Cálculo de los valores de probabilidad y distribución normal

VALIDACIÓN Y EXPLOTACIÓN DE DATOS

Capítulo 2. Cálculo de los valores de probabilidad

1. Gráficos.
2. Distribuciones de variables continuas.
3. Distribución normal. Propiedades de la curva normal. Distribución normal tipificada. Valores típicos y desviación típica.
4. Cálculo de probabilidad.

GRÁFICOS. HISTOGRAMA.

El histograma se construye a partir de la tabla estadística para una variable cuantitativa continua, representando sobre cada intervalo un rectángulo que tiene como base la amplitud del intervalo.

El criterio para calcular la altura de cada rectángulo es el de mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (relativas o acumuladas) de cada intervalo y el área de éstos.

Histograma

GRÁFICOS. HISTOGRAMA.

¿Cómo puedo hacer un histograma con Excel 365? depositpho https://www.youtube.com/watch?v=5pbztyZAuHc

GRÁFICOS. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

El polígono de frecuencias se construye fácilmente si tenemos representado previamente el histograma, ya que consiste en unir mediante líneas rectas los puntos del histograma que corresponden a las marcas de clase (punto medio de cada intervalo).

El histograma y los polígonos de frecuencia son los gráficos de elección para representar variables cuantitativas continuas.

GRÁFICOS. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

El polígono empieza y termina en el eje de abscisas (eje horizontal) en los puntos medios de los intervalos anterior y posterior a los del histograma, cuya frecuencia es nula (es decir, vale 0).

Igual que el histograma, el polígono se puede obtener a partir de las frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.

12 - 10 8 6 4 2 - 28 30 32 34 36 39 40 Peso (Kg)

GRÁFICOS. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

¿Cómo puedo hacer un polígono de frecuencias con Excel 365? https://www.youtube.com/watch?v=uZ3Q6Nth7-E

GRÁFICOS. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

Histograma y polígono de frecuencias INDIVIDUOS Histograma de frecuencias 180 - Polígono de frecuencias 160 155 140 120 103 101 100 75 80 60 40 29 20 20 0 0 0 50≤×< 55 55≤×<60 60≤x< 65 65 ≤x<70 70≤×<75 75≤x<80 PESO

GRÁFICOS. CURVA ACUMULATIVA.

Cada uno de los gráficos anteriores tiene su correspondiente diagrama integral. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas. Esta curva indica, para cada valor de la variable, la cantidad o frecuencia de individuos que poseen un valor inferior o igual a éste.

Se puede representar también superpuesto el histograma acumulado con la poligonal acumulada o curva acumulativa, registrando el punto intermedio de cada intervalo y uniéndolos posteriormente.

GRÁFICOS. CURVA ACUMULATIVA.

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas INDIVIDUOS 600 497 489 478 500 449 400 348 300 193 200 - Polígono de frecuencias acumuladas 90 100 15 0 3 0 PESO 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 Histograma de frecuencias acumuladas

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Al representar la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua mediante un histograma, la altura de cada rectángulo de clase representa el total de puntos observados en ese intervalo; es decir, la densidad de puntos o proporción de datos para cada intervalo, de modo que el área total bajo la curva es de 1.

34,1% 34,1% 2,2% 13,6% 13,6% 2,2% -30 -20 -10 1 10 20 30

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Si aumentamos el tamaño de la muestra, o el número de observaciones fuese de toda la población, y si también aumentamos el número de intervalos (disminuimos la amplitud de los intervalos), representaremos mayor número de puntos, siendo el polígono de frecuencias una curva lisa, sin cambios bruscos, cada vez más suave, que se llama curva de densidad de probabilidad.

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Histograma de la muestra de 100 observaciones 0.04 0.03 Densidad de frecuencia @ 0.02 0.01 0.00 150 160 170 180 190 Altura [cm] Histograma de la muestra de 10000 observaciones 0.03 Densidad de frecuencia = 0.02 0.01 0.00 120 140 160 180 200 Altura [cm]

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Histograma de la muestra de 100000 observaciones 0.03 Densidad de frecuencia 0.02 0.01 0.00 120 140 160 Altura [cm] 180 200 Histograma de la muestra de 100000 observaciones 0.03 Densidad de frecuencia 0.02 0.01 0.00 120 140 160 180 200 Altura [cm]

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

En la práctica, se sustituye el polígono de frecuencias por una línea curva que se ajusta al histograma.

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. El origen de las distribuciones continuas de probabilidad está en el histograma. En teoría de la probabilidad, la curva de densidad de una variable aleatoria continua permite hacer cálculos de probabilidad.

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Histograma distribución de glucemia Pacientes 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 50-56 56-62 62-68 68-74 74-80 80-86 86-92 92-98 98-104 104-110 110-116 116-120 120-126 132-138 138-144 Glucemia (mg/dL)

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Observa que la distribución es bastante simétrica, sin observaciones atípicas. La curva dibujada es un modelo matemático de la distribución idealizado, cuya función matemática función de densidad f(x) es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss, también conocida como curva normal, campana de Gauss o distribución normal.

f(x) 1 e 0 2x 3(x-4) 0 Para -00 <X <+00

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Antes de continuar ... ¿ QUÉ ES UNA FUNCIÓN? https://www.youtube.com/watch?v=f99kvS8aR0o A>1 · 2 3 ≥5 7 6

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media u y desviación típica o y se designa por N (u, ơ).

Campana de Gauss f(x) Ν(μ, σ) P -o X

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

El valor de la probabilidad de una variable X dependerá de la media y de la desviación estándar. La variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor entre más infinito y menos infinito.

Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por tanto, el área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1.

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS.

Las distribuciones de probabilidad de una variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Asimismo, se definen por medio de una función y = f(x) que se denomina función de probabilidad o función de densidad.

f(x) 1 +(x-") e 2 Para -Do <X <+00

DISTRIBUCIÓN NORMAL. PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL. DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA. VALORES TÍPICOS Y DESVIACIÓN TÍPICA.

Las distribuciones de frecuencias de variables aleatorias continuas pueden tomar distintas formas, pero una de las más comunes y frecuentes, que se da en muchos fenómenos tanto biológicos (peso, glucemia ... ) como sociales, es la distribución normal o aproximadamente normal. Ésta es la más importante de las distribuciones estadísticas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

La curva normal es una clase particularmente importante de curvas de densidad que son simétricas y con un solo pico. También se la denomina campana de Gauss, pues al representar su función de probabilidad, adopta forma de campana.

0,4 0,3 0,2 0,1 0,1% 2.1% 13,6% 34,1% 34.1% 13,6% 2,1% 0,1% 0 -30 -20 -10 με 20 30

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

En un principio, se pensaba que todas las distribuciones seguían una campana de Gauss. Por eso, se le conoce como "normal" o "estándar" considerando que este tipo de distribución era lo común. Su nombre se atribuyó a Gauss por un error histórico (1809), pero en realidad la primera vez que se empleó fue en 1733 por Moivre y en 1775 por Laplace.

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Galton realizó un experimento sobre un tablero inclinado, donde había distribuidos regularmente un sistema de clavos. Éstos permitían deslizar un gran número de bolas que procedían de un depósito superior del aparato. Las bolas, al chocar con los clavos, se alejan en mayor o menor medida, de la línea central de caída, según la ley del azar.

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Recogiendo estas bolas en compartimientos estrechos, distribuidos a lo largo del borde inferior del tablero, las alturas que alcanzan las bolas en las distintas columnas dan una idea, bastante clara, de la distribución normal. https://www.youtube.com/watch?v=8P2pfJ_gXPE

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.

Las curvas de densidad que nos resultan más familiares son las normales. Así, las distribuciones normales son modelos de probabilidad que asignan probabilidades como áreas por debajo de una curva de densidad.

PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL.

https://www.youtube.com/watch?v=6yEaa80LBLo Las propiedades de la curva normal son:

• Todas las distribuciones normales tienen el mismo aspecto de campana.
• La curva de densidad es simétrica respecto a su media.
• La moda, mediana y media coinciden en el mismo valor, y se sitúan en el centro de la curva simétrica; así, el 50% del área está a la derecha de la media y el otro 50% a su izquierda.

PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL.

Las propiedades de la curva normal son:

• El área total comprendida entre la curva y el eje de abscisas es la unidad.
• La curva depende de la media y la desviación típica. Por lo tanto, para cada par de valores (media y desv. típica), se obtienen diferentes curvas.

== 9 0=1 200 μ = 9 σ= 2 180 p=9 0=4 u=5 0=1 160 140 120 1 100 Distribución normal estándar 80 60 40 . 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 μ

PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL.

Las propiedades de la curva normal son:

• Una de las características de la distribución normal es que la distribución de probabilidades siempre cumple la regla del 68-95-99,7.
  • Entre la media y más o menos una desviación típica (+1S y -1S) se encuentra el 68% del área (68% de los datos).
  • De la misma forma, el 95% del área se encuentra limitada entre 1,96 = 2 (desviaciones típicas a izquierda y derecha de la media) y el 99,7% entre 3 desviaciones típicas a la derecha e izquierda de la media.

Área (µ ± 1g) = 0,6826 = 68 % Área (µ ± 1,96g) = 0,95 = 95 % Área (µ ± 2,580) = 0,99 = 99 % Área (µ ± 3g) = 0,997 = 99,7 %