Equazioni: concetti fondamentali, principi di equivalenza e regole

EQUAZIONI

DEFINIZIONE: Un'equazione è un'uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, che è verificata solo per particolari valori delle lettere che vi figurano.

• IDENTITÀ-> Uguaglianze sempre vere per qualsiasi valore delle lettere.
• EQUAZIONI-> Uguaglianze vere solo per alcuni valori delle lettere.

6 . 3+ 2 = 18 + 2 1 Primo membro Uguaglianza numerica Secondo membro 20 1 20 = 1 x+2x = 3x (per x = 4) I 4 + 2 . (4) = 3 . (4) 1 4 + 8 = 1 Uguaglianza letterale 1 12 12 1 = 12 Prof.ssa BosisioDEFINIZIONI

Concetti Fondamentali delle Equazioni

• INCOGNITE-> Sono le lettere.
  Es.
  x + 6 = 10
  Incognita x
• TERMINI NOTI->Sono tutti i termini che non contengono incognite (lettere).
  Es.
  x + 6 = 10
  1
  Termine noto (6)
  Termine noto (10)
• EQUAZIONE A UNA O PIÙ INCOGNITE-> Dipende dalle lettere presenti.
  Es.
  Es.
  x - 3x = 2 + x >Una incognita
  4x + 5y = - 2
  >Due incognite
• GRADO DI UN'EQUAZIONE-> È il grado più alto dei monomi che la formano.
  Es.
  Es.
  Es.
  6x1 - 1 = x1 + 4 > Primo Grado
  2×2 - 3x1 = 5
  >Secondo Grado
  x3 - 2x2 = x1 + 6 > Terzo Grado

Prof.ssa BosisioEQUAZIONE INTERA-> Se non ci sono frazioni con l'incognita al denominatore. 2 Numeratore

• Es.
  1
  -X + 5 = 3x - 2
  >Intera
  Denominatore
• EQUAZIONE FRATTA o FRAZIONARIA>>Se ci sono frazioni con incognita al Denominatore
  Numeratore
  Es.
  7
  -- 4 = 3x - 2
  >Fratta o frazionaria
  x
  Denominatore
• SOLUZIONI O RADICI->Sono i valori che soddisfano un'equazione.
• DOMINIO-> Insieme di tutte le soluzioni di un'equazione.
  Es.
  x + 6 = 10 (per x = 4)->
  4 + 6 = 10
  10 = 10
  4 è la soluzione
  dell'equazione perché
  sostituendo 4 al posto di x
  ottengo un'uguaglianza.

Prof.ssa Bosisio1º-PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Principi di Equivalenza

Primo Principio di Equivalenza

Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno le stesse soluzioni. Es. x + 6 = 8 Es. 4x = 8 2 + 6 = 8 8 = 8 4.2 = 8 8 = 8 (per x = 2) (per x = 2)

PRIMO PRINCIPIO:Addizionando o sottraendo uno stesso numero a tutti e due i membri si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. Es. x + 9 = 12 (per x = 3) 3 + 9 = 12 12 = 12 x + 9 + 4 = 12 + 4-> Aggiungo + 4 3 + 9 + 4 = 12 + 4 16 = 16 Prof.ssa BosisioREGOLA DEL TRASPORTO

Regola del Trasporto

Se si trasporta un termine da un membro all'atro (da una parte all'altra del segno "=") dell'equazione DEVO CAMBIARE IL SEGNO, si ottiene in questo modo un'equazione equivalente a quella di partenza Es. x + 7 = 11 x + 7 = 11 - 7 x = 4 Es. 5x -5 = 4x - 3 5x -4x = - 3 +5

Regola di Cancellazione

Se in un'equazione si cancellano i termini identici (uguali sia per numero che per lettera che per segno) in entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. Es. x + 3= 10 +3 x = 10 Es. + 3x + 7 - x = 11 + 3x -X =11-7 x = 4 Prof.ssa Bosisio2º-SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Secondo Principio di Equivalenza

1) Se si MOLTIPLICANO o si DIVIDONO entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero diverso da 0, si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. Es. 15x = 30 > x = 2 15x . 3 = 30 . 3 > x = 2 15x : 3 = 30 : 3 > x = 2 Le equazioni sono equivalenti

2) Se si cambia il segno ad ogni termine di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Es. +x + 7-4x = + 11 - 5 + 2x -x-7+4x =- 11+5-2x Le equazioni sono equivalenti

3) Se in un'equazione ci sono termini frazionari si può trasformare in un'atra equivalente con tutti coefficienti INTERI moltiplicando entrambi per il m.c.m (minimo comune multiplo) dei denominatori. Es. 3 -x -4 = 2 5 3 m.c.m. 2 e 3 = 6 6 . ( -X- 4 3 2 = 6 . - ( 5 3 9x - 24 = 10 Prof.ssa BosisioESEMPI DI EQUAZIONI

Esempi di Equazioni

Equazioni Determinate

Sono le equazioni che hanno una soluzione appartenente all'insieme dei numeri reali. Es. +4x - 3 = +7x - 6 +4x - 7x = - 6 + 3 - 3x =- 3 -3 x = 3 -3 X=+ 1 Es +4x - 5 =- 7 +4x = - 7 + 5 +4X = - 2 -x1 X = = 2 1 X == 2 Prof.ssa BosisioEs. +3x - 2 . (+2x - 3) = +2x - 15 +3x - 4X + 6 = +2x- 15 +3x - 4x + 2x = - 15 - 6 +3x - 6x = - 21 - 3x = - 21 -21 X =- 7 -3 1 X=+ 7

Equazioni Impossibili

Sono le equazioni la cui soluzione risulti priva di senso o matematicamente non risolvibile. Es. +3x + 4 - 9x =- 2 - 6x +3x - 9x + 6x =- 2 - 4 - 9x + 9x =- 6 0 = - 6-> IMPOSSIBILE

Equazioni Indeterminate

Quando svolgendo l'equazione ci troviamo nella situazione 0 = 0 e non possiamo trovare "x" Es +12x + 2 - 6x = +6x - 3 + 5 +12x - 6x - 6x = - 3 + 5-2 +12x - 12x = - 5 + 5 0 = 0-> INDETERMINATA Prof.ssa BosisioCOME VERIFICARE UN'EQUAZIONE DETERMINATA

Verifica di un'Equazione Determinata

1) La risolvo e trovo quanto vale "X"; 2) Sostituisco il valore che ho trovato alla "x" nell'equazione di partenza. Es. - 1x + 7 = - 3 - 1x =- 3-7 - 1x = - 10 -10 x == 10 -1 X = + 10

Esempio di Verifica

VERIFICA Es. - 1x + 7 = - 3 - 1.(+ 10) = - 3 - 7 - 10 = - 3 - 7 - 10 = - 10 Prof.ssa Bosisio