Ecuaciones: resolución y aproximación numérica de raíces en Matemáticas

OPOSICIONES SECUNDARIA MATEMÁTICAS

TEMA 14 ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE RAÍCES. Página 1 de 13OPOSICIONES SECUNDARIA MATEMÁTICAS

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1. INTRODUCCIÓN

1.1. JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, el concepto de ecuación, es uno de los más importantes del álgebra ya que resuelven problemas que requieren la determinación de un valor o valores que cumplan determinadas condiciones, lo cual permite su utilización en múltiples campos.

1.2. RESEÑA HISTÓRICA

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, lo siguientes libros: BOYER, CARL B .: Historia de la matemática y IFRAH, G .: Historia universal de las cifras. Las civilizaciones más antiguas se aproximaron a lo que hoy en día denominamos "álgebra" mediante la resolución de problemas concretos. Ya Diofanto en el S.III utilizó abreviaturas y resolvió ecuaciones asociadas a problemas específicos. Los árabes le dieron un gran impulso a esta disciplina presentando métodos generales para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Tartaglia y Cardano (S.XVI) resolvieron la ecuación cúbica, y Ferrari (alumno de Cardano) la de cuarto grado. Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el libro III de la geometría escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes (S. XVII) se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Gauss (S.XVIII), por su parte, demostró el denominado "Teorema fundamental del Algebra" y Ruffini (S.XIX), hizo valiosas aportaciones entorno a la factorización de polinomios y al cálculo de raíces enteras. Abel (S.XIX) demostró la inexistencia de fórmula para la resolución de ecuaciones de grado superior a cuatro. Este hecho, hace que adquieran mucha importancia diversos métodos de aproximación de las raíces reales de las ecuaciones.

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2. ECUACIONES

2.1. DEFINICIONES GENERALES

Definición Sean (A, +,;) un cuerpo y f : A -> A una función, llamamos ecuación en el cuerpo A a toda expresión de la forma f (x) = 0, siendo 0 el elemento neutro respecto a la primera ley de composición interna (+) en A. Además: · Llamaremos solución a todo elemento a € A tal que f (a) = 0. · Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. · A la variable x se le denomina incógnita. · Dos ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Notas I. Consideramos a lo largo del tema las ecuaciones en los cuerpos R o C II. Las ecuaciones se pueden clasificar de distintas formas: a. Según el número de incógnitas. b. Según el número de soluciones. i. Ecuaciones con un número de soluciones vacío. ii. Ecuaciones con un número de soluciones finito. iii. Ecuaciones con un número de soluciones infinito. c. Según la naturaleza de las expresiones que aparecen en la ecuación. Así, dada la ecuación f (x) = 0: i. Si la función f es polinómica, la ecuación se denomina algebraica o polinómica. Estas, a su vez, pueden ser: 1. Racionales: pudiéndose ser enteras o fraccionarias. 2. Irracionales ii. Si la función f es una función transcendente (exponencial, logarítmica, trigonométrica, ... ), la ecuación se denomina transcendente. ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALESS ENTERAS (Ej .: x2 - 5x + 6 = 0) FRACCIONARIAS (Ej .: x 2 x -1 x+3, IRRACIONALES (Ej .: \x = x + 2) TRANSCENDENTES (Ej .: 3x = 8) d. Por el grado de la ecuación.

2.2. ECUACIONES ALGEBRAICAS

Dentro de todos los tipos de ecuaciones anteriores, vamos a basar el tema en el estudio de las soluciones de las ecuaciones algebraicas. Teniendo en cuenta aportaciones como De Burgos, J. y Rey Pastor, J. definimos ecuación algebraica:

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Definición de Ecuación Algebraica

Se llama ecuación algebraica con una incógnita y coeficientes reales a la ecuación que se reduce a la forma: anxn + an-1x2-1 + ... + a1x + ao = 0 donde n E N, a¡ E R (i = 0, ... , n), ambos conocidos. A n se le llama grado de la ecuación y los a¡ se denominan coeficientes de la ecuación. Nota En adelante, por simplificar, denotamos: Pn (x) = anxn + ... + a1x + ag, n E N, ai E R. Definición Si la ecuación Pn (x) = 0 tiene exactamente n raíces iguales a & E R, se dice que a es una raíz múltiple de orden de multiplicidad n E N. En particular, si n = 2 se dice raíz doble, si n = 3 es raíz triple ... Teorema a E R es raíz de la ecuación Pn (x) = 0 si y sólo si el polinomio Pn (x) es divisible por x - a. Teorema (Teorema Fundamental del Algebra) Toda ecuación polinómica de grado mayor o igual que 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Teorema Toda ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n-raíces (reales o complejas) contadas con su índice de multiplicidad. Demostración Sea Pn (x) = anxn + ... + a1x + ao = 0,n E N, ai ER Por el Teorema Fundamental del Álgebra, existe una raíz a1 de P (x) = 0 y podemos expresarlo de la forma: P (x) = (x -a1) · Pn-1(x) donde Pn-1(x) es un polinomio de grado n - 1. Si la ecuación P2-1(x) = 0 le aplicamos el Teorema Fundamental del Álgebra, existirá una raíz a2 y podremos expresar Pn-1(x) como Pn-1(x) = (x-a2) · Pn-2(x), siendo Pn-2(x) un polinomio de grado n -2. Por tanto: Pn (x) = (x-a1) . (x-a2) . Pn-2(x) Si repetimos el proceso, podemos concluir, por tanto, que: Pn (x) = (x-a1) . (x-a2) . ... . (x-an) Teorema Toda ecuación algebraica con coeficientes reales que tiene una raíz compleja, entonces también tiene a su conjugada como raíz. Teorema Si x = & E Q irreducible es una raíz fraccionaria de la ecuación algebraica Pn (x) = anx™ + ... + a1x + ao = 0 con aj E Z, Vi = 0, ... , n, entonces se verifica que plao y qlan-

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Corolario de Ecuaciones Algebraicas

1. Toda raíz entera de una ecuación algebraica de coeficientes enteros es un divisor del término independiente.
2. Si el polinomio de la ecuación algebraica con coeficientes enteros es mónico (coeficiente de mayor grado es igual a 1), entonces en dicha ecuación no hay raíces fraccionarias.

Teorema (Fórmulas de Cardano-Vieta)

Dada la ecuación algebraica Pn (x) = 0, cuyas raíces son r1, r2, ... , în, que pueden ser distintas o no, entonces: r1 + 12 + ... + în =- = an-1 an - rir2 + 1113 + ... + In-1În = an an-2 r1 . r2 . ... . rn = (-1)n . ao an

3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

3.1. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

La ecuación de la forma ax + b = 0 con a, b E R, a # 0 se denomina ecuación lineal o de primer grado y tiene una solución inmediata que es x = = 2. En efecto: a · + b =0.

3.2. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

La ecuación general de esta ecuación es ax2 + bx + c = 0 con a, b, c E R, a # 0. Su solución viene dada por la fórmula: -b±vb2-4ac x = 2a En efecto: ax2 + bx + c = 0 =>4a2x2+4abx +4ac=0=>4a2x2+4abx +b2-b2+4ac=0 Ent.Not. (2ax + b)2 =b2-4ac=>2ax+b=±vb2-4ac =>2ax =- b±vb2-4ac =>x= -b±vb2-4ac 2a Observación Al número b2 - 4ac se le llama discriminante de la ecuación y se le denota por 4, según el valor del discriminante podemos afirmar que: · Si 4> 0 -> la ecuación tiene dos raíces reales y distintas · Si 4= 0 -> la ecuación tiene una raíz real doble · Si 4< 0 -> la ecuación no tiene raíces reales

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3.3. ECUACIÓN DE TERCER GRADO

La ecuación de tercer grado completa tiene como forma general ax3 + bx2 +cx +d = 0 con a, b, c, d E R, a # 0. Se puede simplificar dividiendo por su coeficiente principal a, quedando: x3 + ax2 + Bx + y = 0 con a, B, Y E R. Esta ecuación puede tener tres raíces reales o bien una raíz real y dos complejas conjugadas. Veamos el procedimiento de resolución. En efecto: comenzamos eliminando el término de segundo grado mediante el cambio de variable: x = x' - ª: (x'-) +a.(x'-) +B. (x' -2) +Y = 0 N =>13_x12 + 0x'-27+ x2_ x'+0 + Bx' -3 + Y = 0 ,2 + 3 + 27 αβ 3 +Y= 0 Si hacemos p = B - 02 y q = 2ª _ aB + y, tenemos: x'3 + px' + q = 0 Realizamos un nuevo cambio de variable: x' = u + v, entonces: (u +v)3 +p.(u+v)+q=0=>u3+3u2v+3uv2+v3+pu+pv+q=0 =>u3 +v3 + q + (u+v) . (p+3uv) =0 Imponemos: p + 3uv = 0 > u . v = = >3 . v3 =_ 03 lu3 + v3 + q = 0 => u3 + v3 = - q 27 Por tanto, u3 y v3, por las fórmulas de Cardano-Vieta, son las soluciones de la ecuación: y2 + qy - 23 = 0 27 210 2 + 3 2 2 + 3 de donde obtenemos 3 valores para u y otros 3 para v: Luego: u3 = - 4 + ( GIN u1 = 3 q 2 + 2 + 3 3 q 2 3 + 2 V 9 2 V

3.4. ECUACIÓN DE CUARTO GRADO

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, el siguiente libro: APOSTOL, TM .: Calculus

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