Fenómenos aleatorios y probabilidades en Estadística Económica II

Universidad de Alcalá

Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Fenómenos aleatorios y cálculo de probabilidades

• Fenómenos aleatorios.
• Sucesos y operaciones con sucesos
• Concepto de probabilidad
• Definición axiomática de la Probabilidad
• Probabilidad condicionada
• Independencia de sucesos
• Teorema de la probabilidad total
• Teorema de Bayes.

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Fenómenos aleatorios

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Tipos de fenómenos

Determinístico Mismas condiciones iniciales => Mismos resultados

Medida de una barra; Tiempo en recorrer una distancia a velocidad constante, etc.

Experimento Aleatorio Mismas condiciones iniciales = resultados

Lanzamiento de una moneda al aire; Número de llamadas a un teléfono durante un día, etc

Espacio muestral Sucesos elementales o resultados básicos

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Ejemplos de experimentos aleatorios

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Lanzamiento de un dado

• Espacio Muestral: E={1, 2, 3,4,5,6}
• Sucesos Elementales: {1}; {2} ; {3}; {4}; {5}; {6}

Lanzamiento de dos monedas

• Espacio Muestral: E={CC; CX; XC; XX}
• Sucesos Elementales: {CC}; {CX}; {XC}; {XX}

Número de caras en el lanzamiento de dos monedas

• Espacio Muestral: E={0, 1,2}
• Sucesos Elementales: {0}; {1}; {2}

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Espacio muestral

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Tipos de espacio muestral

Finito: Tiene un número finito de elementos Ej. Puntuación obtenida al lanzar dos dados

Infinito numerable: Tiene un número infinito numerable de elementos Ej. Número de lanzamientos de un dado hasta que aparezca el 1

Continuo o infinito: Tiene un número infinito no numerable de elementos. Ej. Cotización en bolsa de una acción

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Sucesos y operaciones con sucesos

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Un suceso ocurre o se presenta cuando al realizarse el experimento aleatorio se obtiene uno de los resultados elementales pertenecientes al subconjunto que define el suceso. Se pueden distinguir cuatro tipos de sucesos:

• Suceso elemental, suceso simple o punto muestral: cada uno de los posibles resultados del espacio muestral.
• Suceso compuesto, es el que consta de dos o más sucesos elementales.
• Suceso seguro, cierto o universal, es el que consta de todos los elementos del espacio muestral.
• Suceso imposible, es el que no tiene ningún elemento del espacio muestral.

Ejemplo de sucesos

Supongamos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire: E = {(CCC), (CCX), (CXC), (XCC), (CXX), (XCX), (XXC), (XXX)}

Suceso seguro A= {(CCX), (XCC), (XCX)} A2= {(CCC), (XXC)} A3= {(CXC), (XCC), (XXC)} A= {(XCC)} A= {(XXCC)}

Sucesos compuestos Suceso elemental Suceso imposible

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Operaciones con sucesos

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Suceso contenido en otro

A c B B A Todos los elementos de A también están en B

Sucesos disjuntos o incompatibles

AnB=d A B No tienen ningún elemento en común

Unión de sucesos

AUB A B Todos los elementos que están en A, en B o son comunes a ambos

Intersección de sucesos

An B AnB Todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Operaciones con sucesos (continuación)

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Suceso complementario

A=E - A A A - Todos los elementos de E que no pertenecen a A

Diferencia de sucesos A-B

A B Elementos que sólo pertenecen a A y no a B, es decir, están en A pero no en B

Diferencia de sucesos B-A

A B Elementos que sólo pertenecen a B, es decir, están en B y no en A

Diferencia simétrica de sucesos

AAB A B Elementos de A y elementos de B, pero no elementos comunes (AUB)-(AnB)

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Propiedades de las operaciones con sucesos

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

1. E = ¢, ø = E, = A = A
2. EUA= E, ØUA= A, AUA=E, EnA = A, ønA=¢, AnA = ¢
3. Propiedad idempotente: AU A = A ANA= A
4. Propiedad conmutativa: AnB =BOA AUB = BOA
5. Propiedad asociativa A (A U A3) = (AUA)UA, A 3 A A 2 ( ) ( A A 2 ) 1 1
6. Propiedad distributiva AU(AA)=(AUA)0(AUA) A A ( ( 3 ) A A 1 A 2 ) A 1 A 3
7. Propiedad simplificativa A(AnB) = A An(AUB) = A
8. Leyes de Morgan (AUB) = AnB; en general: i=1 UA, =NĀ, n i=1 n (AnB) = AUB; en general: n i=1 4, = Uá i=1 n ( ) 1 2 3

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Teoría de sucesos y conjuntos

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Los sucesos pueden ser considerados como conjuntos, siendo válido para los sucesos todo lo estudiado en la teoría de conjuntos, con la siguiente tabla de correspondencias.

Tabla de correspondencias

Teoría de sucesos - Suceso - Suceso elemental - Suceso seguro o espacio muestral - Sucesos incompatibles - Suceso contrario - Suceso imposible - Unión de sucesos - Intersección de sucesos - Un suceso A implica a B

Teoría de conjuntos - Subconjunto del conjunto universal - Punto del conjunto universal - Conjunto universal - Conjuntos disjuntos - Conjunto complementario - Conjunto vacío - Unión de conjuntos - Intersección de conjuntos - El conjunto A está contenido en B

Algebra de Boole o Algebra de sucesos Espacio medible

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Definición de Probabilidad y asignación de probabilidades

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

El concepto o idea que generalmente se tiene del término probabilidad es adquirido casi de manera intuitiva. Ahora nos va a interesar una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio. A esta medida la llamaremos probabilidad del suceso A y la representaremos por P(A). La probabilidad es una medida sobre la escala de 0 a 1; correspondiendo el valor cero al suceso imposible, o sea el que no ocurre nunca, y el valor 1 al suceso seguro. Para los restantes sucesos, se asignará una probabilidad comprendida entre 0 y 1. Hechas estas indicaciones, nos surge la necesidad de dar un concepto de probabilidad, de tal forma que podamos asignar probabilidades a los diferentes sucesos de un experimento aleatorio. Este concepto de probabilidad no será único, ya que se pueden considerar diferentes enfoques o puntos de vista; así pues, aquí expondremos el punto de vista objetivo y el subjetivo. Dentro del enfoque objetivo se puede considerar una definición clásica o a priori de la probabilidad y otra frecuentista o a posteriori.

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Definición clásica de probabilidad (Regla de Laplace)

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Consideremos un experimento aleatorio, cuyo espacio muestral E está formado por un número n, finito, de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir { e1, e2, e3 , ... , en } . Entonces si n resultados constituyen el resultado A1, n2 resultados constituyen el resultado A2, ... y ng resultados constituyen el resultado Ak, de tal manera que: n + n2 + ... +nk =n y las probabilidades de los sucesos serán: P(A) =1; P(A) =12 ;_; P(A) = ** n Numero de casos favorables de A n n P(A) = Numero de casos posibles de E Se conoce con el nombre de regla de Laplace para espacios muestrales finitos.

Ejemplo: Lanzar un dado al aire

Supongamos el experimento aleatorio "lanzar un dado al aire" E = {e1,e2,e3 , ... , en } = {1,2,3, 4,5,6} = P (1) = P(e )= P (2)- ... 1 P(e6) = P(6) = " 6 A = {1,3,5} = que aparezca cara impar P(A) = Numero de casos favorables de A 3 1 Numero de casos posibles de E 6 2 A = {5,6} = que aparezca resultado mayor que 4 P(A) = - Numero de casos favorables de A 2 1 3 Numero de casos posibles de E 6

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Definición frecuentista de la probabilidad

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Tabla de frecuencia relativa de caras

Número de lanzamientos	Número de caras cada 10 lanzamientos	Suma acumulada de caras	Frecuencia relativa de caras
1	0	0	0,000
10	6	6	0,600
20	2	8	0,400
30	6	14	0,467
40	5	19	0,475
50	6	25	0,500
60	6	31	0,517
70	7	38	0,543
80	5	43	0,538
90	3	46	0,511
100	5	51	0,510
110	5	56	0,509
120	7	63	0,525
130	5	68	0,523
140	4	72	0,514
150	3	75	0,500
160	3	78	0,488
170	5	83	0,488
180	6	89	0,494
190	6	95	0,500
200	6	101	0,505

1,00 0,75 Frecuencia relativa 0,50 0,25 0,00 + 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 Número de lanzamientos

lim- ni =P(A), i =1,2,3,., k non A esta definición frecuentista de probabilidad se le llama también probabilidad a posteriori, ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un número grande de veces el experimento.

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025

Definición axiomática de la probabilidad

Universidad de Alcalá Estadística Económica II. Tema 1: Fenómenos aleatorios y probabilidades

Dado el espacio muestral E y la o-álgebra, A = P(E), diremos que una función de conjunto (P), definida sobre A y con valores en [0, 1], P : A- [0,1] es una probabilidad, si satisface los siguientes axiomas de A. Kolmogorov:

1. P(A)≥0, para cualquier suceso A E A
2. P(E)=1
3. Dada una sucesión numerable de sucesos incompatibles, A1,A2, ... , An, ... E A: P(AUA2 U ... VAR)=P(A)+P(A2) +. + P( A ) o bien, P(A)=XP(A) i=1 i=1

Si la función de conjunto P asigna el valor p=P(A) al suceso A, entonces diremos que p o P(A) es la probabilidad del suceso A. La terna formada por el espacio muestral E, la o-álgebra y la probabilidad P, (E,% P) recibe el nombre de espacio probabilístico.

Dr. José Javier Núñez Velázquez. Departamento de Economía 1/22/2025