Nozioni di Matematica Finanziaria: capitalizzazione e titoli obbligazionari

Nozioni di Matematica Finanziaria

Contenuti e sub-contenuti nel quiz su: Nozioni di matematica finanziaria Regimi di capitalizzazione

Simbologia nelle formule sulla capitalizzazione

C = Capitale (la somma di denaro che viene investita o prestata); 1% = tasso di interesse al quale lavora il capitale per un certo periodo di tempo; I = sono gli interessi che maturerà il capitale investito/prestato ad un certo tasso; è calcolabile secondo la formula seguente: I = C × 1% x t Alla fine del periodo avremo un Montante che è pari alla somma del Capitale iniziale + gliinteressi maturati, cioè M = C + I = C + C x 1% x t = se il tempo è = a 1. M = C x (1 + i) Con un tasso, ad esempio del 5% o del 155, avremo rispettivamente:

• ₪ (1 + 0,05) cioè (1,05);
• ৳ (1 + 15) cioè (1,15).

Capitalizzazione Semplice

La capitalizzazione semplice è nota come "capitalizzazione lineare", perché l'interesse viene prelevato, alla fine di ogni periodo, dal cliente che quindi riparte sempre con il capitale iniziale. Il montante negli anni si ottiene moltiplicando il tasso (i%) per la durata dell'investimento, espressa con (t), come indicato nella formula seguente: M = C x [1+ (i x t)] montante in regime di capitalizzazione semplice.

Capitalizzazione Composta

Nella capitalizzazione composta gli interessi maturati si aggiungono al capitale investito inizialmente e producono interessi maggiori, nel periodo successivo. La formula cambia perché il capitale, si evolve in maniera esponenziale (o logaritmica), anziché in maniera lineare, secondo la formula seguente: M = C x (1 + i) * montante in regime di capitalizzazione composta.

Montante in Regime di Capitalizzazione Composta

Il montante in regime di capitalizzazione composta:

• " coincide con quello ottenuto in capitalizzazione semplice, se il tempo dell'investimento è = a 1 anno;
• " è maggiore di quello ottenuto in capitalizzazione semplice, se il tempo dell'investimento è > 1 anno.

Riconoscimento della Formula Esatta

Punto di attenzione per il riconoscimento della formula esatta; se nella domanda si parla dicapitalizzazione:

• " semplice, cercare fra le risposte quelle con il segno di moltiplicazione;
• " composta, cercare fra le risposte quelle con l'esponente.

1Per una corretta consulenza è importante verificare qual è il tasso necessario, per ottenerenel tempo un certo montante. Dalla formula del Montante bisogna ricavare i%. Le formule variano a seconda che il capitale lavori in regime di capitalizzazione semplice ocomposta:

Formule per il Tasso di Interesse

Capitalizzazione semplice Capitalizzazione composta i = [(M/C) - 1] i = [(M/C)1/+ - 1]

Calcolo del Capitale Iniziale

Nell'ambito della consulenza finanziaria, la domanda che l'investitore si può fare è: per raggiungere fra un certo periodo di tempo, un Montante (obiettivo) X, con quale Capitale (risorse), devo partire oggi? Si parte sempre dalla formula del Montante, dove questa volta l'incognita è C e, anche in questo caso, le formule variano a seconda che si lavori in regime di capitalizzazione semplice o composta:

Formule per il Capitale Iniziale

Capitalizzazione semplice Capitalizzazione composta C = M/(1+ i) C = M/(1+ i)* C in questo caso prende anche il nome di V = valore attuale (o sconto). Le formule vengono utilizzate, ad esempio nel calcolo del capitale iniziale da versare per ottenere a scadenza ilvalore di uno zero coupon bond (ad esempio BOT o CTZ).

Utilizzo della Calcolatrice

La calcolatrice permette di rispondere a diversi quesiti come quelli, ad esempio, che sitrovano nei quiz sulle "Obbligazioni", oppure sulla "Costruzione del portafoglio". Di seguito alcuni esempi di calcolo, utilizzando la calcolatrice. Ai fini della preparazionericordarsi che:

• " se si sta simulando sul sito, addestrarsi ad utilizzare la calcolatrice che si apre cliccando Calcolatrice sul tasto 0 Chiudi Help Num <00> <- > M2+ M2R M2C Clear xn x2 % M+ MR MC E Exp Sqrt : 7 8 9 Sqrt1 Log Abs * 4 5 6 Ln2 ATan Tan 1 2 3 Ln10 ACos Cos + ± . O Pi ASin Sin <- = C

Esempio 1: Calcolo del Montante

1º ESEMPIO: CALCOLO DEL MONTANTE DOPO 10 ANNI, DI UN CAPITALE DI 100.000 € E UN INTERESSE DEL 5% La formula è M = C x (1+i)t. Operativamente: a) Inserire sulla calcolatrice il tasso (1+i), cioè 1,05 > premere il tasto xn o yX b) Elevare al tempo 10 > scrivere 10 e battere il tasto (=); c) Moltiplicare il risultato per 100.000 Sul display comparirà 162.889 €

Esempio 2: Calcolo del Tasso di Interesse

22° ESEMPIO: CALCOLO DEL TASSO D'INTERESSE CHE PERMETTE AD UNCAPITALE DI 100.000 DI RADDOPPIARE IN 5 ANNI La formula è i = [(M/C)1 /t -1]. Operativamente: a) 200.00 / 100.000 = 2 > premere il tasto xn o yx b) Elevare al tempo 1/5 > scrivere 0,2 e battere il tasto (=); dal risultato ottenuto 1,14869, sottrarre 1 e moltiplicare per 100 Sul display comparirà 14,87%

Esempio 3: Calcolo del Valore Attuale

3º ESEMPIO: CALCOLARE IL VALORE ATTUALE di 100 € (Montante), AD UN TASSODI INTERESSE COMPOSTO DEL 10% A 3 ANNI La formula è V (C) = M / (1+i)* Operativamente: a) Inserire sulla calcolatrice (1+i), cioè 1,1 > premere il tasto xn o yX b) Elevare al tempo 3 > scrivere 3 e battere il tasto (=); si ottiene 1,331 c) Battere 100: 1,331 > si otterrà 75,13

Tassi Equivalenti

Due tassi si dicono equivalenti se applicati allo stesso capitale iniziale, per lo stesso periododi tempo forniscono lo stesso montante. L'equivalenza mostra come sia possibile arrivare allo stesso risultato, a parità di tempo, con un diverso ammontare di risorse finanziarie e quindi permette di cogliere i risultati migliori lavorando in capitalizzazione composta anziché in semplice, oppure, a parità di risultati con un diverso impiego di quantità finanziarie, minore con la capitalizzazione composta, rispettoa quella semplice. Anche in questo caso, quindi, distinguiamo fra capitalizzazione semplice e composta:

• " la formula dei tassi equivalenti, in regime di interesse semplice è la seguente: i = İk X k İk = i: k la formula dei tassi equivalenti, in regime di interesse composto è la seguente:da cui: k (1+i) = 1+ i i = (1+İk)k - 1 İk = (1 + i)1/k - 1i
• " dove: ik = tasso effettivo di sottoperiodo; i = tasso effettivo dell'intero periodo; k = numero di sottoperiodi

Riconoscimento della Formula per Tassi Equivalenti

Punto di attenzione per il riconoscimento della formula esatta; nella capitalizzazione composta concentrarsi sulle formule che riportano, a destra dell'equazione, il -1.

Le Rendite

3Le rendite 1 012 n 012 .... n-1 n RR R RR R L V Una rendita è un'operazione finanziaria costituita da una sequenza di rate finita (temporanea), riconoscibile nelle formule dall'espressione (1+i) positiva e periodica (se le scadenze sono equidistanti nel tempo). Se la sequenza di rate di pagamenti è infinita, (perpetua), è riconoscibile nelle formule dall'espressione (i). Convenzionalmente gli importi pagati (investiti) per ottenere una rendita, sono preceduti da un segno opposto a quelli che essa genera. Le rate possono essere costanti nell'importo, e posticipate o anticipate. Una rendita è posticipata quando le rate vengono riscosse o versate alla fine del periodo considerato (ad esempio di un semestre). Una rendita è anticipata quando le rate scadono all'inizio dei periodi. Se "t0" è la data di inizio di inizio della rendita, "t1" quella del pagamento della prima rata e "0" il tempo presente, una rendita si definisce:

• anticipata se t1 = 10
• posticipata se t1 = 10 + 1

Se una rendita immediata posticipata di durata N anni, con rata unitaria e tasso di interesse i, ha un montate pari a M, quello di una corrispondente rendita immediata anticipata è pari a M · (1 + i). 1 0 1 2 .. n 0 1 2 .... .... n-1 n R R .... R RRR .... R I M M Il valore di una rendita ad un certo momento, è data dalla somma dei montanti di tutte le rate già incassate e dei valori attuali di quelle che devono ancora scadere, tutti calcolati a quel momento. A parità di importi:

• il montante di una rendita posticipata è minore di quello di una corrispondente rendita anticipata (1 periodo in meno)
• il valore attuale di una rendita anticipata è maggiore di quello di una corrispondente rendita posticipata (1 periodo in più)

Il montante di una rendita perpetua è infinito. Il valore attuale di una rendita perpetua immediata e posticipata è dato dal rapporto tra la rata e il tasso di interesse (V=R/i). In una rendita a rata costante, perpetua immediata e posticipata, la rata è data dal suo valore attuale moltiplicato per il tasso (R=V x i).

Piani di Ammortamento di un Mutuo

L'ammortamento è un processo tecnico, commerciale, e finanziario, che consente la ripartizione del "costo" di un bene; consiste nel piano di rimborso graduale del capitale comprensivo degli interessi attraverso il pagamento periodico di un certo numero di rate. I tipi di ammortamento trattati sono quelli:

• "alla francese", con rate dello stesso importo, nelle quali il mutuatario paga periodicamente gli interessi e, contemporaneamente, rimborsa gradualmente il capitale; 4
• V· "all'italiana", con una rata variabile costituita da una quota capitale di costante alla quale si somma la quota di interessi decrescente nel tempo.

Nel piano di ammortamento di un mutuo, il debito residuo rappresenta la somma delle quote di capitale ancora da pagare e il debito estinto la somma delle quote di capitale già pagate.

I Titoli di Credito

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L'Assegno e la Cambiale

L'assegno è un "titolo di credito" di una banca che:

• se bancario:
• ha la stessa struttura della cambiale tratta;
• può prevedere la girata in bianco;
• " se emesso in Italia e pagabile nello stesso Comune in cui fu emesso, deve essere presentato per il pagamento presso lo sportello della banca trattaria indicata nel titolo entro 8 giorni;
• per essere emesso deve contenere:
• o l'ordine incondizionato di pagare a vista una somma determinata a una persona o al portatore;
• o l'indicazione del trattario;
• o la sottoscrizione del traente.
• se circolare contiene:
• la promessa di pagare una determinata somma all'ordine della personaindicata;
• l'indicazione della data e del luogo nel quale l'assegno circolare è emesso;
• la denominazione di assegno circolare inserita nel contesto del titolo;
• l'indicazione del prenditore.

Il possessore dell'assegno circolare decade dall'azione di regresso (consiste, nel caso dipiù debitori dei quali uno decide di adempiere l'intera prestazione, nel pagamento di ciascun condebitore al debitore che ha adempiuto l'intera prestazione), se non presenta il titolo peril pagamento entro 30 giorni dall'emissione. La cambiale è un titolo all'ordine (cioè intestato ad una determinata persona), esecutivo (perché consente di promuovere esecuzione forzata nei confronti di un soggetto, persona fisica o giuridica; ma non lo è per mancanza o insufficienza originaria del bollo), la cui funzione essenziale consiste nel differire un pagamento e nel garantire il creditore da una possibile inadempienza del debitore alla scadenza. Sono utilizzate per raccogliere direttamente fra il pubblico capitale di credito a breve termine (tra 3 e 12 mesi). Il nome delprimo prenditore è uno dei requisiti essenziali. Esistono due tipi di cambiale:

• la cambiale tratta che ha la struttura di un ordine di pagamento;
• il vaglia cambiario o pagherò che ha la struttura di una promessa di pagamento.

La mancanza o l'insufficienza originaria del bollo priva la cambiale della qualità di titolo esecutivo; si dice "in bianco" se circola sprovvista di uno o più requisiti essenziali, eccetto la sottoscrizione del traente/emittente e il portatore, decade dopo 3 anni dal giorno di emissione del titolo, dal diritto di riempirla. Il protesto è l'atto autentico necessario per la conservazione delle azioni di regresso, ha 5