Historia del cálculo infinitesimal: orígenes y evolución hasta hoy

INTRODUCCIÓN

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, el cálculo infinitesimal en sí constituye una parte muy importante dentro de las matemáticas modernas. Es normal, simplemente llamarlo cálculo. El cálculo incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas entre otras. El cálculo infinitesimal se puede aplicar en economía, administración, física, economía tanto empresarial, como familiar, etc. Cabe recalcar que es de vital importancia el manejo de las operaciones de cálculo dentro de la rama de la ingeniería, ya que la mayor parte de los procesos e investigaciones afines requieren de una u otra manera una operación matemática a partir de datos previamente conocidos.

EL CÁLCULO INFINITESIMAL EN LA GRECIA CLÁSICA

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, el siguiente libro: BOYER, CARL B .: Historia de la matemática. Los orígenes del cálculo infinitesimal se remontan a la época de los matemáticos griegos. Sus métodos para tratar problemas del cálculo infinitesimal eran exclusivamente geométricos. De esta época, debemos destacar los avances realizados por Eudoxo (S.IV a.C) y por Arquímedes (S.III a.C). En general, utilizaron para sus demostraciones sobre áreas y volúmenes el denominado método de exhaución. Utilizaron este método, por ejemplo, para calcular el área de la región plana limitada por la curva y = f (x), las rectas x = a, x = b y el eje OX tal como se muestra en la figura: Y 𝑓 A = f(x) dx න 𝑏 a O a b X Con el método de exhaución, calculaban áreas de regiones complicadas mediante regiones rectangulares, aproximándolas por defecto y por exceso. Por ejemplo: Página 2 de 8YT Y L -- I I I X X 0 a=X0 X1 X2 X3 X4 =b O a=X0 X1 X2 X3 X4 =b Si sumamos el área encerrada en los rectángulos, obtendremos una aproximación del área A. Por otra parte, a Arquímedes (S.III a.C) se le deben entre otras, las fórmulas que permiten calcular la primera buena aproximación del número IT, el área del segmento de la parábola, el área de una esfera, de un cilindro, el volumen de una esfera, el centro de gravedad de un triángulo, etc. Pero es especialmente importante, su construcción de la recta tangente a la llamada espiral de Arquímedes. Esta es considerada la fuente más antigua del cálculo diferencial, a parte de la determinación relativamente sencilla de las tangentes a las cónicas y algunos problemas de máximos y mínimos. Por todo esto, a Arquímedes se le considera el precursor del cálculo infinitesimal.

EL CÁLCULO INFINITESIMAL EN EL SIGLO XVII

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este punto, el libro: APOSTOL, TM .: Calculus Durante la edad media no hay avances en esta disciplina, ya que prevalecen las pautas marcadas por Arquímedes. De hecho, a mediados del siglo XVI se reeditan las obras de Arquímedes. En el siglo XVII, gracias al avance del algebra, la mecánica y la astronomía, se empiezan a estudiar los primeros problemas de cálculo diferencial, que son fundamentalmente, de tres tipos: velocidades, tangentes y máximos y mínimos. El científico italiano Galileo Galilei (S.XVII) creó el concepto de aceleración que se usa en la física moderna, y el concepto moderno de la fricción y la inercia con respecto a los objetos en movimiento. Del cálculo de volúmenes se ocuparon Kepler (S.XVII) y sobre todo Cavalieri (S.XVII). Cavalieri es autor de un método de integración basado en los indivisibles. La idea fundamental del método era considerar que un área está formada por segmentos rectilíneos o indivisibles del área, y que un volumen sólido, se podía considerar análogamente compuesto por secciones o áreas indivisibles de ese volumen. Cavalieri llega a realizar la siguiente cuadratura, que escrita en nuestra notación actual sería: 1ª x2 dx =3. ª Posteriormente, el matemático francés Fermat (S.XVII), generaliza la fórmula anterior, obteniendo el siguiente resultado, que en notación actual sería: x™ dx = 1. n + 1 · an+1 donde n es un valor racional cualquiera. Página 3 de 8El alemán Kepler (S.XVII) es conocido, sobre todo, por sus famosas leyes que describen la cinemática del movimiento de los planetas entorno al sol. Sin embargo, Kepler, también se ocupó del cálculo de volúmenes. En el año 1612 fue una cosecha excepcional de vino, y Kepler comenzó a meditar sobre los métodos usados para calcular los volúmenes de los toneles de vino, comparándolos con los métodos usados por Arquímedes para calcular volúmenes de conoides y esferoides, y a partir de ahí, comenzó a calcular volúmenes de diversos cuerpos de revolución. Reunió sus investigaciones en el libro "Medida de los volúmenes de los toneles". De este modo, Kepler estudia los máximos y mínimos relativos de funciones. Observó que, en las proximidades de los máximos y mínimos relativos, las funciones varían muy lentamente. El matemático Fermat (S.XVII), determina los máximos y mínimos de las funciones como puntos en los que la tangente es horizontal, lo que llevó al estudio de la derivada. Fermat descubrió un método muy ingenioso para la obtención de los puntos en los que una función polinómica de la forma y = f (x) toma valores máximos y mínimos. Fermat comparaba el valor f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo. Vio que en general, los valores serían claramente diferentes, pero en un máximo o un mínimo, la diferencia sería casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar dichos puntos, Fermat iguala f (x) a f(x+ E), teniendo en cuenta que serán casi iguales. Cuanto más pequeño sea E más se aproximará a ser una verdadera igualdad. Así pues, después de dividir todo por E hace que E = 0. El resultado permite calcular las abscisas de los puntos máximos y mínimos de la función, método equivalente a lo que hoy conocemos por diferenciación: f(x+E)-f(x) lim E->0 E = 0 El mismo Fermat obtuvo un teorema para cualquier área encerrada bajo curvas de la forma y = x™, ampliando los resultados de Cavalieri (S.XVII), en el que aproximaba el área mediante sumas de infinitos rectángulos circunscritos. John Wallis (S. XVII) realizó la introducción sistemática de las series en el cálculo infinitesimal y también aritmetizó el método de los indivisibles de Cavalieri (S.XVII), asignándoles valores numéricos. Usando su método aritmético, la inducción incompleta y su intuición llegó a calcular el área de las parábolas generalizadas x™ con r E Q - {-1}. Barrow (S.XVII) escribió el tratado "Lectiones geometricae", en el que ocupaban un lugar importante los problemas de tangentes. En él, explicó un método de determinación de tangentes, que prácticamente es idéntico al que se usa actualmente en el cálculo diferencial. Dichas cantidades equivalen a los términos modernos Ax e Ay, en lugar de E que anticipo Fermat. En la segunda mitad del siglo XVII surgen en Europa dos grandes matemáticos. El inglés Isaac Newton (S. XVII-S. XVIII) y el alemán Leibniz (S. XVII-S. XVIII). Ambos matemáticos, completaron el trabajo que habían comenzado muchos matemáticos, y que se extendía hasta los métodos de determinación de áreas y volúmenes, empleados por los antiguos griegos. En la exposición que hace Newton de sus métodos infinitesimales, consideraba a las variables x e y como cantidades que fluyen o "fluentes" y a sus derivadas "fluxiones" o velocidades de variación, denotándolas por x e y. Duplicando los puntos x e y representaba fluxiones de fluxiones (derivadas segundas). El descubrimiento de Newton consistió en la consolidación del conocimiento sobre las diferenciaciones, integraciones y la relación existente entre ambas operaciones, generando un algoritmo general para todas las funciones. Con el método de las fluxiones, Newton resolvió los siguientes problemas entre otros:

• Determinación del centro y del radio de curvatura de una función.
• Trazado de tangentes.
• Obtención de máximos y mínimos.
• Determinación de puntos de inflexión.

Leibniz comprendió la importancia del método de las fluxiones, pero vio necesario desarrollar un lenguaje y una notación adecuados para tratar estos nuevos problemas. Decidió representar por dx y dy las diferencias más pequeñas posibles de la x y de la y, respectivamente. Además, para representar la suma de las ordenadas bajo una curva escogió un símbolo parecido a una S esbelta, inicial de la palabra suma: [ y dx Ambos obtuvieron propiedades de la derivada. Leibniz publica su primera exposición sobre las derivadas y da las fórmulas: dxy = xdy + ydx ydx-xdy dxn = n . xn-1dx y2 Desgraciadamente, Newton era un hombre hipersensible que no se comunicaba con facilidad y, consecuentemente, su método de las fluxiones no llegó a ser bien conocido en Inglaterra. Leibniz, en cambio, encontró discípulos entusiastas que se mostraron deseosos de aprender todo lo relativo al cálculo diferencial e integral y transmitir esos conocimientos. Entre sus discípulos, destacan los hermanos suizos Jacques y Jean Bernoulli, miembros de una famosa estirpe de, al menos, cinco generaciones de matemáticos. Los cuales publicaron a finales del siglo XVII el primer tratado de cálculo diferencial e integral. Durante su estancia en París, Jean Bernoulli instruyó esta nueva disciplina leibniziana a un joven marqués llamado l'Hôpital, firmando con el un pacto por el cual se comprometía a enviarle a l'Hôpital sus descubrimientos matemáticos a cambio de un salario regular. Así l'Hôpital publicó la regla que hoy lleva su nombre. Jean Bernoulli había descubierto que si f (x) y g (x) son funciones diferenciables en x = a tales que f (a) = g(a) = 0 y existe límite: lim f'(x) x-a g'(x) entonces lim f(x) g (x) = lim ƒ'(x) x-a g'(x)

EL CÁLCULO INFINITESIMAL EN EL SIGLO XVIII

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, el libro de: IFRAH, G .: Historia universal de las cifras. A principios del siglo XVIII surgirá una división del pensamiento matemático en dos bloques: los matemáticos partidarios de Newton y los de Leibniz. En general, los matemáticos ingleses siguen los pasos de Newton, mientras que el resto de los europeos son seguidores de Leibnitz. Con el paso del tiempo, terminaron imponiéndose los partidarios de Leibniz, lo que provocó que la matemática inglesa sufriera un ligero retraso durante el siglo XVIII. A pesar de ello, surgen en Inglaterra los matemáticos Brook Taylor (S. XVIII) y Colin Mac-Laurin (S. XVIII), que estudian los desarrollos en serie propugnados por Newton obteniendo las fórmulas que llevan sus nombres.