Fundamentos del Álgebra Numérica de la Universidad de Salamanca

Fundamentos del Álgebra Numérica

Índice

1. Normas vectoriales. Espacios normados. 2. Normas matriciales. 3. Número de condición de una matriz.

Normas vectoriales. Espacios normados

Norma vectorial

· Norma vectorial: sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales IR. Una norma sobre V es una aplicación:

... |V>R V > |v|

tal que:

1. |v |= 0 si y sólo si v = 0. 2. |v| = |X| . |v| para todo A ER y v E V. 3. Desigualdad triangular: |u + v| < |u| + |v|, para todo u, v E V.

· Además se verifica || v | ≥ 0 puesto que: 0 = |0| = |v - v|< |v| + |- v|= 2|v|.

Ejemplo (norma usual en IR")

. 2 : Rn R (v1, ... , Vn) -> |v|2 = V V2 + ... + v2

· Esta aplicación verifica las tres propiedades que definen a una norma: 1. |v |2 = 0 si y sólo si v = 0: v = (0, ... , 0) <> |v|2 = 102 + ... + 02 = 0

Ejemplo (norma usual en IR")

1. |v|2 = = X|v|2 2. V (VI)2+ ... + (\vn)2 = \ x2(v2 + . + v2)

2 ( | u | 2 + | v | 2 ) 2 = (| u + v |2 )2 = (u1 + v1)2 + ... + (un + Vn)2 Vu2 + ... + u} + \ v} + ... + v2) = 1} + ... + 2 + v} + . + v2 + 2/1} + ... + u2 . V Ví + ... + v2 De esto se deduce que (|u + v|2) ≤ (||u||2 + |v||2)2.

Ejemplo (norma usual en Rn)

· Consideremos los vectores: u = 1 0 1 , V= 0 1 , W = 0 3 0 4 Entonces se tiene que: · |u|2 = V12 + 12 = V2. · V 2 = V12 = 1. · w|2 = V42 + 32 = 25 = 5.

Ejemplo de norma infinito en Rn

... 1100: R n > R (V1, ... , Vn) > |v |2 = max{|v1 |, ... , | Vn|} · Esta aplicación verifica las tres características que definen a una norma: 1. |v|× = 0 si y sólo si v = 0: v = (0, ... , 0) > |v| = max(|0|, ... , |0|) = 0.

Ejemplo de norma infinito en Rn

1. ||v|00 = máx{\v1|, .... |\vn|} = |X| . |v|00. 2. |u + v |x = = máx{|u1 + V1 , ... , |un + Vn]}, a +|V|0 = Umax + Vmax . De esto se deduce que |u + v| < (|u| + |v|co).

Ejemplo de norma infinito en Rn

· Consideremos los vectores: u = 1 0 1 , V = 0 1 , W = 4 0 3 , 0 Entonces se tiene que: · u = max{|1|, |0|, |1} =1. · v = max{|0|, |1|,|0} =1. · w| = max{|4|, |3|, |0|} = 4.

Espacio normado

· Espacio normado: un espacio vectorial V con una norma II . || se denomina espacio normado. · Se pueden definir varias normas sobre el mismo espacio. · Un espacio normado (V, || ... | . verifica las siguientes propiedades: 1. |u + v| ≥ 0, para todo u, v € V y | u - v | = 0 si y solo si u = V. 2. |u + v | = ||v + u|para todo u,v E V. 3. ||u - w|| ≤||u-v|+ |v -w.

Ejemplo de las propiedades del espacio normado

· Consideremos el espacio normado (IR", | . ||) 1. |u+v| = máx{\u1 + V1|, ... , | Un + Vn|} > 0. |u-v|x = max{\u1 - V1 |, ... , |Un - Vn]}. 2. | u + v |00 = máx{\ u1 + v1 |, .... |un + Vn] }. ||v v + U . = máx{|v1 + u1|, .. , | Vn + Un| } . 3. ||u - w = |u - (v + v) - w| = |(u - v) + (v - w)| < | u - v| + |v - w|.

Ejemplo de las propiedades del espacio normado

· Consideremos el espacio normado (IR3, | . |0%) y los vectores: u = 1 0 1 , V = 0 1 0 , W = 4 0 3 , entonces se tiene que: |u+v|=|(1,1,1)| = max{1, 1,1} =1. |u - w|x = |(-3,-3, 1)|0 = 3. |u-V| = |(1,-1, 1)| =1. ||v - w| = |(-4, -2, 0)| = 4. · De este modo se puede observar que: | u + v | > 0, |u + V |x = |v + uy u-w|x|u-Vo+|V- WOO.

Convergencia en espacios normados

. Convergencia de una sucesión: sea (V, | ... |) un espacio normado. Diremos que una sucesión

11 {VninEN (1) de elementos de V converge a v E V, si para todo € > 0 existe un número N tal que para todo n _ N se tiene que | Vn - v| < E. (2) · En este caso se denotará como: lím Vn = V O Vn -> V

Ejemplo de convergencia en espacios normados

. Ejemplo: si consideramos la norma 12, la sucesión de vectores de R3, {vn}nEN con

Vn = ( - 1 n 1 1 h2 , en 1 - es convergente al vector v = (0, 1,1) ya que Vn-V 2 = |1/n-0,1-(1/n2) - 1, e1/n) - 1|2 = V (1/n)2 +(1/n2)2+((e1/n) -1)2 se hace tan pequeño como queramos para una n suficientemente grande.

Normas matriciales

Norma matricial

· Norma matricial: sea Mn(IR) el espacio vectorial de las matrices cuadradas reales de orden n. Una norma matricial es una aplicación

II . . . |: || . . . | : Mn(R) > R A A tal que: 1. |A| = 0 si y sólo si A = 0. 2. |A| = |X| . | A| para todo X E R y A E Mn(R). 3. |A+B| < |A| + |B|, para todo A, B E Mn(IR). 4. |AB| < |A| · |B|, para todo A, B E Mn(IR). · Además se verifica |A|| > 0 puesto que: 0=0|=A-A|<|A|+ -A=2A.

Ejemplo (norma matricial subordinada)

: Mn(R) R A > |A| = sup H v=0 |A . v| v = sup |A . u|| ||u||=1 . De este modo se tienen las siguientes normas matriciales: |1 := sup| u||=1 |A . u|1 |u|1 = |41| + ... + |un|) . |2 : = sup |=1 | A . u|2 (|u|2 = Vu} + ... + u2) . . |x := sup|=1|Au| |u| = max{[u], .... |un| }) . . .

Cálculo de normas matriciales subordinadas

. | A||1 = max1 << nilaij|. · |A|2 = Vo(A* . A) = Vo(A . A*) = |A* |2. Además esta norma es invariante por transformaciones unitarias: si Q E Mn(R) tal que Q · Q* = Idn se verifica que: | A | 2 = | A . Q | 2 = |Q . A|2 = | Q * . A . Q |2. por lo que si A es normal, entonces | A||2 = 0(A). Si A es hermítica, entonces | A||2 = 0(A). Si A es unitaria entonces ||A|2 = 1. · |A|0 = max1 << n Ej_1 | aj|.

Ejemplo de cálculo de normas matriciales

· Consideremos la matriz: 0 1 0 1 0 0 4 2 0 , · |A|1 = máx1 << n Li-1 |aj| = máx{1, 3, 4} = 4. · A|2 = Vo(A* . A) = 16 = 4. · |A|00 = máx1 << n Ej_1 |aj| = máx{2, 2, 4} = 4.

Propiedades de las normas subordinadas

A1. · Sea una norma matricial subordinada a una norma vectorial sobre Rn. Se verifica que: 1. |A. v| < |A| . |v|, para todo A E Mn(R) y VER". 2 . |A| = inf { \ > 0 : |A . v| < >|v|, VER"}. 3. Existe u E IR" tal que |A . v| = |A| . |u|. 4. |/dn| =1.

Ejemplo de las propiedades

· Consideremos la matriz y el vector siguientes: A = 1 0 020 0 1 0 4 , V= . 1 1 2 entonces |A| = 4, |v| = 2 y|A . V|x = 4. · Consideremos la matriz: B = 010 0 100 0 1 , |B|1 = máx1 << n Ei=1 |bij| = max{1, 1, 1} = 1, |B|2 = Vo(B* . B) = V1=1, |B|0 = max1 << n Ej_1 |bij| = max{1, 1, 1} =1.

Norma de Frobenius

· Sea A = (aij) E Mn(R). Entonces: tr(A* · A) = n i,j=1 a¡ | 2. 2 . De este modo se define la norma de Frobenius IF como |A|F = Vtr(A* . A) = tr(A . A*). . Esta aplicación verifica las propiedades de una norma matricial y además se verifican las siguientes desigualdades: |A|2 | A|F < Vn. |A|2.

Ejemplo de la norma de Frobenius

· Consideremos la siguiente matriz: A = 0 20 , 1 00 0 0 4 entonces se tiene que | A|F = \12 + 22 + 42 = 121. . Nota: sea A E Mn(R). . Para toda norma matricial se verifica que: (A) < | A|. . Para todo E > 0 existe una norma matricial . . ||A,€ tal que: II ... IlA,E Se(A) + E.

Convergencia matricial

· Convergencia de una sucesión de matrices: sea una norma matricial sobre Mn(R). Diremos que una sucesión de matrices: {Am}MEN, Am E Mn (IR) , converge a una matriz A, y diremos limm-> Am = A, si lím |Am - A|= 0. m->00

Ejemplo de convergencia matricial

.IF y la Am = m 1 1 m + + 2 m2 m m2+3 1 - e-3/m4 ) 4 m E M2(IR). Entonces ya que: lím Am = A = m->00 1 0 0 0 Am - AF = + m m2+3 1 m 4 m 1 - e-3/m4 2 F m = m2 + 3 2 + 4 - m 2 m2 2 + - 1 m + 2 m2 + (1 - e-3/m4) 2

O . Ejemplo: Consideremos la norma de Frobenius sucesión de matrices {Am} mEN tal que

Teoremas de convergencia

· Sea A E Mn(R). Los siguientes resultados son equivalentes: equivalentes: · límm-> Am = 0. · límm-> Am . v = 0 para todo v E R" · Q(A) < 1. . Existe una norma matricial tal que |A| < 1. . Si A E Mn(R) y || una norma matricial entonces: lím |Am|1/m = (A). m->00

Número de condición de una matriz

Número de condición de una matriz

· Se dice que un problema esta mal condicionado cuando pequeños cambios en los datos de entrada, x, dan lugar a grandes cambios en la solución y. · En general para cuantificar el condicionamiento de un problema y = P(x) se define su número de condición k = k(x) ≥ 0 tal que: P(x) - P(x) P(x) ~ k(x) X - X x . Si el numero de condición es menor que 1 o cercano a 1 el error en los datos de entrada no se amplificará mucho. En caso contrario, si este número toma valores muy grandes, el error final será una gran amplificación del error del dato de entrada.

Ejemplo con un sistema de ecuaciones lineales

. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 10×1 + 7x2 + 8x3 + 7x4 = 32 7x1 + 5×2 + 6×3 + 5x4 = 23 8×1 + 6×2 + 10×3 + 9×4 = 33 7x1 + 5×2 + 9×3 + 10×4 = 31 Se tiene que Ax = b de modo que: 7 8 A = 7 7 10 8 6 5 5 10 9 6 7 9 10 5 , X = X2 X3 X1 X4 b = 23 33 31 32 , . La solución para este sistema es u = (1, 1, 1, 1)T.

Ejemplo con un sistema de ecuaciones lineales

. Consideremos ahora las siguientes perturbaciones de A y b: 10 7 8,1 7,2 , 5 Ã = A + AA = 7,08 8 5,98 4,99 5,04 6 8,89 9 9,98 , 9 6,99 b= b+ &b = (32, 1 32,9 33,1 30,9) ™ · Para estas dos perturbaciones se tienen las siguientes dos soluciones de los problemas A . X = b y A · X = b: . u+ Au = (-81 137 -34 22)T. T · u + ðu = (9,2 -12,6 4,5 -1,1)T . · El problema consistente en resolver el sistema A · X = b está mal condicionado.

Número de condición de un sistema lineal

· Sea A · x = b un sistema de ecuaciones lineales, de manera que b + ob es una perturbación y u + ou la solución del sistema perturbado. Entonces se tiene que: A . (u + du) = b+ 8b > A . Su = &b => Su = A-1. 8b > Su| |A-1| |86| A . u=b = b_ A . u => 1 | u < |A| 6 · Entonces se tiene que: lu <|A |A-1 · |8b| b

Número de condición de un sistema lineal

· Condicionamiento o número de condición: sea una norma matricial y A E Mn(IR) una matiz invertible. Se denomina condicionamiento o número de condición de la matriz A respecto a la norma · || al número: cond(A) = |A| . |A-1 ||. . Notación: cuando nos referimos a una norma específica | ... ||p con 1 < p > co, se denotará el condicionamiento de la matriz A respecto de dicha norma ||p como: condp(A) = |A||p . |A-1 |p.