Números complejos: definiciones, representaciones y operaciones fundamentales

Introducción a los Números Complejos

NÚMEROS COMPLEJOS 1 1. Introducción 1 2. Definiciones fundamentales 2 3. Representaciones de un número complejo. 3 4. Operaciones fundamentales en forma binómica 6 5. Formula de euler 9 6. Operaciones fundamentales en forma polar y exponencial 11 7. Representación de lugares geométricos 14 8. Teorema fundamental del álgebra 15NÚMEROS COMPLEJOS 1. INTRODUCCIÓN Consideremos la siguiente ecuación cuadrática: z2-4z + 5 = 0. (1) Dado que se trata de una ecuación cuadrática, podemos resolverla fácilmente: 4±√42-4·1.5 2 4±√-4 (2) 2 = 2 Debido a que aparece una raíz cuadrada de un número negativo, sabemos que no es posible encontrar ninguna solución real a la ecuación (2).

Sin embargo, hasta cierto punto, nos es intuitivo que un polinomio de orden 2 debería tener 2 raíces. Para poder describirlas introducimos la unidad imaginaria i , definida mediante i' =- 1 (3) A partir de esta definición, vemos que podemos asignar a i las raíces ±V-1. Como veremos más adelante, asignar una u otra no tendrá demasiadas implicaciones, así que simplemente definiremos i tal que i=V-1. (4) Gracias a esta definición, podemos proceder fácilmente a dar la solución compleja a nuestro ejemplo inicial: z = 4±√42-4·1·5 2 4±√-4 2 =2±i. (5) Decimos que un número de la forma z = a + bi, donde a,b E R, es un número complejo.1 Curiosamente, aunque parezca que estas definiciones son un mero 1 En este texto usaremos i para representar la unidad imaginaria. Sin embargo, en algunas ramas de la física e ingeniería como el electromagnetismo o la ingeniería eléctrica es común usar j para indicar la unidad imaginaria (para no confundirla con la notación para la intensidad eléctrica). Números complejos 1tecnicismo matemático para resolver ecuaciones, estos números poseen un amplio rango de aplicaciones tanto en física como en ingeniería.

Definiciones Fundamentales de Números Complejos

2. DEFINICIONES FUNDAMENTALES El conjunto de todos los números complejos se denota mediante C. Por lo tanto, decimos que z = a + bi E C, para a,b E R .

Dado z = a + bi, decimos que a es la parte real de z o, en notación matemática, a = Re(z). (6) De la misma manera, decimos que b es la parte imaginaria de z : b = Im(z) (7) Un número cuya parte imaginaria es 0 es idéntico a un número real, ya que z=a+0.i=a (8) De esta manera, vemos que la recta real R está contenida dentro de C. Por otro lado, decimos que un número complejo z que cumple Re(z) = 0 es imaginario puro, ya que se escribe como z = bi, es decir, es proporcional a la unidad imaginaria.

Dado que para definir un número complejo z se necesitan dos componentes reales, decimos que dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y solo si, tanto la parte real como la imaginaria de ambos coinciden: a + bi=c+di=>a=cAb=d (9) Por último, dado un número complejo genérico z = a + bi, definimos su complejo conjugado de la siguiente manera: z = a + bi =>z=a-bi ( 10) Dicho de otro modo, el complejo conjugado z cambia el signo de la parte imaginaria (o, equivalentemente, realiza la transformación i > -¿ ). De manera similar, definimos el opuesto de un número complejo como: z = a + bi =>-z =- a -bi (11) Esto es, simplemente realizamos un cambio de signo tanto en la parte real como en la imaginaria.

Representaciones de un Número Complejo

23. REPRESENTACIONES DE UN NÚMERO COMPLEJO Ahora que hemos sentado las bases sobre lo que es un número complejo, pasamos a estudiar las diferentes formas de representarlo.

Para empezar, hemos visto que un número complejo genérico puede expresarse como z = a + bi. A esta forma de escribir un número complejo se le denota como forma binómica o rectangular. Por otro lado, dado que a y b son números reales, es natural representarlo también como un par ordenado de coordenadas (a,b) , tal y como hacemos con puntos del plano R2 . A la notación z = (a,b) se le conoce como forma cartesiana, y al punto (a,b) se le denomina afijo del número z .

La forma cartesiana invita a pensar en los números complejos como puntos en un plano, identificados mediante sus coordenadas. En la Figura 1 hemos dibujado un número complejo z = a + bi, junto con su conjugado y opuesto, asumiendo que a>0 yb>0.

Im b z= a+ bi -a a Re -z =- a-bi Z = a - bi -b Figura 1 Representación de un número complejo z = a + bi en el plano complejo, con a > 0 y b > 0. Se indican también las posiciones del conjugado ( z ) y opuesto (-z ) correspondientes. El plano en el que se dibujan los números complejos se conoce como plano complejo. El eje OX se llama eje real, por corresponderse sus puntos con números reales; al eje OY, por otro lado, se le denomina eje imaginario, pues es donde se ubican los números imaginarios puros.

Podríamos pensar en los números complejos no sólo como puntos en el plano sino como vectores del tipo OP , donde O es el origen del plano de coordenadas y P es el punto (a,b) , ver Figura 2. Tal y como vimos en temas anteriores, estos vectores pueden ser descritos tanto mediante sus coordenadas cartesianas, como a través de sus coordenadas polares. Por tanto, definimos el módulo y argumento de z ± 0 como Números complejos 3Módulo: z= = Va2 + b2 (12) Argumento: arg (z) = a => tan(a) = b ( 13) a Im b ---- z= a+ bi p=|z| 8 0 a Re Figura 2 Representación polar de un número complejo z = a + bi.

Geométricamente, el módulo representa la longitud del vector OP , mientras que el argumento representa el ángulo que forma éste respecto al eje OX. No obstante, tenemos que andar con ojo a la hora de calcular dicho ángulo. La función arctan (x) , por definición, produce valores en el rango (-T /2,77 /2); sin embargo, el ángulo & puede tomar cualquier valor real. En consecuencia, tendremos en cuenta en qué cuadrante del plano complejo se encuentra z para calcular su argumento.

Por otro lado, dado un número complejo z tal que arg(z) = &, podríamos perfectamente tomar arg(z) = &+27, por ejemplo, ya que dar una vuelta entera alrededor del origen no cambiará la posición de z en plano. Dado que podemos dar tantas vueltas como queramos, vemos que arg(z)=@+2km, kEZ ( 14 ) Es decir, el argumento de un número complejo puede tomar infinitos valores, todos ellos caracterizados por un número entero k .

Debido a la multiplicidad del argumento, es importante definir una manera de expresar dicho ángulo de manera unívoca. Esto motiva la definición de valor principal del argumento, denominado mediante Arg (2). La función Arg(z) : C\{0} > (-TT, "] se define de la siguiente manera: 4arctan arctan a b b a a b si a > 0 Arg(z) = arg (a + bi) = arctan -TT si a < 0,6 < 0 + 1 2 Indefinido 2 si a < 0,6 ≥ 0 si a = 0,b > 0 si a = 0,6 < 0 si a = b = 0 ( 15) Por lo tanto, el valor principal de un número complejo, Arg(z), asigna un único ángulo en el intervalo (-7, 7] a cualquier número complejo z ± 0 dependiendo del cuadrante en el que se ubique dicho número.

Teniendo en cuenta lo anterior, una definición más rigurosa del argumento de z es, por tanto, arg(z) = Arg(z) + 2km, KEZ. A través del módulo y argumento, podemos representar un número complejo como z = p . Esta forma de escribir números complejos recibe el nombre de forma polar. Por otro lado, mediante trigonometría básica (ver Figura 2), comprobamos que: a = p.cos(a) b = p. sin (a) = z = a + bi = p (cos (@) + i sin (@)) (16) A la última forma que hemos indicado en la ecuación anterior se le llama forma trigonométrica.

Hay que tener en cuenta que, según las definiciones de módulo y argumento, dos números complejos z y z, serán iguales si y sólo si sus módulos son iguales, 21 = 22, y si también lo son los valores principales de sus argumentos respectivos, Arg(z) = Arg(z2) (o, equivalentemente, arg(z) = arg(z2)+2nm, donde nes algún número entero).

Formas de Expresar un Número Complejo

En resumen, las múltiples formas de expresar un número complejo z son:

• Forma binómica: a + bi
• Forma cartesiana: (a,b)
• Forma polar: Pa

Números complejos 5Forma trigonométrica: p (cos (a) + isin(a))

• Además de estas formas, como veremos más adelante, existe una adicional llamada forma exponencial que nos permitirá reescribir la forma trigonométrica de manera mucho más adecuada para realizar algunos cálculos sobre números complejos.

Ejemplos de Números Complejos

Ejemplo 1 Representa el número complejo z = - 1+ i en el plano complejo, obtén su complejo conjugado, opuesto, módulo y argumento, y exprésalo en todas las formas vistas anteriormente.

Ejemplo 2 Determina razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o ciertas:

1. Un número imaginario puro es un número real.
2. Un número complejo cuya parte imaginaria es cero es un número real.
3. Todos los números reales son números complejos.
4. x =- 1=>x=i
5. Dados dos números complejos z1 =1+ ¿ y 22 = 2+24, 2, y 22 son iguales.
6. Los números complejos z = 1+i y z2 = 2+2i tienen el mismo módulo.
7. Los números complejos z =1+ ¿ y ×2 = 2 + 2i tienen el mismo argumento.
8. Un número complejo y su conjugado tienen el mismo módulo.
9. Un número complejo y su opuesto tienen el mismo argumento.

Operaciones Fundamentales en Forma Binómica

4. OPERACIONES FUNDAMENTALES EN FORMA BINÓMICA Sean dos números complejos z1 = a +bi y z2 = c+ di. En general, operar con números complejos escritos de manera binómica es muy sencillo, ya que todo lo que sabemos sobre sumas, multiplicaciones y divisiones puede aplicarse aquí también. En cualquier caso, lo único que tenemos que tener en cuenta es que, por definición, ¿2 =- 1.

Suma de Números Complejos

Suma Simplemente tratamos un número complejo como una suma de dos términos, tal y como lo haríamos de manera habitual al sumar elementos reales: 21 +22 = (a+bi) + (c+ di) = a+c+ (b+ d)i (17)

Producto de Números Complejos

Producto Distribuimos el producto como lo haríamos con cualquier polinomio, por ejemplo, y tenemos en cuenta que 22 = - 1: 21 . 72 = (a + bi)(c + di) = ac + ad . i + bc - i + bd - 2 = ac - bd + (ad + bc)i ( 18)

División de Números Complejos

División Multiplicaremos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. De esta manera, nos desharemos de la unidad compleja en el denominador: 21 _a + bi ac - ad · i + bc . i - bd . 22 22 c2 - 22 d2 c + di (a + bi)(c - di) ac + bd bc -ad i. (c + di) (c - di) ac + bd + i (bc - ad) c2 + d2 c2 + d2 + 2 + d2 ( 19)

Propiedades de la Conjugación Compleja

Propiedades de la conjugación compleja Teniendo en cuenta la manera en la que realizamos operaciones básicas en forma binómica, se puede demostrar muy fácilmente que la conjugación compleja cumple las siguientes propiedades:

• z z
• 1 = 1 z 2 z 2

Potencias de i

Potencias de i Teniendo en cuenta la propia definición de la unidad imaginaria, ¿2 = - 1, podemos obtener sus potencias de manera directa: Números complejos 7