Medidas de Tendencia Central: Media, Mediana y Moda en Estadística

Universidad Católica Andrés Bello

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Medidas de Tendencia Central

Centro de una Distribución

cc
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Elaborado por Lic. Omar Alcalá.Permiten describir ciertas características del conjunto
de datos en estudio

Promedio

Valor típico o representativo de un conjunto de datos.
Tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud.

• Media
  Aritmética
• Mediana
• Moda

Medias Generales

Geométrica

• Cambio relativo en el valor de
  la variable.
• Índices, porcentajes.

Cuadrática

• Media aritmética de los
  cuadrados de los datos.
• Invariante al signo de los datos.

Armónica

• Datos transformados de forma
  recíproca.
• Inversa aditiva.

Media Aritmética

Promedio aritmético de un conjunto de observaciones
Actúa como punto de equilibrio

[x cuando sea para una muestra
u cuando sea para una población

Divide

Σx,
Simple
x =
i=1
n
n
=
X1 + x2 + ... + x,
n

n
i=1
x
f
x=
i
Ef; = η
i
=
x.f1+x2ºf2+ ... +xn.f.
n
Ponderada
n
Tabla de frecuencias

Comparación entre Media Simple y Ponderada

Notas

U.C
N*U.C
Contabilidad: 11
6
66
Matemáticas: 14
4
56
Historia:
16
2
32
3
36
Estadística:
12

11+14+16+12
66+56+32+36
x =
Xuc =
6+4+2+3
4
x =13,25
Xuc = 12,66

Observaciones de la Media

1. Toma en consideración todos los valores de la distribución
2. Sensible a la presentación de observaciones extremas o anómalas que hacen que la
   media se desplace hacia ellas
3. No es recomendable usarla como medida de tendencia central en el de conjunto de
   datos no homogéneo, pues la cantidad obtenida no es representativa del total de los
   datos.
   Para profundizar: Tópicos de estadística, páginas 111 en adelante. Capítulo II.

Mediana

Es el punto medio de un conjunto de datos representando el valor más
central en dicho conjunto.

Datos no Agrupados

1. Organizar por orden ascendente a los datos.
2. Posicionamiento de punto:
   n +1
   2
3. Si el conjunto tiene un número impar de elementos, el de la mitad será la
   mediana, si contiene un número par de elementos, la mediana será el promedio
   aritmético de los dos que se hallan en la mitad.

Mediana

Datos Agrupados

n
i-1
Med = L; +.
2
"-F.
fi
·
a
L: Límite inferior
n
-: valor que representa la mitad de los datos
2
F : Frecuencia acumulada de la clase anterior

Observaciones de la Mediana

1. No esta afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de
   los valores que toma la variable, sino el orden de los mismos
2. Puede usarse con datos cualitativos
3. No utiliza toda la información de los datos (sólo los valores centrales)
4. No se ajusta fácilmente al cálculo algebraico
   Para profundizar: Tópicos de estadística, páginas 111 en adelante. Capítulo II.

Moda

Valor de los datos que se presenta con la mayor frecuencia absoluta.
Representa el punto más alto en la curva de distribución de un conjunto de datos.

Datos Agrupados

M. = li +
41
· a
A1+42
41 =fm - fm-1 es el valor que se obtiene a restar la fmodal con la frecuencia anterior.
42 = fm
m - f.
m+1 es el valor que se obtiene a restar la fmodal con la frecuencia siguiente.
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Observaciones sobre la Moda

1. Se puede usar para datos cualitativos y cuantitativos
2. Puede no ser única o que una distribución no tenga moda

Geométricamente

Moda
Para profundizar: Tópicos de estadística, páginas 111 en adelante. Capítulo II.

Comparación de las Medidas de Tendencia Central

Curvas Simétricas

Mediana
Moda
Mediana
Media
Media
Moda
Curva asimétrica negativa
x ≤ Med ≤ Mo
x = Med = Mo

Curvas Asimétricas

Mediana
Moda
Media
Curva asimétrica positiva
x ≥ Med ≥ Mo
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Ejemplo

Datos Puntuales

Se efectúa un censo de capacidad de las fábricas textiles existentes en un Municipio, de
acuerdo al número de telares instalados en cada fábrica, con el resultado siguiente:
Nº de telares instalados: 3, 5, 3, 8, 6, 8, 9, 10, 3.
Determine las medidas de tendencia central de la distribución de telares instalados. Indique si
la serie es simétrica, en caso contrario establezca el tipo de asimetría.
Nº de telares instalados: 3, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9, 10
1° 2°3º 4° 5°6°7º8° 9º
Media aritmética: X = 6.11 telares, aproximadamente 6 telares.
Moda: 3 telares
Mediana: 6 telares
Distribución asimétrica positiva. Una empresa constructora tiene 2 secciones A y B. Las distribuciones de ingresos
diarios de sus empleados son los siguientes.

Sección A

Ingresos ($)
Frecuencia
[80-100)
30
[100-120)
80
[120-140)
40
[140-160)
10
[160-180)
4
[180-200)
1

Sección B

Ingresos ($)
Frecuencia
[60-90)
10
[90-120)
20
[120-150)
50
[150-180)
20
[180-210)
15
[210-240)
10
[240-270)
4

• Determine el ingreso promedio conjunto de las dos secciones
• ¿ Es simétrica la distribución de la sección A? En caso contrario indique el tipo de asimetría que
  posee.
• ¿ Qué tipo de asimetría posee la sección B?
  Justifique sus respuestas empleando los indicadores de tendencia central.

Media Geométrica

Medida de tendencia central que puede utilizarse para mostrar los cambios porcentuales en una
serie de números positivos.
Se define como la raíz enésima del
producto de n términos.
G = "x.x2 .... . x,
n

Ejemplo de Media Geométrica

El director ejecutivo de una línea aérea desea determinar la tasa de crecimiento medio de los ingresos
a partir de las cifras de la tabla. Si la tasa de crecimiento medio es inferior a la media del sector, que es
del 10%, será preciso lanzar una nueva campaña de publicidad.
¿Será necesaria una nueva campaña?

Año e Ingresos

Año
Ingresos ($)
2002
50000
2003
55000
2004
66000
2005
60000
2006
78000

Porcentaje de Ingresos del Año Anterior

Porcentaje que los ingresos de cada año
representan respecto de los obtenidos el año
anterior.
Año
Ingresos ($)
Porcentaje del año
anterior
2002
50000
2003
55000
55/50 = 1,10
2004
66000
66/55 = 1,20
2005
60000
60/66 = 0,91
2006
78000
78/60 = 1,30
G = 4/1,10 . 1, 20 . 0,91 . 1,3 = 1,1179
Este resultado indica un incremento medio del 11,79%; por lo que no es necesaria una nueva
campaña.

Para Nuestra Próxima Clase

• ¿ Qué se entiende por variabilidad o dispersión en estadística?
• De las medidas de variabilidad indicadas, Varianza, desviación típica y
  coeficiente de variación, investigue: definición, fórmula para
  determinarla en una tabla de frecuencias y como se interpreta.
• ¿ Qué relación tienen el Teorema de Chebyshev y la variabilidad?