existen varios procedimientos para calcular el a % de una cantidad B. Uno de los más frecuentes es multiplicar dicha cantidad por a/100: a% de B = a 100 " _. BPorcentajes Colegios Ramón y Cajal

Cálculo del porcentaje de una cantidad

1. Calcular el porcentaje de una cantidad Ejemplo: Calcula el 24% de 75 Calculando la fracción o el número decimal 0 100Porcentajes Colegios Ramón y Cajal

Cálculo de la cantidad total conocido el porcentaje

2. Calcular la cantidad total conocido el porcentaje Ejemplo: El 35% de una cantidad x es 50. Calcula x Planteando una ecuación = 100Colegios Ramón y Cajal

Cálculo del porcentaje que representa una cantidad

3. Calcular qué porcentaje del total representa una cantidad Ejemplo: En una clase de 25 alumnos, 17 practican algún deporte. Expresa la información en forma de porcentaje. Planteando una ecuaciónColegios Ramón y Cajal

Aumentos y disminuciones porcentuales

Una bici cuesta 175 €. ¿ Cuánto costará en las rebajas si hacen un descuento del 20%? 100% - 20 % = 80 % Nuevo precio: 175.0,80 = 140 € Índice de variación Ángela cobra 1500 €. Si le aumentan el sueldo un 5%, ¿cuánto cobrará? 100% + 5 % = 105 % Nuevo sueldo: 1500.1,05 = 1575 € Índice de variaciónColegios Ramón y Cajal

Fórmula de cantidad final con índice de variación

Cantidad final = Cantidad inicial · índice de variación Ejemplo. En una tienda hacen un descuento del 20%. Si unos vaqueros me han costado 35 €, ¿cuánto costaban antes de las rebajas? Ejemplo. Un trabajador cobraba 1250 € mensuales y le han subido el sueldo a 1500. ¿ Cuál ha sido el porcentaje de aumento?Colegios R

Cálculo mental de porcentajes

Calcula mentalmente: 5% de 30 10% de 200= 20% de 1000 = 25% de 800 = 50% de 7 =Colegios Ram y Co

Tabla de conversión de porcentajes, decimales y fracciones

Porcentaje Decimal Fracción 10 % 1 4 20% 1 2 0,75 130%Colegios Ramón y Cajal

Diferencia entre razón y fracción

Recuerda: una razón es un cociente indicado de magnitudes, y sirve para compararlas. Un porcentaje o tanto por ciento es una razón de denominador 100. La diferencia entre una razón y una fracción es que los términos de una fracción siempre tienen que ser enteros, y los de una razón, noColegios Ramón y Cajal

Estadísticas de tiro de tres en baloncesto

% TIRO DE TRES EN LA TEMPORADA 2010/11 Jugador Cont/Int Partidos Promedio % Carlos Suárez 32/61 18 1,78 52,04% Chad Toppert 24/47 17 1,41 51,06 % Rafa Martinez 47/95 19 2,47 49,47 % Carl English 42/87 17 2,47 48,28 % Brad Oleson 30/63 19 1,58 47,62 % Alex Mumbrú 26/55 19 1,37 47,27 % Erazem Lorbek 19/41 17 1,12 46,34 % Jason Robinson 27/59 19 1,42 45,76 % Jimmy Baron 60/134 19 3,16 44,78 % Paolo Quinteros 32/73 19 1,68 43,84 % Número de aciertos 32 Χ = = Número de intentos 61 100 Carlos Suárez, camino de convertirse en el mejor triplista de la década en ACB Suárez MM2 SEGUROS 8 @ Real MadridColegios Ramón y Cajal

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes relacionadas son inversamente proporcionales si al multiplicar (dividir) cualquier valor de una de ellas por una cantidad, el valor correspondiente de la otra queda dividido (mul- tiplicado) por dicha cantidad. Por ejemplo, son magnitudes inversamente proporcionales: · El tiempo que se necesita para realizar un trabajo y el número de trabajadores que se destinan a él. Si se dobla el número de trabaja- dores, se necesita la mitad del tiempo, etc. n.º de trabajadores 1 2 3 4 ... tiempo (h) 24 12 8 6 · El número de personas que se reparten una cantidad fija de dinero, por ejemplo 6000 €, y lo que corresponde a cada una de ellas. Si se duplica el número de personas, cada una tocara a la mitad, etc. n.º de personas 1 2 3 4 ... participación (€) 6000 3000 2000 1500 ...Colegios Ramón y Cajal

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa es un procedimiento para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes inversamente pro- porcionales. Al igual que en la regla de tres directa, se trata de hallar el cuarto término de una proporción cuando se conocen los otros tres términos. EJEMPLO: Dos carpinteros tardan 12 h en poner todas las puertas de una vi- vienda. ¿ Cuánto tardarían tres carpinteros? Organizamos los datos en la tabla de la derecha. n.º de carpinteros 2 3 tiempo (h) 12 Son magnitudes inversamente proporcionales: a doble número de carpinteros, el tiempo se reduce a la mitad. Se cumple: 2 . 12 = 3 . x = 24 = 3 x = x= x = = = 8 24 Si el trabajo lo hiciesen tres carpinteros, tardarían 8 h.Colegios Ramón y Cajal

Repartos directamente proporcionales

El abuelo de Juan, Marta y María quiere repartirles 340 € de forma directamente proporcional a sus edades. Si Juan tiene 14 años; Marta, 12 años, y María, 8 años, ¿qué cantidad le corresponderá a cada uno? - Designamos con a, b y c las cantidades que corresponderán a cada nieto. Su suma serán los 340 € totales (a + b + c = 340). Puesto que estas cantidades han de ser directamente proporciona- les a las edades, se cumplirá: 0 12 c 00 a+b a+ b + c 14+12+8 340 =10 34 El valor obtenido, 10, es la constante de proporcionalidad, y es tam- bién el dinero correspondiente a 1 año de edad. - A continuación, calculamos cuánto dinero le corresponde a cada nieto según su edad. Para ello, multiplicamos cada edad por la constante de proporcionalidad: a = 10 . 14 = 140 ; b = 10 . 12 = 120 ; c = 10 . 8 =80 Corresponden 140 € a Juan, 120 € a Marta y 80 € a María. Para comprobar los resultados obtenidos, examinamos si su suma coincide con la cantidad que se repartía: 140€ + 120 € + 80 € = 340 € = El resultado es correcto.Colegios Ramón y Cajal

Procedimiento para repartos directamente proporcionales

Para repartir una cantidad C de forma directamente proporcio- nal a varios números m, n, p, ...: - Se divide la cantidad total C entre la suma de todos los núme- ros (m + n + p + ... ). Así se obtiene la constante de proporciona- lidad. - Se multiplica la constante por cada número para hallar las cantidades buscadas.Colegios Ramón y Cajal

Repartos inversamente proporcionales

Para repartir una cantidad de manera inversamente proporcional a varios números, se reparte de manera directamente proporcional a los inversos de estos números. EJEMPLO Un club de fútbol decide repartir una prima de 120000 € entre los dos porteros del primer equipo en partes inversamente proporcionales a los goles encajados durante la temporada, que fueron 16 y 24. ¿ Que cantidad le corresponderá a cada uno? - Calculamos los inversos de 16 y 24: 1 y - 1 16 24 - Efectuamos el reparto de manera directamente proporcional a estos inversos. Para ello: . Sumamos ambas cantidades y dividimos el total de la prima en- tre la suma para hallar la constante de proporcionalidad: 1 16 + 24 -3 + 2 48 5 48 120 000 : 5 48 1 48 120 000 · 48 5 =1152000 · Multiplicamos cada número por la constante de proporcionalidad: 1 . 1 152 000 = 72000 ; 1 · 1 152000 = 48000 16 24 Le corresponden 72000 € al portero que encajo 16 goles y 48000 € al que encajó 24 goles. Comprobamos el resultado sumando ambas canti- dades: 72000 € + 48 000 € = 120 000 € = El resultado es correcto.