Tema 2: Triángulos, propiedades de ortocentro y baricentro

Triángulos

2.2 Triángulos Colores de un triángulo de Wassily KandinskyTriángulos 5 MINUTOS Triángulo: tres puntos no alineados A, B ,C, el subconjunto intersección de los tres semiplanos que determinan, tomando como recta base la recta que pasa por dos de ellos.

Definición de Triángulo

Ejercicio: Haz un dibujo que muestre la definición dada. Es decir: - Dibuja los tres semiplanos y diferencialos pintándolos de diferente color.https://es.mathigon.org/login Triángulos B X https://www.geogebra.org/m/ZGbnR5CYadora da part 0 Detormesorcorso 2 sem pianos-fraya unos:)

https://www.youtube.com/watch?v=kuyr60bkJLU· También podemos definir triángulo como polígono de tres lados. · Es decir, porción del plano limitada por una poligonal cerrada formada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos.

Punto de Partida: Nomenclatura

Punto de Partida A cada vértice de un triángulo le asignaremos una letra mayúscula A, B y C, siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj. Además, a cada lado del triángulo le asignaremos una letra minúscula que sea igual al de su vértice opuesto. Por último, a cada ángulo del triángulo lo denotaremos poniendo el signo L delante de su vértice. C b C a ZA A ZB c

Recordemos: Polígonos Cóncavos

BRECORDEMOS ¿Se puede construir un polígono de tres lados cóncavo? Esto NO es un triángulo. Es más, no es POLÍGONO Todos los triángulos son polígonos convexos

Tipo de Relaciones entre Ángulos

Según la relación entre sus medidas

• Ángulos congruentes Dos ángulos son congruentes si tienen la misma amplitud.
• Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si suman 90°
• Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman 180º
• Ángulos conjugados Dos ángulos son conjugados si suman 360º

Según la posición de los ángulos

• Ángulos adyacentes Ángulos consecutivos. Si tienen un lado común y el mismo vértice.
• Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes. Son consecutivos y tienen el lado no común sobre la misma recta.
• Ángulos opuestos por el vértice Ángulos opuestos por el vértice. Tienen el mismo vértice y los lados de una son semirrectas opuestas de los lados de la otra.

Algunas Propiedades de los Triángulos

1. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. P' LP + ZQ + LR = 180º R P C Un ángulo adyacente de un ángulo interior se dice que es un ángulo exterior. Q Los triángulos son siempre figuras convexas

2. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. LQ' = 2R + 2P R P P R Q Ángulo interior Ángulo exterior R Lo anterior es una prueba, pero no se trata exactamente de una demostración rigurosa

3. La suma de los ángulos externos siempre es 360º. 120° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 La suma de los ángulos externos del cartabón es 150°+90°+120°=360º 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 90º 150º http://filemon.upct.es/~pepemar/triangulo/conceptos.htm

Demostración de la Suma de Ángulos Externos

3. La suma de los ángulos externos siempre es 360º. ¿Cómo lo demostramos? ZR' LR LP LP' Ángulo exterior LOʼ 2Q' = 2R + 2P LP' = 2Q + 2R LR' = 2P + 2Q 2Q' + LP' + 2R' = 2P + 24Q+22R 2Q' + 2P' + 2R' = 2(2P + 2Q+2R) LQ' + P' + 2R' = 2(180º)=360º http://filemon.upct.es/~pepemar/triangulo/conceptos.htm

4. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. Aa = 39º CA = 5 AB = 11 En todo triángulo al lado mayor se le opone el ángulo mayor. /C Y = 117° B B = 24° BC = 8

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. 0 7,01 cm 7,01 cm a 64,2 ° 64,2°

Clasificación de Triángulos

5 MINUTOS Escaleno Isósceles Equilátero Acutángulo Rectángulo Obtusángulo CLASIFÍCALOS G H B E C

Diagramas de Doble Entrada

Diagramas de doble entrada Equilátero Isósceles Escaleno Acutángulo D B = 60° DF = 5.64 F Y = 60° ED = 5.64 FE = 5.64 a = 60° E A) 65º 65° B $ = 54,7* 5cm Rectángulo C c=5 cm a=3 cm 90° 90° A B 5 cm B =77.8* c = 6,77 cm a = 7,35 cm A= 46.8* b= 3.53 cm b= 4 cm Obtusángulo 16 50° 6 cm 6 cm 5 cm 7cm

Clasificación por Lados y Ángulos

Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. X ESCALENO ISÓSCELES EQUILÁTERO Lados No hay dos que sean = Exactamente dos son = Los tres son = Ángulos La suma de los Ls es 180º La suma de los Ls es 180°; dos Ls son = La suma de los Ls es 180°; tres Ls son =https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=ZoElUp-MrE0&feature=emb_logo

Tipos de Triángulos por Ángulos

Clasificación de los triángulos a > 90° 1 α, β, γ . 90° 2 La Y cateto Hipotenusa cateto OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO En un triángulo obtusángulo, al menos uno de sus ángulos es obtuso, lo que significa que tiene una medida mayor a 90 grados. Los otros dos ángulos son agudos, con medidas menores a 90 grados. Un triángulo acutángulo es aquel en el que todos sus ángulos son agudos, es decir, tienen medidas menores a 90 grados. Los tres ángulos son puntiagudos, como si fueran "afilados". Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, que mide exactamente 90 grados. Los otros dos ángulos son agudos y suman menos de 90 grados en total.

Más Propiedades de Triángulos

Más propiedades ... 10 MINUTOS 6. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Comprueba la propiedad. Pon tres ejemplos distintos de triángulos que se puedan construir y otros tres que no. Triángulo Imposible AC=4; CB=4; AB=9 Triángulo Imposible AC=1; CB=1; AB=5 C 4 cm 5 cm A 4 cm B AB < BC + CA 4 cm < 5 cm + 4 cm POSIBLE

Congruencia entre Triángulos

Más propiedades ... Congruencia entre Triángulos 7. Dos triángulos son iguales (o congruentes) cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes (ALA). 8. Dos triángulos son iguales (o congruentes) cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos (LAL) 9. Dos triángulos son iguales (o congruentes) cuando tienen los tres lados iguales (LLL). Para reflexionar ... ¿ Es posible construir un triángulo diferente con los mismos tres lados? https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-congruence/xff63fac4:hs-geo-congruent-triangles/a/triangle-congruence-review

Semejanza entre Triángulos

Más propiedades ... Semejanza entre Triángulos 10. Dos triángulos son semejantes si su lados correspondientes son proporcionales. (LLL) ¿En este ejemplo cuál es la proporción? 40 mm 54 mm mn 27 mm 10 m N 60 mm

Algunas propiedades Semejanza entre Triángulos 11. Dos triángulos son semejantes si los ángulos interiores correspondientes son congruentes. (AAA) C B B" A C A A A" C B B' 12. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes. (LAL)

Importancia de los Triángulos en Obras

¿Por qué crees que se ven tantos triángulos en las obras? Esto se debe a que el triángulo es la única figura geométrica que no se deforma cuando actúan fuerzas sobre esta. Cualquier otra forma geométrica utilizada como estructura no será rígida o estable hasta que se triangule. VS.

Mapa Conceptual de Triángulos

Completa en siguiente mapa conceptual

Clasificación de Polígonos de 3 Lados

Al menos dos lados congruentes Un ángulo obtuso Tres lados congruentes Ningún lado Congruente POLÍGONOS De 3 lados Tres ángulos agudos Un ángulo obtuso Un ángulo recto I TRIÁNGULOS 10 MINUTOS TRIÁNGULO RECTÁNGULO

POLÍGONOS De 3 lados I TRIÁNGULOS Tres lados congruentes Al menos dos lados congruentes Ningún lado Congruente TRIÁNGULO ISÓSCELES TRIÁNGULO ESCALENO Un ángulo recto TRIÁNGULO EQUILÁTERO TRIÁNGULO RECTÁNGULO Tres ángulos agudos Un ángulo obtuso Un ángulo obtuso TRIÁNGULO ACUTÁNGULO TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

Elementos Notables de un Triángulo

Alturas y Ortocentro

Elementos notables de un triángulo.ALTURAS ALTURAS son las rectas perpendiculares trazadas por el vértice al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en un único punto llamado ORTOCENTRO. B 90° 90° AB BC A 90 AC C A E B A C Geoplano

Situación del Ortocentro

¿Qué podemos deducir sobre la situación del ortocentro con respecto a los distintos triángulos (rectángulos, acutángulos y obtusángulos) y las alturas? ¿ son siempre interiores? A 5 Triángulo Acutángulo 90° 90° AB BC 3 A 90° -- AC - C - C mielmach a -1 0 2 3 4 5 6 7 ho b ha -1 g C B . 2 A' -3 Triángulo Obtusángulo .Ortocentro - -4 Triángulo Rectángulo B 4 f 2 B = 90° h ORTOCENTRO a = 90° B /À. hb H -----

Para Recordar sobre el Ortocentro

PARA RECORDAR ... Todo triángulo tiene un solo ortocentro. · Si es RECTÁNGULO está en el vértice del ángulo recto. · Es un punto interior si el triángulo es ACUTÁNGULO. • Es un punto exterior si el triángulo es OBTUSÁNGULO. Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo): · Si es RECTÁNGULO la altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo. · Si es ACUTÁNGULO las tres alturas son interiores al triángulo. · Si es OBTUSÁNGULO la altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo. 30

Medianas y Baricentro

MEDIANAS MEDIANAS son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un único punto llamado BARICENTRO que es el centro de gravedad del triángulo. C A mA B F D AC = 10.39 a = 90° G A BA = 6 G B 1 E C B = 70.08° mB 1 mC - mB mC baricentro G Triángulo Obtusángulo Triángulo Rectángulo A a =57.2° Y = 52.73º B mA a = 120° 1 CB = 6 IH Triángulo Acutángulo

Para Recordar sobre el Baricentro

PARA RECORDAR. No hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo. Las medianas siempre se dividen entre sí en relación 2: 1. Para cada una de las tres medianas, la distancia desde el vértice al baricentro es siempre dos veces la distancia desde el baricentro hasta el punto medio. A D F G B C E https://es.mathigon.org/course/triangles/properties

Mediatrices y Circuncentro

MEDIATRICES MEDIATRICES son las rectas perpendiculares a cada lado trazadas por su punto medio. Las tres mediatrices se cortan en un punto único llamado CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia circunscrita. https://www.youtube.com/watch?v=QGvJZ bNPR40 https://www.geogebra.org/m/Xrm fvECj B CIRCUCENTRO Triángulo Acutángulo B A 71.57º C A F D 90° 90° D O H 90° 90° 63:43º 45° A E C B C Triángulo Obtusángulo Triángulo Rectángulo

Para Recordar sobre el Circuncentro

PARA RECORDAR. Un CIRCUCENTRO puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo): · Triángulo rectángulo, circuncentro en el punto medio de la hipotenusa. · Triángulo obtusángulo, circuncentro en el exterior del triángulo. • Triángulo acutángulo, circuncentro en interior del triángulo. 34