Guía Teórica de Matemáticas: Números Enteros y Racionales de Filadd Chile

Conjuntos Numéricos

En esta guía encontrarás algunas características y generalidades sobre los conjuntos numéricos estudiados en la enseñanza básica y media. Luego, se enfatizarán propiedades y conceptos propios de la operatoria en los números enteros y racionales.

Números naturales

Para describir el conjunto de los números enteros, primero debemos recordar el conjunto de los números naturales. Los números naturales son aquellos que usamos para contar. Este conjunto se denota con el símbolo N y se representa de la siguiente manera:

N = {1,2,3,4, ... , +00}

Si incluimos el 0 en el conjunto de los números naturales tendremos un nuevo conjunto llamado números cardinales; el que se denota por el símbolo No y se representa de la siguiente manera:

No = {0,1,2,3,4, ... , +00}

Para tener en cuenta: Números Naturales

• (1) En los números naturales, las operaciones adición y multiplicación cumplen con la propiedad de clausura, esto quiere decir que siempre la suma o producto entre dos números naturales da como resultado un número natural. Análogamente, ocurre con los cardinales.

• (2) La sustracción entre dos números naturales no cumple con la propiedad de clausura. Por ejemplo, al calcular 10 - 4 se obtiene 6, que es un número natural, sin embargo, al restar 4 - 10 se obtiene -6, el cual no es un número natural.

Hay ciertas situaciones de la vida diaria en las que los números naturales no son suficientes para resolver un problema. Por ejemplo, al resolver la ecuación x +4 = 1, nos damos cuenta de que ningún número natural es solución de esa ecuación (de hecho, su solución es -3).

Para resolver estos problemas es necesario conocer otro conjunto numérico: los números enteros.

Números enteros

Definición: el conjunto de los números enteros está formado por todos los números naturales, el cero (neutro aditivo) y todos los inversos aditivos de cada número natural. Este conjunto se denota por Z:

Z = {-0, ... , .4, .3,.2,.1, 0, 1, 2, 3, 4, ... , +00}

Los números enteros (al igual que los números naturales) se pueden representar en una recta numérica de la siguiente manera:

-5 -4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 45

Z= {-co ... - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 00}

Relación de orden en los enteros

Dados dos números enteros a y b cualesquiera, se puede presentar solo una de las siguientes relaciones de orden entre estos números:

• a < b (a es menor que b): gráficamente, veremos que a está a la izquierda de b en la recta numérica.
• a > b (a es mayor que b): gráficamente, veremos que a está a la derecha de b en la recta numérica.
• a = b (a es igual a b): gráficamente, a y b corresponden al mismo punto en la recta numérica.

Consideraciones sobre el orden de los números enteros

• (1) El cero (0) es mayor que cualquier número negativo, pero es menor que cualquier número positivo. Por ejemplo: 0 > -16 (0 es mayor que -16) ; 0 < 20 (0 es menor que 20).

• (2) Al comparar un número negativo con un número positivo, siempre será mayor el número positivo y, por lo tanto, siempre será menor el número negativo. Por ejemplo: -480 < 480 (-480 es menor que 480); 1 > -5.000 (1 es mayor que -5.000).

El valor absoluto

El valor absoluto o magnitud de un número entero a se denota por |a| y se define como la distancia en la recta numérica entre este número y el cero. Como la distancia es una magnitud que siempre es positiva o cero, el valor absoluto de un número entero será siempre positivo o cero.

Ejemplo: Observe que, en la recta numérica, los números 4 y -4 se encuentran a la misma distancia del cero. Ambos se encuentran a 4 unidades del 0, por lo tanto, I-4| = 4 y de igual forma |4| = 4.

4 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Consideraciones sobre el valor absoluto

• (1) El valor absoluto de cero (0) es cero, es decir, [0] = 0, lo que es obvio ya que la distancia entre el cero y si mismo es nula.

• (2) El valor absoluto de un número negativo es siempre positivo.

• (3) El valor absoluto de un número positivo es siempre positivo.

El inverso aditivo

Si a es un número entero cualquiera, su inverso aditivo es el número -a, y corresponde al número entero de signo contrario de a que se encuentra a la misma distancia del 0, es decir, se cumple que |a| = |-al.

Ejemplos:

• a) El inverso aditivo de 5 es -5.

• b) El inverso aditivo de 8 es -8.

• c) El inverso aditivo de -5 es -(-5).

• d) El inverso aditivo de -10 es -(-10).

Como este número debe estar a la misma distancia del 0 que -5 y debe ser positivo, se concluye que: -(-5) = 5

Como este número debe estar a la misma distancia del 0 que -10 y ser positivo, se concluye que: -(-10) = 10

Una característica muy importante del inverso aditivo es que un número entero a sumado con su inverso aditivo (-a) siempre da como resultado 0, es decir:

a + (-a) = 0

Consideraciones sobre el inverso aditivo

• (1) Tomemos como ejemplo el número -(-8). Este número representa el inverso aditivo de -8, es decir, es igual a aquel número de signo positivo que se encuentra a 8 unidades del cero. Evidentemente, se tiene entonces que -(-8) = 8.

• (2) Es un error usual afirmar que -(-8) = 8 porque "menos por menos es más", y de esa manera, el resultado es 8 positivo. Aquí no aplica la regla de los signos, aquí estamos aplicando la definición de inverso aditivo.

Adición entre números enteros

Para la resolución de adiciones (o sumas) en los números enteros consideraremos dos casos posibles: cuando los sumandos tienen igual signo, y cuando tienen distinto signo.

Caso 1: suma de enteros de igual signo

Si los sumandos tienen igual signo, sumaremos sus valores absolutos y el resultado conservará el signo de los sumandos. Por ejemplo:

2 + 3 = 5. -7+-2 =- (7+2) =- 9.

Lo anterior nos permite concluir que:

• La suma entre números positivos siempre dará como resultado un número positivo.
• La suma entre números negativos siempre dará como resultado un número negativo.

Caso 2: suma de enteros de distinto signo

Si los sumandos tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos (al mayor valor absoluto se le resta el menor) y el signo del resultado será el signo del sumando con mayor valor absoluto. Por ejemplo:

-7 + 20 = + (20 - 7) = +13 = 13 34 +(-100) =- (100-34) =- 66

¿Qué debemos hacer al sumar dos números de signo contrario y de igual valor absoluto, por ejemplo -18 + 18?

• Naturalmente ambos números tienen el mismo valor absoluto, por lo que al restarlos obtendríamos +0 6 -0, lo que es simplemente igual a 0. Recuerde que, al sumar un número entero con su inverso aditivo, el resultado siempre es cero.

Sustracción entre números enteros

Si a y b son dos números enteros cualesquiera, la resta o diferencia entre a y b se denota por a - b donde a es el minuendo y b el sustraendo. El resultado de la resta corresponde a la diferencia entre a y b, en ese orden.

Resolver la resta a - b es equivalente a resolver una suma entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo, es decir:

a - b = a + (-b)

La suma anterior la resolvemos como ya aprendimos en la página anterior.

Ejemplos:

• a) 80 - 120 En esta resta, 80 es el minuendo y 120 el sustraendo, por lo tanto, el inverso aditivo del sustraendo es -120. Luego, expresamos esta resta como una suma: 80- 120 = 80 + (-120) Resolviendo esta suma según lo aprendido en la página anterior, obtenemos que: 80 - 120 = - 40

• b) 58- (-30) En esta resta, 50 es el minuendo y -30 el sustraendo, por lo tanto, el inverso aditivo del sustraendo es 30. Luego, expresamos esta resta como una suma: 58-(-30) = 58 + 30 Resolviendo esta suma, que es bastante sencilla, obtenemos que: 58-(-30) = 88

Usted en el ejemplo b) se habrá dado cuenta que una resta de la forma a - (-b) se transforma en una suma de la forma a + b. Aquí insistimos en que la operación suma + aparece debido a la definición de resta. Aquí no interviene la regla de los signos, por lo que afirmar que "menos con menos es más" es un error.

A continuación, se abordan más ejemplos sobre lo expuesto anteriormente:

• a) 48 - (-10) = 48 + 10 = 58
• b) -1-(-3) = - 1+3 =2
• c) -15 - (-100) = - 15 + 100 = 85

Multiplicación y División entre enteros

Para la resolución de multiplicaciones y divisiones en los números enteros consideraremos dos casos, cuando ambos números tiene igual signo, y cuando tienen distinto signo.

• Si ambos números tienen igual signo, multiplicaremos o dividiremos sus valores absolutos y el resultado será siempre positivo.
• Si ambos números tienen distinto signo, multiplicaremos o dividiremos sus valores absolutos y el resultado será siempre negativo.

Lo descrito anteriormente se conoce popularmente como la REGLA DE LOS SIGNOS.

REGLA DE SIGNOS

+ + + = + - .-= + + = - = - + = -

+ : + = + -:-= + + : - = - -

Hay que insistir en que esta regla solo nos permite encontrar el signo del resultado de la operación.

Ejemplos:

• a) 12 . 3 = 36
• e) 72 : 9 = 8
• b) (-12) . (-6) = + (12 . 6) = 72
• c) 7 . (-10) = - (7 . 10) = - 70
• d) (-16) . 4 = - (16 . 4) = - 64
• f) (-18) : (-6) = + (18 : 6) = 3
• g) (-165) : 11 = - (165 : 11) =- 15
• h) - 44 : - 22 = + (44 : 22) = 2

: + = -

Operatoria combinada

Al resolver una operatoria combinada que involucre más de dos operaciones, debemos respetar la prioridad de las operaciones:

1. Se resuelven paréntesis (desde el más interior hacia afuera).
2. Se resuelven multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
3. Se resuelven adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha o por agrupación.

Propiedades en los números enteros

La siguiente tabla resume las propiedades de las operaciones adición y sustracción en los números enteros.

Sean a, b y c números enteros cualesquiera:

Adición Multiplicación

Clausura Al sumar dos números enteros, su resultado también será entero.

Al multiplicar dos números enteros, su resultado también será entero.

Conmutatividad a + b=b+a

a · b = b · a

Asociatividad a + (b+c) = (a+b)+c

(a · b) · c = a . (b . c)

Elemento neutro Para todo a existe el 0 tal que: a+ 0 = 0 + a = a

Para todo a existe el 1 tal que: a · 1 = 1 . a = a

Elemento inverso Para todo a, existe -a tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0

No existe para todos los números enteros.

Distributividad a · (b + c) = a · b+a·c