Proprietà dei vettori in fisica: scomposizione e prodotto scalare

Proprietà dei Vettori

Sappiamo che ci sono alcune grandezze come la massa, il tempo, la temperatura che sono completamente definite da un numero, una volta scelta l'unità di misura. Queste grandezze fisiche prendono il nome di scalari. D'altra parte, ci sono altre grandezze fisiche quali ad esempio la forza, lo spostamento, la velocità, che non sono definite completamente da un numero; esse prendono il nome di grandezze fisiche vettoriali, o vettori.

P' 0 P Cerchiamo di capire perché alcune grandezze fisiche non vengono completamente specificate da un numero. Ad esempio, supponiamo che mi stia muovendo lungo una retta: se dico che mi sono spostato di 10 metri non riesco a sapere dove arrivo. Per sapere dove arrivo è necessario conoscere innanzitutto il punto di partenza; poi bisogna sapere in che verso mi sto muovendo. Infatti (con riferimento alla figura sottostante) posso andare verso destra, e giungere in P, o verso sinistra, e giungere in P': entrambi questi punti distano 10 metri dal punto di partenza. E' evidente quindi che dire semplicemente di quanto mi sono spostato non è sufficiente specificare completamente la grandezza fisica spostamento.

P' 0 P Lo spostamento lungo una retta può essere rappresentato da un segmento orientato, ossia da una freccia. Il segmento orientato OP rappresenta lo spostamento verso P con partenza da O; il segmento orientato OP' rappresenta lo spostamento verso P' con partenza da O. Quindi gli spostamenti sono rappresentati da segmenti orientati che chiameremo vettori; la lunghezza di questi segmenti è proporzionale alla distanza percorsa.Proviamo adesso a capire che cosa vuol dire spostarsi in un piano: se dico che mi sono spostato di 500 metri, che cosa serve per conoscere il punto di arrivo?

Donato H Corso Palere Cimitero Monumentale Corso Francia D Corso V. Emanuele !! Via Cernaia Via A. G. J Bertola Corso A. Margherita Real Corso Belgie Via P. Micca Torino Via Po Via Vanchiglia na &.F. Napione Corso Lavale P2 O Corse Q Sella Packa Corso L Einaudi P1 PC & Nedo Rossel long

La figura precedente mostra una mappa di Torino. Il punto di partenza O corrisponde alla stazione di Porta Nuova. Sapendo solo che mi sono spostato di 500 metri, il punto di arrivo può essere P1, P2 o P3 ... Ci convinciamo facilmente che, in questo caso, l'indeterminazione è ancora maggiore rispetto al caso del moto lungo una retta che abbiamo visto prima. Infatti se conosciamo solo la distanza percorsa il punto di arrivo può essere uno qualunque dei punti che giacciono sulla circonferenza di raggio 500 metri e di centro O. Tutto questo ci suggerisce che, per definire in maniera non ambigua lo spostamento, dobbiamo dare delle altre informazioni, oltre alla distanza percorsa.

distanza direzione verso P 0 partenza P3 Corso San Maurizio Corsa Tortona Ca Turin-Cenisia Corso | Ferrucci H Corso Peschiera Corso Castelfidardo Giardini Corso Novala

E' chiaro, dopo quello che abbiamo visto, che la grandezza fisica spostamento non si definisce semplicemente con un numero: questo numero, una volta scelta l'unità di misura, rappresenta la distanza percorsa, ma non esaurisce tutte le informazioni che servono a definire la grandezza fisica. Per definire completamente uno spostamento è necessario conoscere il punto di partenza, la direzione (la retta lungo la quale ci si muove), il verso (ogni retta può essere percorsa in due versi) e, infine, la distanza percorsa. Tutte queste sono le caratteristiche di un vettore: il vettore spostamento.

Lo spostamento è solo un esempio di grandezza fisica vettoriale, ma ve ne sono molte altre. Per esempio, nella trattazione della cinematica si usano anche la velocità e l'accelerazione; nella trattazione della dinamica del punto si usano le forze, e così via. Una grandezza vettoriale è indicata con una freccia sul suo simbolo oppure, specialmente se compare nel corpo del testo, con un simbolo in grassetto. Per esempio, il vettore spostamento si indica con Ar o Ar, la velocitàcon v o v e l'accelerazione con a o a. Il modulo del vettore si indica con il simbolo senza freccia oppure con il simbolo con freccia racchiuso da due coppie di barre verticali:

v è il vettore > il suo modulo è indicato con v oppure r

Un vettore è completamente definito da punto di applicazione, direzione, verso e modulo. Un vettore con punto di applicazione viene detto vettore applicato (nell'esempio di prima, lo spostamento ha un punto di applicazione: coincide con il punto di partenza). I vettori che non hanno punto di applicazione sono detti vettori liberi.

F =10 km |7 |=5 km

I vettori e le grandezze fisiche vettoriali sono rappresentate da frecce orientate. La convenzione che utilizziamo quando disegniamo i vettori è la seguente: direzione e verso della freccia determinano direzione e verso del vettore; inoltre, la lunghezza della freccia è proporzionale al valore numerico della grandezza (quello che viene chiamato modulo o intensità del vettore). Quindi, se abbiamo a che fare con vettori spostamento, vettori più lunghi stanno a indicare una maggiore distanza percorsa.

Abbiamo parlato di vettori applicati; cerchiamo di focalizzare meglio il significato di questa cosa, utilizzando un'altra grandezza fisica vettoriale: la forza. Ci convinciamo facilmente che la forza è una grandezza vettoriale e che l'effetto dell'applicazione del vettore forza ad un oggetto dipende dal punto di applicazione. Supponiamo di applicare una forza F al centro C di un corpo: ci aspettiamo che il corpo inizi a traslare, ossia a muoversi verso destra, restando parallelo a se stesso. Se, invece, applichiamo la stessa forza all'estremo A quello che può accadere è che il corpo inizia a ruotare. Tutto questo evidenzia l'importanza del punto di applicazione: a parità di forza, gli effetti dipendono dal punto di applicazione.

r C C r A

Operazioni con i Vettori

Prodotto di un vettore per uno scalare

La prima operazione che consideriamo è il prodotto di un vettore per uno scalare. Sia v il vettore di partenza ed a lo scalare. Il risultato di questa operazione è un vettore che si indica con av . Quali caratteristiche ha questo vettore? Dipende dal numero a, o scalare, che moltiplica il vettore di partenza v :

• se a è maggiore di 1, il modulo è maggiore di quello di partenza,
• se a è minore di 1, il modulo è minore.

Per quanto riguarda il verso,

• se a è positivo, il verso è lo stesso di quello di partenza;
• se a è negativo, il verso è opposto.

La figura seguente mostra graficamente quanto appena detto.

V av, con a>1 av, con 0 < a <1 av, con a < 0

Somma di vettori

Consideriamo ora un'altra operazione che si può fare con i vettori, ossia la loro somma, cercando di dare ad essa un significato intuitivo, per poi formalizzare il concetto in un secondo momento. Iniziamo a considerare la somma di vettori paralleli, ossia di vettori che hanno la stessa direzione. Per fissare le idee, immaginiamo che si tratti di vettori forza: quindi possiamo chiederci, per esempio, che cosa succede se due persone applicano una forza allo stesso oggetto. Possiamo trovarci in due situazioni diverse: la prima è quella in cui le due forze applicate hanno lo stesso verso; la seconda situazione è quella in cui le due forze applicate hanno verso opposto. Ci aspettiamo, nel primo caso, che il corpo si muova verso destra; nel secondo caso, visto che F2 ha un modulo maggiore di F1, ci aspettiamo che il corpo si muova verso sinistra. Tutto questo è una conseguenza di come si sommano i vettori paralleli.

F F F2

Via Piazza Paleocapa Via Andrea Doria Via-XX-Settembre Giardino Sambuý Piazza Lagrange Pz M ** Bun TORINO - C.so Vittorio Emanuele/Sacchi Via Giuseppe Mazzini a Magenta Porta Nuova M VyTA Y 1 0 POILa NUOVA P1 atta Tezenis Rfi Rete Ferroviaria Italiana Spa Zona ... Saluzzo Corso Vittorio Emanuele II Corso Vittorio Emanu 3

Vediamo ora che cosa accade se i vettori da sommare non sono paralleli: è, ad esempio, il caso della somma di due spostamenti successivi. Vado da O a P1, e successivamente da P1 a P2; ciascuno di questi spostamenti è identificato da un vettore: lo spostamento totale sarà la somma di questi vettori, che corrisponde al segmento orientato OP2.

Passiamo ora a formalizzare quello che abbiamo visto in modo abbastanza qualitativo. Partiamo dalla somma di vettori paralleli, diretti nello stesso verso.

Dati il vettore v ed il vettore u il vettore somma w =v +u e il vettore che ha modulo pari alla somma dei moduli dei vettori di partenza, stessa direzione e stesso verso. Il perché di questa regola è evidente se immaginiamo i due vettori come spostamenti successivi: la distanza percorsa sarà un vettore che corrisponde alla somma delle due distanze, e avrà stessa direzione e verso.

V + V u w=u+V

Che cosa accade se due vettori sono paralleli ma hanno verso opposto? La somma di vettori paralleli con verso opposto è un vettore che ha verso concorde con il vettore di modulo maggiore e ha modulo pari al valore assoluto della differenza dei moduli dei due vettori. Se ci pensiamo, questa situazione riflette quanto abbiamo descritto prima, qualitativamente, pensando a due forze dirette in verso opposto applicate al medesimo corpo: prevale la forza con intensità maggiore. O, anche, si può interpretare in termini di spostamenti: si va prima avanti di una certa distanza e poi si torna indietro; per capire di quanto ci si è spostati rispetto al punto di partenza bisogna fare la differenza fra lo spostamento in un verso e quello in verso opposto.

V + u w=lv-ul w=V+u

Passiamo ora a vedere come si effettua la somma di due vettori che non sono fra di loro paralleli. Possiamo definire la somma in due modi equivalenti: il primo è la cosiddetta regola del

Vie-dellArsenele via S. Quintino Via Carlo / P Piazza Carlo Felice- Via Carlo Alberto Via Paolo Sacchi ...

parallelogramma, che dice che il vettore somma corrisponde alla diagonale del quadrilatero costruito con i due vettori di partenza, che vengono disposti in modo da avere l'origine in comune.

w = V + ū ... 17

Possiamo definire in maniera equivalente la somma di due vettori con la regola del poligono: per fare questo, disponiamo i vettori in modo che l'origine del secondo vettore coincida con l'estremo del primo. Allora il vettore somma si ottiene unendo l'origine del primo con l'estremo del secondo: di fatto è questa regola che abbiamo applicato, intuitivamente, quando, prima, abbiamo considerato la somma di due spostamenti in un piano in direzioni non parallele.

u w=V+ū v

Scomposizione di un vettore in componenti

Applichiamo ora quello che abbiamo visto sulla somma dei vettori per definire il concetto di componenti di un vettore lungo gli assi cartesiani. Ogni vettore, definito un sistema di assi cartesiani, può essere visto univocamente come somma di due vettori ortogonali tra loro. Questi vettori si ottengono proiettando il vettore lungo l'asse x e lungo l'asse y: in particolare il vettore v è uguale alla somma tra il vettore parallelo all'asse x, che indichiamo con v2, e il vettore parallelo all'asse y, che chiamiamo vy:

v=vx+v,

Questi due vettori paralleli agli assi sono unici, ossia definiti in modo univoco.

y V Vy x V x

La scomposizione lungo gli assi cartesiani può essere descritta in termini di versori. Che cosa sono i versori? Sono vettori di lunghezza unitaria, diretti come gli assi cartesiani. Convenzionalmente, viene chiamato i (oppure i o ancora i) il versore dell'asse x, e j (oppure ] oj ) il versore dell'asse y. Se applichiamo le regole di moltiplicazione di un vettore per uno scalare possiamo definire le componenti cartesiane del vettore v : il vettore v, è un vettore che si ottiene moltiplicando lo