Lavoro in fisica: definizione, forze e conservazione dell'energia

Lavoro in Fisica

Consideriamo inizialmente un corpo in moto su una traiettoria rettilinea. Scegliamo un sistema di riferimento con l'asse x coincidente con la traiettoria sulla quale avviene il moto. Su di esso scegliamo un'origine O e definiamo un verso positivo (in questo caso verso destra).

Supponiamo inoltre che il corpo sia sottoposto ad una forza F costante in modulo, direzione e verso, che forma un angolo 0 con l'asse x.

F X 0 B O

In un certo istante il corpo si trova nel punto A e dopo un intervallo di tempo At si troverà nel punto B . Come si è visto nel modulo sulla cinematica in due dimensioni, lo spostamento del corpo nell'intervallo di tempo At è il vettore Ar che va da A a B, indicato con una freccia rossa in figura.

F 0 X B O A

Poiché il problema è unidimensionale, possiamo utilizzare la sola componente x del vettore spostamento: tale componente vale Ax= (XB-XA) e può essere positiva o negativa a seconda che xB sia maggiore o minore di xA.

Si noti che il modulo del vettore spostamento, invece, dovendo essere sempre positivo per definizione, è uguale al valore assoluto di Ax.

Si chiama lavoro della forza costante F durante lo spostamento del corpo tra A e B la quantità scalare WAB uguale al prodotto scalare tra la forza F e lo spostamento Ar.

W AB = F . AF

Per definizione di prodotto scalare, esso è uguale al prodotto tra il modulo di F, il modulo di Ar, e il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori, ossia 0.

WAB = F . AF = F \Axlcose

A questo punto, si noti che il modulo di F per il coseno di 0 non è nient'altro che la componente della forza nella direzione x, cioè la proiezione della forza F sulla retta su cui giace lo spostamento.F X 0 B Fn

Tale componente viene spesso indicata come F// per esprimere il fatto che è parallela al vettore spostamento.

In conclusione, il lavoro della forza costante F risulta essere uguale al prodotto tra la componente della forza F parallela allo spostamento e il modulo dello spostamento stesso.

WAB = F1, 1 XB - XA

Chiaramente il segno del lavoro dipende dal segno di cose, come visto prima.

• Il lavoro è positivo quando il coseno di 0 è positivo ossia quando l'angolo 0 è compreso tra 0 e 90°.
• Invece il lavoro è negativo quando il coseno di 0 è negativo cioè l'angolo 0 è compreso tra 90° e 180°.
• Infine il lavoro è 0 quando il coseno di 0 è 0, il che vuol dire che l'angolo 0 è pari a 90°.

F/ WAR>0 AB cos 9> 0 TC 2 KN AF É WAR <O cos 9 < 0 F T WAR = 0 cos 9 = 0 2 AF

In modo meno preciso ma più efficace, possiamo dire che il lavoro della forza è positivo se la forza ha una componente nel verso dello spostamento, negativo se tale componente e invece opposta allo spostamento. Una forza che sia sempre perpendicolare allo spostamento compie invece lavoro nullo.

Un caso tipico è la forza di reazione vincolare normale N che una superficie esercita su un corpo appoggiato su di essa: se il corpo si muove sulla superficie, il suo spostamento è sempre necessariamente ortogonale alla forza normale, che non compie alcun lavoro.

N̄

L'unità di misura del lavoro nel sistema internazionale di unità (SI) è il Joule, definito come il prodotto di un newton per un metro.

1 joule (J)=1 N.1m

Esempio: Forza di Attrito Dinamico

Consideriamo la forza di attrito dinamico tra un corpo in moto su una superficie e la superficie stessa. A rigore questa forza non è costante, perché il suo verso dipende da come si muove il corpo. Pertanto, nel seguito faremo l'ipotesi che il corpo si muova sempre nello stesso verso su una traiettoria rettilinea.

Se il corpo si muove nel verso positivo dell'asse x (scelto sulla superficie) da un punto A ad un punto B, lo spostamento è il vettore Ar indicato dalla freccia rossa.

A B x

La forza di attrito dinamico fa è opposta allo spostamento, ossia l'angolo che essa forma rispetto al vettore spostamento Ar è pari a Tt ( o 180º).

Naturalmente se il corpo si muovesse in verso opposto a quello dell'asse x, la forza di attrito dinamico fa cambierebbe anch'essa verso, e sarebbe in ogni caso opposta allo spostamento.

B Ar fa A x

Quindi, qualunque sia lo spostamento del corpo, (purché avvenga sempre nello stesso verso) la forza di attrito dinamico è opposta allo spostamento, ossia forma con il vettore Ar un angolo pari a T. Quindi il lavoro compiuto dalla forza di attrito durante lo spostamento Ar del corpo risulta essere uguale al modulo di fa per il modulo dello spostamento (che coincide con il valore assoluto di Ax) per il coseno di It, che è uguale a meno uno.

WAB = fa . AF = fal Axlcost =- fa |Axl

Il lavoro della forza di attrito dinamico è quindi sempre negativo.

Esempio: Trolley Tirato

Consideriamo un trolley tirato da una forza F parallela al manico. Se durante un certo intervallo di tempo At lo spostamento del trolley è Ar, e se chiamiamo 0 l'angolo tra la forza e lo spostamento, il lavoro risulta essere uguale al modulo di F per il modulo di Ar (che è il valore assoluto di 4x) per il coseno di 0.

F 0 WAR = F . AF = F |Axlcose

Poiché 0 è minore di 1/2 tale lavoro risulterà necessariamente positivo.

Esempio: Caduta Verticale

Supponiamo di voler calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso durante la caduta verticale di un corpo da un punto A ad un punto B. Chiamiamo z l'asse verticale orientato verso l'alto e siano ZA e ZB le coordinate del punto all'istante iniziale e all'istante finale. Chiamiamo inoltre h = ZA-ZB che è una quantità positiva. Lo spostamento è chiaramente il vettore che va da A a B, che è parallelo alla forza peso ed ha anche lo stesso verso. Quindi l'angolo tra forza e spostamento in questo caso è pari a zero.

Il lavoro della forza peso si può quindi calcolare come prodotto del modulo della forza peso, ossia mg, per il A ZA mg h 15 B ZB h=ZA-ZB

modulo dello spostamento, che è h, per il coseno di zero che vale uno.

WAB = mg . AF = mgh cos(0) = mgh = mg (ZA -ZB)

Quindi il peso compie un lavoro uguale ad mgh che è positivo.

Per motivi che saranno chiari tra poco, abbiamo riscritto questo risultato nella forma mg(ZA-ZB).

Esempio: Moto Verticale Verso l'Alto

Ora calcoliamo il lavoro della forza peso durante il moto verticale di un corpo lanciato verso l'alto, che passa da un punto A a quota ZA ad un punto B a quota ZB maggiore. Come nel caso precedente chiamiamo h la differenza di quota (definita positiva), che in questo caso significa ZB-ZA. Il vettore spostamento è verticale e diretto verso l'alto, mentre la forza peso è verticale e diretta verso il basso. Pertanto l'angolo tra due vettori è pari a T.

Il lavoro è quindi uguale al prodotto tra il modulo della forza peso, ossia mg, per il modulo dello spostamento (che è sempre h), per il coseno dell'angolo 0 che, siccome in questo caso 0 vale Tt, è uguale a -1.

WAB = mg . AF = mghcos() = = - mgh = mg (ZA -ZB)

B Z B h A mg h = ZB - ZA

In conclusione il lavoro risulta essere uguale a -mgh ed è quindi negativo. Anche in questo caso è utile scrivere questo risultato nella forma mg (ZA-ZB) che, come si vede, ha esattamente la stessa forma di quanto ottenuto nel caso precedente.

Esempio: Spostamento su Piano Inclinato

Consideriamo ora il lavoro della forza peso A durante lo spostamento di un corpo da un a LA punto A ad un punto B lungo un piano mg inclinato di un angolo 0 rispetto all'orizzontale. h Siano come sempre ZA e ZB le relative quote, con ZA maggiore di ZB, e sia h la differenza di B quota, intesa come quantità positiva e uguale, ZB in questo caso, a ZA- ZB. La forza peso è ovviamente verticale e rivolta verso il basso. Invece lo spostamento ha lunghezza L ed è parallelo al piano inclinato.

Quindi la forza e lo spostamento formano tra loro un certo angolo a. Tale angolo è il complementare dell'angolo 0 di inclinazione del piano inclinato.

Il lavoro compiuto dalla forza peso risulta essere uguale al prodotto scalare tra il modulo della forza, che è mg, il modulo dello spostamento, che è L, e il coseno di a che però, siccome a è uguale a 1/2 meno 0, è uguale al seno di 0.

WAB = mg . Ar = mgLcos mgLicos(z-0)- = mgLsin(0)

Ora, la quantità L sin (0) è uguale ad h, per cui il lavoro risulta uguale a WAB = mgh

Questo risultato è identico a quello ottenuto nel caso di un corpo in caduta.

Si noti che se scriviamo h = ZA - ZB, l'espressione per il lavoro della forza peso risulta WAB = mg (ZA -ZB)

del tutto identica nei tre casi analizzati finora. Se ora considerassimo il caso di un corpo lanciato verso l'alto su un piano inclinato otterremmo ancora la stessa forma del risultato, salvo che la differenza di quota ZA - ZB in questo caso sarebbe negativa e uguale a -h.

Potenza

Si chiama potenza il lavoro compiuto da una forza nell'unità di tempo. La potenza P è quindi uguale al rapporto tra il lavoro WAB e l'intervallo di tempo At durante il quale questo lavoro viene compiuto; tale intervallo di tempo può anche essere scritto tB-tA.

P =WAB W At = W VAB t − t B A

L'unità di misura della potenza nel sistema internazionale è il Watt, che è uguale a 1 Joule al secondo.

1W = 12 s

Si noti che si può anche scrivere la potenza in una forma alternativa se si esplicita l'espressione del lavoro come prodotto scalare tra forza e spostamento. Infatti in questo modo la potenza può essere scritta come

W P =W AB At F . AF = F. AT -F.V At At

ossia come prodotto scalare tra la forza agente sul corpo e la velocità del corpo.

Energia Cinetica

Si chiama energia cinetica di un corpo di massa m in moto con una certa velocità v la quantità scalare che indicheremo con Ex,e che è uguale a 1/2 per la massa m, per il quadrato della velocità.

Ex = - mv2

L'unità di misura dell'energia cinetica nel Sistema Internazionale è il Joule, esattamente come per il lavoro. Infatti se consideriamo le unità di misura della massa e della velocità, otteniamo che l'energia cinetica si misura in

kg 2 m2 S

che può essere scritto:

kg 12 = kg m = Nm = J 2

ricordando che il Newton è definito come kg per metro al secondo quadrato.

Il Teorema dell'Energia Cinetica

Il teorema dell'energia cinetica dice che:

il lavoro compiuto dalla somma di tutte le forze applicate a un corpo è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo

ossia all'energia cinetica finale meno l'energia cinetica iniziale. In formule,

AB WIOT = ELB - Ex,A = = mv2 -n 2 A

Esempio: Forze Applicate

Consideriamo un corpo in moto sull'asse x sottoposto a due forze F1 ed F2. La somma di queste due forze, detta anche risultante, è il vettore R, rappresentato dalla freccia blu nel disegno.

R=F + F2

Ř F, X B O

Se in un certo intervallo di tempo At il corpo si sposta dal punto A al punto B, lo spostamento è il vettore Ar, indicato dalla freccia rossa. Chiamando 0 l'angolo tra R e lo spostamento Ar si ottiene che il lavoro della risultante R (ossia il lavoro totale delle