Calcolo delle Probabilità: analisi esplorativa dei dati e inferenza statistica

INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Il calcolo delle probabilità collegato all'analisi esplorativa dei dati attraverso l'inferenza statistica (modulo 4). Con il termine "Probabilità" solitamente si indicano due argomenti: - il calcolo delle probabilità - i modelli di variabili aleatorie Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 2Alcune definizioni fondamentali: Evento: è un'asserzione logica che in tutta coscienza non possiamo definire ne vera ne falsa, ma soltanto possibile. Tale asserzione riguarda un'entità aleatoria, cioè qualcosa di non conosciuto ma ben determinato. Fatto: circostanza che permette di verificare se un evento si sia o meno verificato. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 3Un evento ammette la sua negazione. Un fatto non ammette negazione. La probabilità si lega al concetto di evento. La probabilità del verificarsi di un evento si indica con Pr{E}. La probabilità è un concetto primordiale che matura nell'essere umano sin dal momento della sua nascita. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 4Il concetto di probabilità non può essere definito in maniera esauriente. Ogni definizione è tautologica (=ripetitivo) e può essere contraddetta.

Definizioni storiche di probabilità

Tre definizioni storicamente date al concetto di probabilità: classica, frequentista, e soggettivista. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 5Definizione classica: la probabilità del verificarsi di un evento è il rapporto tra i casi favorevoli al verificarsi dell'evento e tutti i casi egualmente possibili. Pr{E} = N N favorevoli possibili ESEMPIO: Nel singolo lancio di una moneta (equilibrata) la probabilità dell'evento "testa" Pr T} o dell'evento "croce" Pr&C} può essere valutata mediante la definizione classica. Anche in molti giochi di carte. Ci sono situazioni nelle quali la definizione classica non può essere adottata poiché non si può conoscere a priori il numero di casi favorevoli e/o il numero dei casi possibili. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 6Definizione frequentista: la probabilità del verificarsi di un evento è uguale al rapporto tra i casi in cui storicamente si è verificato l'evento (fatti) ed il numero totale di casi in cui l'evento si sarebbe potuto verificare. Pr{E}= ncasi verificati Icasi possibili ESEMPIO: immaginiamo di ripetere lo stesso esperimento consistente nel lancio di una moneta equilibrata un certo numero n di volte. calcoliamo la probabilità dell'evento "testa" come: Pr &T}= ncasi testa n Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 7Non è detto che la probabilità calcolata in tal modo coincida con la probabilità ottenuta mediante l'approccio classico. Infatti, per superare tale contraddizione dovremmo considerare n > 00. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 8Definizione soggettivista: la probabilità del verificarsi di un evento è il grado di fiducia che un individuo coerente ripone nel verificarsi dell'evento. ESEMPIO: Consideriamo ancora l'esperimento del lancio di una moneta. La probabilità dell'evento "testa" attribuita da un singolo individuo è data dal grado di fiducia che egli ha circa il verificarsi dell'evento. Tale fiducia dipende dal suo stato di conoscenza. Più correttamente si dovrebbe scrivere PrT H}, cioè probabilità dell'evento "testa" dato uno stato di conoscenza H. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 9Qualunque sia la definizione adottata, la probabilità deve essere calcolata con una tecnica che utilizzi correttamente tutte le informazioni a disposizione, evitando di formulare valutazioni incoerenti. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 10A volte ci si riferisce ad esperimenti, in tal caso l'evento può definirsi nel seguente modo: Evento: esito possibile di un esperimento il cui risultato è incerto Un esperimento dal risultato incerto viene detto prova. ESEMPIO: il lancio di una moneta è una prova. A tale prova sono associati due eventi, cioè due possibili esiti: l'evento "testa" e l'evento "croce". Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 11Evento complementare: Si indica con E (leggasi "E negato") l'evento complementare di E, cioè la negazione di E. E ed E sono eventi incompatibili perché l'accadere dell'uno esclude l'accadere dell'altro. EnE =Ø (leggasi E "intersezione" E negato è uguale all'evento impossibile" o "insieme vuoto") Spazio campione: Se uniamo E con il suo complementare E otteniamo la totalità dei possibili eventi, cioè il cosiddetto spazio campione S (a volte indicato anche 2). EUE = S (leggasi E "unione" E negato è uguale ad S) Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 12Dunque lo spazio campione è l'unione di tutti gli eventi possibili in relazione ad un ben definito fenomeno e ad uno stato di conoscenza. Lo spazio campione rappresenta un evento certamente vero, in quanto almeno uno degli eventi in esso compresi certamente si verificherà. * Allo spazio campione si attribuisce una probabilità 1, mentre all'evento impossibile una probabilità 0. Pr S}=1 Pr{Ø}=0 Ad ogni altro evento possibile A, si attribuisce una probabilità pari ad una frazione di Pr S} : 0 ≤ Pr{A} ≤1 Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 13IL DIAGRAMMA DI VENN Il diagramma di Venn è uno strumento utile a rappresentare gli eventi e le probabilità ad essi associate. S A Pr {A} = area di A area di S Il rettangolo indicato con S rappresenta lo spazio campione e l'insieme A il generico evento. La probabilità di un evento è proporzionale alla misura della sua area nel diagramma di Venn. Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 14OPERAZIONI ELEMENTARI SUGLI INSIEMI Sottoinsieme: se ogni elemento di A è anche un elemento di B, allora l'insieme A è un sottoinsieme di B. B ACB . A Insiemi uguali Ac B eBc A (eventi coincidenti) Insieme vuoto: Ø è l'insieme che non contiene punti (evento impossibile) Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 15Insieme complementare: l'insieme complementare di un insieme A rispetto allo spazio campione S è l'insieme di tutti i punti che appartengono ad S ma non ad A. (negazione di un evento) A A Unione di due insiemi A e B: è l'insieme costituito dagli elementi che sono in A o in B o in entrambi. B A AUB Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 16Intersezione di due insiemi A e B: è l'insieme costituito dai punti che appartengono sia ad A che a B. (concomitanza di eventi) AnB B A Eventi incompatibili: due eventi A e B di uno spazio campione sono incompatibili se la loro intersezione è vuota. AnB=Ø => Pr{AnB}=0 B A Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 17Come si è già visto: EUE =S EnE = Ø Pertanto vale sempre la relazione: Pr { E } =1-Pr E E ed E costituiscono una partizione dello spazio campione. ESEMPIO: partizioni sono l'evento "testa" e l'evento "croce" nell'esperimento del lancio di una moneta; i sei possibili esiti nel lancio di un dado. T C E1 E2 E3 E4 E5 E6 Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 18Probabilità dell'unione di due eventi incompatibili: AnB=Ø<> Pr&AUB} =Pr{ A} +Pr&B} * Nel caso generale, la probabilità dell'unione di due eventi è data da: A B Pr{AUB} = Pr{ A} + Pr {B}-Pr{AOB Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 19PROBABILITÀ CONDIZIONATA * La valutazione di una probabilità è subordinata ad un preciso stato di conoscenza. Se lo stato di conoscenze cambia, siamo indotti a rivedere la nostra valutazione. Un mutamento di informazioni può essere determinato dall'aggiunta di un'informazione del tipo "si è verificato l'evento A". Il calcolo della probabilità di un altro evento B deve avvenire alla luce di questa nuova informazione. Tale probabilità, condizionata, è indicata come PrB A), ed esprime la probabilità del verificarsi di B "una volta che si è verificato" A (oppure si legge "dato" A). Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 20Il verificarsi di B, una volta che si è verificato A, comporta il verificarsi di entrambi, pertanto la probabilità di (B|A) è legata a quella di AnB. S A 1 B AnB Regola per il calcolo della probabilità condizionata: Pr{BA}= Pr{AnB} Pr{A} Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 21ESEMPIO: Una torta è fatta metà al cioccolato metà alla crema. la torta è ricoperta di mandorle tranne un quarto (alla crema). Solo crema Cioccolato + mandorle Crema + mandorle Quando la torta è intera la probabilità di avere una fetta ricoperta di mandorle è 3/4. Se si assume che è esaurita la parte al cioccolato la probabilità di avere una fetta ricoperta di mandorle è pari a 1/2. E' stata implicitamente applicata la regola della probabilità condizionata. Indicando con A l'evento "si ottiene una fetta alla Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 22crema" e con B quello "si ottiene una fetta ricoperta di mandorle", si ha: Pr BA = Pr{AnB} Pr{A} 1/4 1/2 =0.5 Dalla regola della probabilità condizionata si ottiene immediatamente la regola della probabilità composta: Pr{A n B} = Pr{B|A} Pr{A} Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 23INDIPENDENZA STOCASTICA Due eventi sono detti stocasticamente indipendenti se il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro: Pr& AB =Pr{A} e Pr&B A = Pr{B} Nel caso di eventi s-indipendenti, la regola della probabilità composta porta al risultato: Pr{AnB} = Pr{ A} . Pr & B Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 24La figura seguente presenta un esempio di rappresentazione di eventi s-indipendenti. A B Si nota infatti che Pr{A}=1/2 e rimane tale anche se si verifica l'evento B. Analogamente Pr{B}=1/3 = Pr{B|A}. Nel caso in cui A e B sono s-indipendenti si ha: Pr&AUB = Pr A + Pr& B -Pr{ A} . Pr& B} Calcolo delle probabilità. Corso di Statistica. Prof. Stefano Barone Pag. 25