La perpendicularidad, el paralelismo y los ángulos en Matemáticas

La Perpendicularidad, el Paralelismo y los Ángulos

29/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS La perpendicularidad, el paralelismo y los angulos Página 1 Índice

• Medida de los ángulos
• Operaciones en el sistema sexagesimal
• Suma de dos ángulos
• Resta de dos ángulos
• Multiplicación de un ángulo por un número natural
• División de un ángulo entre un número natural
• Clasificación de los ángulos
• Según su amplitud
• Según la posición de sus semirrectas
• Según el vértice y los lados en común de dos ángulos
• Operaciones gráficas con ángulos
• Construcciones con regla y compás
• Construcción de rectas perpendiculares
• Construcción de rectas paralelas
• División de un segmento en partes iguales
• Construcciones con GeoGebra
• División de un segmento en partes iguales
• Construcción de rectas perpendiculares
• Construcción de rectas paralelas

about:blank 1/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS Página 2

Medida de los Ángulos

Un ángulo es una porción de plano comprendida entre dos semirrectas. Las semirrectas son los lados del ángulo, mientras que el punto común de los lados es el vértice. C lado Ángulo A B vértice lado La unidad que se utiliza para medir ángulos es el grado (°). Una vuelta completa son 360°.

Origen de los 360°

¿Sabías que ...? La elección de los 360° como vuelta completa tiene su origen en Babilonia. Al contrario de lo que pueda parecer, no es casual: se eligió por la cantidad de divisores que tiene. De menor a mayor son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360. Además, es un número muy cercano al de los días del año, lo que permitió crear un calendario y dividir el año en 12 partes de 30 días. El grado se basa en un sistema distinto al decimal. Para medir ángulos se utiliza el sistema sexagesimal. En el sistema sexagesimal, una circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada parte corresponde a un grado (°), cada grado está formado por 60 minutos (') y, a su vez, cada minuto está formado por 60 segundos ("). Para convertir los grados en minutos y segundos, y viceversa, se procede de la siguiente manera: about:blank 2/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

Conversión en el Sistema Sexagesimal

· 3600 · 60 · 60 GRADO MINUTO SEGUNDO : 60 : 60 : 3600 Los grados, minutos y segundos son útiles, por ejemplo, para conocer la posición en la que uno se encuentra con ayuda de un mapa y una brújula y averiguar la dirección hacia la cual desplazarse. Cada dirección se puede expresar con un ángulo concreto respecto al Norte. La Bastida d'Hortone Ansovel El Querfe El Ges 168 270 280 290 300 330 Do Torreta de Cada Vulturú a 10 lauvanya 40 130 140 110 120 Si esuer 6 563 uixent Sant Pere El Norte, N, está a 0°. La Bastida d'Hortons Ansovell C-462 El Querfe El Ges 10 50 90 . Torreta Vulturó 320 330 jauvanya M 270 26 5 Josa de Codi C-553 Sant Pere El Este, E, está a 90°. La Bastida d'Hortone C-402 Ansovel El Querfe El Ges 100 110 120 130 14 140 1500 180º Torreta de Cada Vulturú 09 lauvanya 50 0 350 360 VE OSE OVE OFF OLE OLE Si equer 6 563 Sant Pere El Sur, S, está a 180°. La Bastida IHortons Ansovel C-462 El Querfe El Ges 10 60 270° . 70 Torreta de Cada Vulturó 100 jauvanya 110 120 M 957. 007 Josa de Cad C-553 Tuiwent Sant Pere El Oeste, W, está a 270°. Si bien con una brújula es posible orientarse, no se llega a la precisión de los minutos, ni mucho menos de los segundos, pues las marcas serían tan pequeñas que no se distinguirían a simple vista. about:blank 3/29 20 30 40 50 A 360 353 de Cadi 340 350 20 40 350 Josa de Cadi Josa de Cad29/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

Precisión en Cartografía

¿Sabías que ...? En cartografía, la ciencia que estudia los mapas y cómo realizarlos, para conocer la posición exacta de un punto se necesitan medidas de mucha precisión. Los actuales GPS dan la posición sobre la superficie terrestre como dos ángulos, la latitud y la longitud, ambos con una precisión de segundos. Por ejemplo, la torre Eiffel se encuentra en 48° 51' 30" N - 2º 17' 40" E. about:blank 4/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS Página 3

Operaciones en el Sistema Sexagesimal

Al operar con el sistema sexagesimal hay que recordar que 60 segundos forman un minuto, y que 60 minutos forman un grado.

Suma de Ángulos

La suma de dos ángulos dará como resultado un ángulo mayor. Esto sucede, por ejemplo, cuando se unen dos porciones de queso redondo, ya que el trozo resultante es mayor. Para sumar dos ángulos hay que seguir los siguientes pasos: Procedimiento Ejemplo: 43° 54' 27" + 21° 38' 56" Paso 1: Se alinean las unidades de los dos ángulos (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos) y se suman por columnas. 43º 54/ 27// + 21° 38/ 56// 64° 92/ 83/1 Paso 2: Si el número de segundos sobrepasa los 60", se divide entre 60. El cociente se añade a los minutos, y el resto se queda en forma de segundos. 83" 60 23" 1' 64° (92 + 1)/ 23//= 64° 93/ 23// Paso 3: En el caso de que el número de minutos supere los 60, se divide entre 60. El cociente se añade a los grados, y el resto se queda en forma de minutos. 93' 60 33' 1º (64 + 1) ° 33/ 23// = 65° 33/ 23//

Resta de Ángulos

Restar ángulos es parecido a restar números naturales, teniendo siempre en cuenta que se realiza con el sistema sexagesimal. Hay que seguir los siguientes pasos: about:blank 5/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS Procedimiento Ejemplo: 35° 38' 27" - 22° 54' 42" Paso 1: Se alinean las unidades de los dos ángulos (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos). 35° 38/ 27// 22º 54/ 42// − Paso 2: Si el número de segundos del minuendo es inferior al del sustraendo, hay que convertir un minuto del minuendo en 60 segundos. 38/ - 1/ = 37/ 27// + 60// = 87/1 35° 37/ 87/1 22º 54/ 42// Paso 3: En el caso de que el número de minutos del minuendo sea inferior al del sustraendo, hay que convertir un grado en 60 minutos. 35°- 1°=34° 37/ + 60/ = 97/ 34° 97/ 87// 22° 54/ 42// 34° 97/ 87/1 Paso 4: Se resuelve la resta. − 22º 54/ 42// 12º 43/ 45//

Multiplicación de un Ángulo por un Número Natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural hay que seguir los pasos que se indican en el siguiente ejemplo: about:blank 6/29 − −29/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS Procedimiento Ejemplo: 43° 54' 27" . 3 Paso 1: Se multiplican los grados, minutos y segundos por el número natural. 43º 54/ 27// ×3 129º 162/ 81// Paso 2: Si el número de segundos resultante sobrepasa los 60, hay que dividirlo entre 60. El cociente se añade a los minutos y el resto se queda como segundos. 81" 60 21" 1' 129° 162/ 81//= 129° (162 + 1)/ 21// = =129° 163/ 21// Paso 3: Si el número de minutos resultante sobrepasa los 60, hay que dividirlo entre 60. El cociente que se ha obtenido se sumará a los grados y el resto se quedará como minutos. 163' 60 43' 2º 129° 163/ 21// = (129 + 2) ° 43/ 21// = =131° 43/ 21//

División de un Ángulo entre un Número Natural

Del mismo modo, para dividir un ángulo entre un número natural hay que seguir los siguientes pasos: about:blank 7/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS Procedimiento Ejemplo: 35° 38' 27" : 3 Paso 1: Se dividen los grados entre el número natural. El cociente son los grados y el resto, multiplicado por sesenta, se añade a los minutos. 35° 3 2 11º 2. 60/ = 120/ 38/ + 120/ = 158/ Paso 2: Se repite el mismo procedimiento para los minutos. Si el resto no es cero, se multiplica por sesenta para obtener su equivalente en segundos. 158' 2 3 52' 2 . 60// = 120// 27// + 120// = 147// Paso 3: Se repite el mismo procedimiento para los segundos. 147" 3 49 27 0 Paso 4: Se unen los resultados de los tres cocientes para obtener el resultado de la división. 35° 38/ 27// : 3 = 11º 52/ 49// about:blank 8/2929/5/25, 19:43 Página 4

Clasificación de los Ángulos

1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS En función del criterio que elijamos, existen diferentes clasificaciones de los ángulos.

Clasificación Según su Amplitud

Esto es, según el valor del ángulo. about:blank 9/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

about:blank 10/29 1229/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

Clasificación Según la Posición de sus Semirrectas

Los ángulos también se pueden clasificar según la posición de las semirrectas que lo forman. about:blank 11/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

Clasificación Según el Vértice y Lados Comunes

También se pueden clasificar según la posición de los lados de los ángulos. about:blank 12/2929/5/25, 19:43 1 - LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

Por último, los ángulos, al sumarse, también se pueden clasificar en función de su resultado cuando se suman.

Clasificación de Ángulos por su Suma