Aritmética: Números reales, potencias y aproximación para Bachillerato

Aritmética: Números reales

Matemáticas I 1.º Bachillerato

Contenidos

Aritmética Números reales

1. Números reales

Uno de los aspectos más sorprendentes de la historia de los números es que cada nueva invención es ampliación de las precedentes y, de alguna manera, las completa. Los números enteros incluyen los naturales y los números racionales incluyen los números enteros. La idea de número es común a todos ellos. Mas, por otra parte, la historia de la invención de los números no es lineal pues está llena de vicisitudes y batallas encarnizadas. Hoy día sorprende leer lo que se dijo de los números negativos o los siglos que tuvieron que pasar para la introducción plena del sistema decimal en Occidente. El viaje que empezamos con los números naturales continuó con los números enteros. ¿Habrá concluido este viaje con los números racionales?

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La respuesta a tal pregunta es NO.

1.1. De los irracionales a los reales

Ya los antiguos griegos descubrieron que había objetos cuyas dimensiones no podían expresarse con los números racionales una vez elegida una unidad. Llamaron inconmensurables (que no pueden medirse) a tales magnitudes. La unión del sustantivo 'magnitudes' y el atributo 'inconmensurables' parece encerrar en sí misma una contradicción o paradoja. Constituyen el equivalente en lenguaje geométrico de lo que en lenguaje numérico se designa hoy día como número irracional.

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Un número irracional, contra lo que puede parecer a simple vista, no es un número absurdo o ilógico, sino un número que no es racional, es decir, que no puede expresarse como cociente de números enteros.

Importante: Números irracionales

El conjunto de los números irracionales, I, está formado por los números decimales que no pueden ser expresados como fracciones. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repiten de forma periódica.

El hecho de que los números irracionales tengan infinitas cifras decimales que no se repitan de forma periódica, plantea el problema de cómo representarlos de forma exacta.

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Importante: Números reales

Se llama número real a cualquier expresión decimal que tenga una cantidad finita o infinita de cifras. El conjunto de los números reales se denota por R. Los números reales se pueden clasificar en:

• Racionales (pueden expresarse como cociente de números enteros)
• Irracionales (no pueden expresarse como cociente de números enteros)

El conjunto de los números reales se puede representar como si de un cuadro de Mondrian se tratara:

Si te fijas bien te darás cuenta de que uno de los aspectos más sorprendentes de la historia de los números es que cada nueva invención es una ampliación de las precedentes y que, de alguna manera, las completa. Los números enteros incluyen a los naturales, los números racionales incluyen a los números enteros y los reales incluyen a los racionales y a los irracionales. En el siguiente vídeo puedes verlo con más claridad (además de practicar con algunos ejemplos de clasificación de números).

D Enlace a recurso reproducible >> https://www.youtube.com/embed/oOSEQgwXC5c

Vídeo de Tuto mate alojado en Youtube.

Aunque parezca increíble, la historia de los números no termina con los números reales. Existe otro conjunto de números (números complejos) que, como no podía ser de otra forma, está repleto de números imaginarios.

Comprueba lo aprendido: Conceptos de número

Veamos si has entendido bien los conceptos de numero racional, irracional y real. Responde si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a. /5 es racional. Sugerencia C Verdadero Falso Falso Ten en cuenta que es la raíz cuadrada de un número natural que no es cuadrado perfecto. 5

b. 3 es racional. Sugerencia C Verdadero Falso Verdadero Fíjate bien pues es una fracción de dos números enteros.

c. 3,242424 ... es un número irracional. Sugerencia Verdadero Falso Falso Observa que es un número decimal con infinitas cifras periódicas.

d. Todos los números anteriores son reales. Sugerencia C Verdadero Falso Verdadero Los reales son todos los racionales e irracionales.

Ya hemos visto que las raíces están íntimamente relacionadas con los números irracionales. Veamos que se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario.

Importante: Potencia de exponente fraccionario

Una potencia de exponente fraccionario a" es un radical de indice n y radicando am, y se denota por: a n = Vam

En consecuencia, las raíces pueden expresarse como potencias de exponente fraccionario. Y, por tanto, podemos efectuar los cálculos utilizando las propiedades de las fracciones y las reglas básicas de las potencias.

En el siguiente vídeo puedes ver una explicación más detallada al respecto:

Enlace a recurso reproducible >> https://www.youtube.com/embed/T0_BalTsvI0

Vídeo de Tuto mate alojado en Youtube

Comprueba lo aprendido: Potencias

https://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos/EDAD_4eso_reales-JS-apli/4q2_resueltos2a.htm

Escribe como potencia de exponente fraccionario 7 3 6 O a b Pulsa para ver la solución Escribe la solución en la forma: C a 0 b 2 7/36 = 0 2 c 0

Escena de Jose Luis Alonso Borrego en Proyecto Descartes. Licencia CC+

Para saber más: Números irracionales

Existen infinitos números irracionales. Algunos de ellos, por su importancia histórica y práctica, han llegado a adquirir un nombre propio como, por ejemplo, el número e:

Enlace a recurso reproducible >> https://www.youtube.com/embed/Z5czpA-fyMU

Vídeo de Derivando alojado en Youtube

1.2. Aproximación y errores

Si lo piensas bien, verás que existen muchas situaciones en nuestra vida cotidiana en las que utilizamos los números de manera aproximada.

Lo hacemos, normalmente, por dos motivos:

• Porque es conveniente o no es necesario dar una cantidad exacta que sí conocemos,
• o bien, porque no tenemos forma de medirla con exactitud.

1 3 1 00 3 4 4 5 5 2 2 6 6 7. 7. 3 8 3 8 9 10 10 4 11 11 12 11 54 12 11 54 5 13 12 5 13 12 14 13 14 13 15 14 6 16 15 16 15 17 16 17 16 18 17 7 18. 17 199 18 19 18 20 19 8 21

Importante: Aproximación de números decimales

Si en un número decimal, a partir de un determinado orden, sustituimos todas las cifras de orden inferior por ceros, obtendremos otro número decimal al que se llama aproximación del primero (hasta el orden fijado). Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado.

Reflexiona

8 91 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 MANONWO 52.1.53 | 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 20 19 21 20:00 551. 5611 57.1.58 55.1.56.157. 15 14 6 vinomwas 9 1521,53 10

Imagen de arielrobin en Pixabay. Licencia Pixabay

En el siguiente vídeo se hace un recorrido por la evolución de los rascacielos más altos delmundo. Si te fijas en la esquina superior derecha podrás ver los metros (y los pies) que mide cada uno de ellos:

Enlace a recurso reproducible >> https://www.youtube.com/embed/UIuih6vWoSY

Vídeo de Cityskyline Rodrigo Bernal alojado en Youtube

Te planteamos la siguiente reflexión: ¿ crees que todos estos edificios miden exactamente los valores recogidos aquí? ¿ Tendría sentido recoger en este vídeo los posibles decimales? La respuesta probablemente sea no, ya que las diferencias entre unos y otros son de metros. Esto puede llevarnos a otro planteamiento ... ¿ existe un orden establecido de antemano para hacer una aproximación? La respuesta es NO pues dependerá de lo que se desea medir. Así, carecería de sentido fijar el mismo orden de aproximación para medir la distancia entre dos ciudades o el diámetro de una pelota de tenis de mesa. En el día a día, no es necesaria mucha precisión pues basta con 2 ó 3 decimales. Eso sí, la situación cambia si manejamos datos científicos.

Cuando realizamos una aproximación, podemos hacerla por exceso o por defecto. Estos conceptos están más asimilados en nuestra vida cotidiana de lo que parece. Por ejemplo, la duración del año solar medio no contiene un número exacto de días, por lo que se hacen aproximaciones a la unidad usando dos tipos de años: el de 365 días (aproximación por defecto) y el de 366 (año bisiesto, que sería una aproximación por exceso).

Métodos de aproximación

Hay distintos métodos de aproximación:

Aproximación de números decimales Truncamiento Redondeo Consiste en suprimir todos los decimales a partir de una cifra Si la cifra siguiente a la que tenemos que aproximar es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra que estamos redondeando. Si es menor que 5, no cambia la cifra que queremos redonderar.

Imagen de elaboración propia

En el siguiente vídeo puedes ver una explicación completa de estos conceptos y algunos ejemplos:

Enlace a recurso reproducible >> https://www.youtube.com/embed/Om9NP_TJKEU

Vídeo de Tuto mate alojado en Youtube

Comprueba lo aprendido: Redondeo y truncamiento

Completa la siguiente tabla:

Redondeo a las milésimas Truncamiento a las milésimas 3,4586 0,8174 2,888 ...

Recuerda los conceptos de redondeo y truncamiento.

Al sustituir un valor por su aproximación, evidentemente se comete un error y, a veces, ni siquiera de forma consciente.

Importante: Error absoluto

Se denomina error absoluto a la diferencia entre el valor real de un número y su aproximación. Se suele tomar el valor absoluto de dicha diferencia. Error absoluto =|valor real - aproximación|

Caso práctico: Error absoluto

Veamos un caso práctico. En el prospecto de unas cápsulas se indica que cada gramo del medicamento contiene 0'00285 gramos de ácido bórico y 0'00015 gramos de tetraborato de sodio. En un control de calidad farmacéutico se toma una muestra de una de las cápsulas y se detecta que cada gramo de la medicina contiene 0'0031 gramos de ácido bórico y 0'00013 gramos de tetraborato.

a. En uno de los casos el error es por exceso, supera a la cantidad fijada y, en el otro,es por defecto, está por debajo. ¿ Cuál es uno y cuál es el otro? b. ¿ En cuál de los dos componentes la diferencia entre la cantidad indicada en el prospecto y la detectada en el tubo es mayor?

a. En el caso del ácido bórico el error es por exceso puesto que 0'0031 > 0'00285. Y para el tetraborato es por defecto ya que 0'00013 < 0'00015. b. Hallamos, en ambos casos, la diferencia entre la cantidad indicada y la detectada: |0'0031 - 0'00285| = 0'000250 |0'00013 - 0'00015| = |-0'00002| = 0'00002 Para poder comparar ambos resultados, se debe considerar el valor absoluto de la diferencia. En nuestro caso, es mayor la diferencia del ácido bórico.

El error absoluto es un indicador de la precisión que tiene una determinada medida, ya que el resultado es precisamente la imprecisión que estamos cometiendo respecto a la medida real. En ocasiones, no nos interesa saber exactamente cuál ha sido la cantidad exacta sino hacernos una idea de la magnitud del error. Para ello usamos el error relativo cuyo objetivo es darnos una indicación de la calidad de la medida.

Importante: Error relativo

Se define error relativo de una aproximación a un número como el cociente entre el error absoluto y el valor real del número. El error relativo se puede expresar en tanto por uno o en tanto por ciento. Error relativo = Error absoluto Valor real

Comprueba lo aprendido: Significación del error

¿Es distinta la significación de un error de un milímetro al medir al ancho de un folio de 21 cm de la de medir el ancho de una habitación de 4 metros?

O No O Sí No es correcto