Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange per funzioni derivabili

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Corso di Laurea e Insegnamento

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia CAP 18 18 - TEOREMI RELATIVI A FUNZIONI DERIVABILI c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia 18 - TEOREMI DI FUNZIONI DERIVABILI Nell'ambito delle derivazione di funzioni reali di variabile reale si collocano diversi teoremi + tra i quali riportiamo i più importanti: + + Teorema di Rolle - Teorema di Cauchy e Teorema di Lagrange. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Dimostrazioni Teoremi

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia + Le dimostrazioni di questi teorem1 sono 1n ordine sequenziale, e, nel provare ciascuno di questi teoremi si usa sempre il risultato fornito + + dal precedente. Il prerequisito di + + partenza è un teorema che abbiamo già visto : il teorema di Weierstrass che ripetiamo: c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Teorema di Weierstrass

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] -> Runa funzione continua, allora f(x)assume almeno un massimo e un minimo assoluti nell'intervallo [a, b]. Parimenti ricordiamo il Teorema di Fermat Sia f : (a,b) ->R una funzione e si supponga che Io € (a, b)sia un punto estremante relativo o locale di f. Se f è derivabile nel punto xo, allora f'(x0) = 0. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Teorema di Rolle

Introduzione al Teorema di Rolle

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia 18 -1 Teorema di Rolle Questo teorema ci dice sostanzialmente che nell'ipotesi di continuità e derivabilità ( esclusi al più gli estremi per la derivabilità di)una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e nell'ulteriore ipotesi che la funzione assuma lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo stesso( ne possono esistere diversi, ma almeno uno sicuramente) nel quale la derivata prima di annulla.Quindi la tangente al grafico in quel punto è una retta parallela all'asse delle ascisse. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Enunciato del Teorema di Rolle

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia Enunciato Se una funzione _y=f(x) è continua sull'intervallo chiuso e limitato a,b ], derivabile internamente ad esso, cioè in (a, b) e tale che f(a)= f(b) cioè assuma lo stesso valore agli estremi, allora esiste almeno un punto c appartenente all'intervallo (a,b) in cui la derivata prima si annulla. Ec E (a,b tale.che f'(c)=0 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Rappresentazione grafica del Teorema di Rolle

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Dimostrazione del Teorema di Rolle

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia Dimostrazione. Per il Teorema di Weierstrass, poiché f(x) è continua, essa ammette in + + [a,b], almeno un minimo, m, ed almeno un massimo, M: c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Casi nella dimostrazione del Teorema di Rolle

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: Economia Scienze bancarie e assicurative 2010 METODI MATEMATICI 35 TEOREMI DI ROLLE- CAUCHY-LAGRANGE 1 T A Facoltà di Economia Si possono avere due casi + 1) Il massimo coincide con il minimo, cioè la funzione è una retta del tipo y-M f (a) = f (b)=m=M In questo caso la funzione è una costante. e il Teorema è banalmente dimostrato, dato che la derivata di una costante è identicamente nulla c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

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Teorema di Cauchy

Introduzione al Teorema di Cauchy

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Formulazione alternativa del Teorema di Cauchy

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Applicazione del Teorema di Cauchy

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Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Introduzione al Teorema di Lagrange

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Rappresentazione grafica del Teorema di Lagrange

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Enunciato del Teorema di Lagrange

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