Note del corso di Statistica per l'Ingegneria Fisica: probabilità e gaussiane

Note del corso di Statistica per l'Ingegneria Fisica

Margherita Zanella 1 7 ottobre 2024

1 Basate sulle Note del Prof. Alessandro Toigo.2Indice

Calcolo delle Probabilità

Spazio campionario, eventi, definizione e proprietà elementari della probabilità

In un esperimento aleatorio, un evento è una qualunque proposizione riguardante il risultato del- l'esperimento stesso. Per chiarire le idee, consideriamo come esempio l'esperimento aleatorio con- sistente in tre lanci consecutivi di una stessa moneta. Allora tutte le proposizioni seguenti sono esempi di eventi:

Ti = "esce testa all'i-esimo lancio" (dove i = 1,2,3) E = "nei primi due lanci esce la stessa faccia" F = "negli ultimi due lanci esce la stessa faccia" G = "il risultato del primo e del terzo lancio sono diversi".

Tramite le operazioni logiche di A ("and"), V ("or") e : ("not"), gli eventi possono essere combinati tra loro in modo da formare nuovi eventi oppure ottenere equazioni logiche. In questo modo, è facile vedere che l'insieme degli eventi acquista una struttura di algebra booleana. Senza entrare nei dettagli della definizione assiomatica precisa di un'algebra booleana, limitiamoci a osservare che, nell'esempio precedente dei tre lanci di una moneta, a partire dagli eventi T1, T2, T3, E, F,G possiamo scrivere

"esce croce al primo lancio" = T1 "esce sempre testa" = T1 A T2 AT3 "esce la stessa faccia in tutti i lanci" = E A F (1.1) e ancora E = (T1 AT2) V (T1 AT2) EAF = EAG = (T1 AT2 AT3) V (T1AT2AT3) TIAG = T1 AT3 (EVF) AT2 = (T1 AT2) V (T2 AT3). (1.2) Notiamo in particolare l'importanza dell'uso corretto delle parentesi quando sono coinvolte nella stessa espressione entrambe le operazioni logiche A e V. Disporre le parentesi nel giusto ordine 56

CAPITOLO 1. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

è essenziale tra l'altro per enunciare nel modo corretto la proprietà distributiva dell'"or" rispetto all'"and" AV (CAD) = (AVC) A (AV D) e l'analoga proprietà distributiva dell'"and" rispetto all'"or" AA (CVD) = (AAC) V (AND). Anche l'operazione di "not" assume un diverso significato a seconda della sua posizione. Per convincersene, basta osservare che nel lancio delle monete i due eventi T1 AT2 e Ti A T2 sono completamente diversi. In generale, valgono infatti le leggi di De Morgan AAB = AVB e AVB = ANB. Per indicare l'implicazione logica tra due eventi si usa il simbolo ≤, cioè A ≤ B significa che l'evento A implica l'evento B. Per esempio, nell'esperimento dei tre lanci di una moneta T1 AT2 ≤ T1 T1 AT3 ≤ G. (1.3) Infine, un ruolo particolare è giocato dall'evento certo (indicato con 1) e dall'evento impossibile (che denoteremo 0). Per chiarire il significato di questi due eventi, osserviamo che per esempio e 1 = T1 V Ti = G V (T1 AT3) V (T1 AT3) 0 = I = Ti AT1 = EAFAG. L'algebra booleana che si ottiene dotando gli eventi delle operazioni logiche A, V e : ricorda (anche visivamente!) le operazioni di intersezione, unione e complementazione di insiemi. Questa è in effetti ben più di una semplice somiglianza intuitiva. Infatti, ciò che si fa in probabilità è proprio rappresentare l'algebra degli eventi in un'opportuna algebra di insiemi. Più precisamente:

(a) assegnato un esperimento aleatorio, si fissa un opportuno insieme 22, detto spazio campionario (o spazio ambiente) di quel particolare esperimento; (b) gli eventi dell'esperimento vengono rappresentati in sottoinsiemi di 22, cioè in insiemi E, F, G ... appartenenti all'insieme delle parti P(22) di 22; (c) in questa rappresentazione, le operazioni logiche A, V e : vengono fatte corrispondere all'inter- sezione n, unione U e complementazione ·e di insiemi; inoltre, l'implicazione logica ≤ tra due eventi corrisponde al contenimento @ di uno nell'altro.1.1. SPAZIO CAMPIONARIO, EVENTI, DEFINIZIONE E PROPRIETÀ ELEMENTARI DELLA PROBAI Per chiarire nuovamente le idee, torniamo ancora al nostro esempio dei tre lanci di una moneta. Una possibile scelta dello spazio campionario per tale esperimento è il prodotto cartesiano 2 = {0,1}3 = {(w1, W2,W3) | wi € {0,1}}, mentre gli eventi T1, T2, T3, E, F,G si possono rappresentare nei sottoinsiemi T1 = {1} } {0, 1} = {(w1,w2,w3) \ \ \ w1 = 1} = {1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} T2 = {0,1} x {1} x {0,1} = {(w1, w2,03) € /2 | w2 = 1} T3 = {0, 1}2 x {1} = {(w1,w2, w3) \ \ \ w3 = 1 } E = {(1, 2, W3 ) \ \ \ w1 = W2} F = {(w1,w2, w3) En/ w2 = w} G= {(1,w2,w3) \ \\w1 # w3} (col lieve abuso di notazione di usare d'ora in poi lo stesso simbolo per l'evento e l'insieme che lo rappresenta!). Con questa scelta, si può facilmente verificare che valgono le seguenti relazioni analoghe delle (1.2), (1.3) E = (TinT2) U (TinT2) EnF = EnGe = (TinT2 0T3) U (TENTENT) TinG = TinT (EUF) NT2 = (TinT2) U (T2nT3) TinT2 CT1 TINTE CG, mentre le (1.1) danno le rappresentazioni in insiemi "esce croce al primo lancio" = Ti = {(w1,w2,W3) \\\\1 = 0} "esce sempre testa" = TinT20T3 = {(1,1,1)} "esce la stessa faccia in tutti i lanci" = EnF = {(1,1,1), (0, 0,0)}. Da notare che l'elemento (1,1,1) di 2 non rappresenta un evento, mentre al contrario l'insieme {(1,1,1)}, che è un elemento di P(22), rappresenta un evento. L'evento certo e l'evento impossibile sono rappresentati rispettivamente dall'insieme 22 e dall'insieme vuoto Ø. A questo punto possiamo finalmente introdurre la nozione di probabilità. Definizione 1. Sia 22 un insieme e sia P(22) il suo insieme delle parti. Una probabilità su 22 è una funzione P : P(22) -> R con le seguenti proprietà:

1. P (E) ≥ 0 per ogni evento E E P(22);
2. P(2) =1;
3. per ogni famiglia {E}iEI finita o numerabile di eventi E; E P(2) tali che E; n E; = Ø se i + j, si ha l'uguaglianza P (Vier Ei) = Ziel P (Ei).8

CAPITOLO 1. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Se gli eventi E1, E2, .. . soddisfano la condizione EinEj = Ø per ogni i + j, si dice che E1, E2, ... sono mutuamente incompatibili. L'assioma (3) richiede pertanto che la probabilità dell'unione di eventi incompatibili sia la somma delle probabilità dei singoli eventi. Di seguito sono riassunte le principali proprietà della probabilità che si possono direttamente ricavare dalla definizione.

Proposizione 1. Siano E, F E P(22) due eventi.

1. P(Ø) = 0.
2. Se EC F, allora P (F \ E) = P (F) - P (E) (dove l'insieme F \ E := Fn Ec è la differenza di F meno E).
3. Se E C F, allora P (E) ≤ P (F).
4. P(Ec) = 1 - P(E).
5. P(E) ≤ 1.
6. P(EUF) = P (E) + P (F) - P(EnF).

Dimostrazione. (i) Si ha Ø U Ø = Ø e ØnØ = Ø, dunque per l'assioma (3) della probabilità P (Ø) = P (ØUØ) = P(Ø) + P (Ø) = 2P (Ø) = P (Ø) = 0. (ii) Se E C F, allora F = (F \ E) UE e (F \ E) nE = 0, dunque, ancora per l'assioma (3), P (F) = P (F \E)+P(E)=> P(F\E)=P(F) -P(E). (iii) Se E C F, per il punto precedente e per l'assioma (1) P (F) - P (E) = P (FE) ≥ 0=> P(F) >P(E). (iv) Si ha Ec = 22 \ E e P(22) = 1 per l'assioma (2), dunque P (EC) = P (2 \E)=P(2) -P(E) =1 -P(E) come conseguenza del punto (ii) (notare che l'ipotesi E C 22 è chiaramente soddisfatta). (v) EC Q e P(22) = 1, dunque P (E) ≤ 1 segue dal punto (iii). (vi) Abbiamo EUF = [E \ (EnF)] U (EnF) U[F\(EnF)] e inoltre [E\(EnF)]n(EnF) =Ø (EnF) n[F \(EnF)] =0 [E \(EnF)]n[F\(EnF)] =0.1.1. SPAZIO CAMPIONARIO, EVENTI, DEFINIZIONE E PROPRIETÀ ELEMENTARI DELLA PROBAI Ricaviamo pertanto P(EUF) = P(E \(EnF)) + P(EnF) + P(F \(EnF)) per l'assioma (3). Applicando il punto (ii) agli insiemi En F CE e EnF CF, abbiamo P(E\(EnF)) = P(E) - P(EnF) P(F \(EnF)) = P(F) -P(EnF) e quindi, riprendendo l'equazione precedente, P(EUF) = P(E) - P(EnF) + P(EnF) + P(F) -P(EnF) = P (E) + P (F) - P(EnF). Il punto (vi) della proposizione precedente si estende facilmente al caso di tre o più eventi. Infatti, iterando due volte, P(EUFUG) = P(EU (FUG)) = P(E) + P(FUG) - P(En(FUG)) = P(E) + P (F) + P (G) - P(FnG) - P((EnF) U(ENG)) = P(E) + P (F) + P (G) - P(FnG) - P(EnF) -P(ENG)+P(EnFnG), dove inoltre abbiamo usato la proprietà distibutiva En (FUG) = (EnF) U(ENG). Il caso di n ≥ 4 eventi è simile.

Osservazione 1. Per motivi di carattere tecnico che che qui non indagheremo, quando lo spazio campionario 22 ha cardinalità non numerabile (p.es., quando 22 = [0, 1], oppure 22 = {0,1}N) non si definisce una probabilità su tutto l'insieme delle parti P(2), ma solo su un particolare sottoinsieme FC P(22). Per poter considerare solo F (e non tutto P(22)) come la totalità degli eventi del nostro esperimento aleatorio, il sottoinsieme F deve naturalmente essere chiuso rispetto alle operazioni insiemistiche n, U e .c, corrispondenti delle operazioni logiche A, V e :. In altre parole, deve valere che

1. 2 € F e Ø E F;
2. se E E F, allora anche EC E F;
3. per ogni famiglia { Eifier finita o numerabile di eventi E¡ E F (non necessariamente disgiunti) si ha Vier Ei E F e anche Niet Ei E F.

Un sottoinsieme F & P(22) con tali proprietà si chiama o-algebra di sottoinsiemi di 22. Se inoltre P : F -> R è una probabilità su F, cioè verifica i tre assiomi della probabilità, ma solo sugli insiemi