El número racional con significado de razón y proporcionalidad aritmética

La fracción como razón y proporcionalidad aritmética

Entre cantidades de la misma magnitud se puede obtener la suma o la resta de dichas cantidades, siendo el resultado una cantidad de la misma magnitud. Por ejemplo, al sumar o restar cantidades de longitud se obtiene una nueva cantidad de longitud. Sin embargo, tanto el producto como el cociente de dos cantidades da otra cantidad de una nueva magnitud. Esta nueva cantidad unas veces resulta fácil de denominar (en el caso del producto, al multiplicar la velocidad por el tiempo se obtiene una longitud), pero otras veces necesita de nombres menos familiares (al multiplicar el número de primeros platos de una carta de un restaurante por el número de segundos platos de dicha carta se obtiene el número de menús diferentes que se pueden servir en dicho restaurante). Así, dadas dos cantidades de magnitud a unidades u1 y b unidades u2 referidas a las magnitudes M1 y M2, respectivamente, en ocasiones tiene sentido el realizar el cociente entre ellas, de manera que el resultado indica la medida de una de las cantidades de magnitud respecto a la unidad de medida de la otra magnitud. La representación fraccionaria que expresa el resultado de esta medida se denomina razón. Los contextos modelizados por la razón se caracterizan porque las cantidades de magnitud que intervienen en la razón 'varían proporcionalmente' de modo que una variación multiplicativa en una de las cantidades produce el mismo efecto en la otra cantidad de magnitud. En este caso decimos que se trata de contextos de proporcionalidad y que las magnitudes son directamente proporcionales.

Determinación de magnitudes proporcionales

En general, para determinar si dos magnitudes son proporcionales hay que estudiar el contexto en el que se ubican las cantidades de magnitud. Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos o más cantidades se debe cumplir:

• Que estén plenamente definidas dichas cantidades de magnitud. Así, por ejemplo, entre el número de una casa y el número de personas que viven en ella no hay 1relación de proporcionalidad, porque el número de una casa es un código que no indica una cantidad de magnitud.
• Que exista una condición de regularidad entre las cantidades implicadas, entendiendo como tal que permanece constante la relación entre una unidad de una de las magnitudes y la cantidad correspondiente de la otra magnitud. Por ejemplo, el espacio que recorre un móvil y el tiempo que tarda en hacerlo son cantidades directamente proporcionales siempre y cuando la velocidad del móvil sea constante; es decir, que en cada unidad de tiempo recorra la misma cantidad de espacio. Sin embargo, entre la estatura de una persona y los años que tiene dicha persona no existe proporcionalidad aritmética, porque no es constante el crecimiento de la persona en cada unidad de tiempo.

En un contexto determinado, si entre las dos cantidades existe una condición de regularidad y por tanto, una relación de proporcionalidad entre las magnitudes, se pueden definir dos razones entre dichas cantidades. Así, por ejemplo, el saber que 4 camisetas cuestan 10 euros -y siempre que exista la condición de regularidad (que todas las camisetas tengan el mismo precio)-, nos permite definir dos razones:

• 10/4 euros cuesta 1 CAMISETA.
• 4/10 de camiseta se pueden comprar con 1 EURO.

Ciertamente, de las dos razones mencionadas la primera nos resulta más familiar, pero la segunda también hay que admitirla entendiendo que las camisetas se pueden fraccionar en cualquier número de partes iguales. Dado que la idea de proporcionalidad y razón puede aplicarse a múltiples contextos vamos a estudiar las condiciones de regularidad que deben cumplir las magnitudes implicadas en diferentes contextos para que tenga sentido la proporcionalidad y, en el caso que ésta tenga sentido, definimos las razones implicadas. Para ello realizamos la siguiente tarea: Para cada uno de los contextos que se indican a continuación, indica:

1. El tipo de contexto y las magnitudes que intervienen,
2. Si en el contexto se definen dos cantidades de magnitud, las condiciones de regularidad que deben cumplir dichas cantidades de magnitud para que podamos afirmar que las magnitudes son directamente proporcionales y,
3. Si las condiciones de regularidad son verosímiles y las magnitudes son directamente proporcionales, escribe las dos razones que se pueden formar y su significado. 2a) Con 30 euros compras 4 camisetas

Contexto de compra-venta: 30 euros por 4 camisetas

Se trata de un contexto de compra-venta en el que tenemos dos cantidades de las magnitudes valor económico y cardinalidad, respectivamente: a uj=30 euros y b u2 =4 camisetas La condición de regularidad que se debe cumplir para que tenga sentido la razón es que todas las camisetas tengan el mismo precio. Si medimos la cantidad de magnitud a uj con la unidad u2, la razón viene dada por la fracción 30 U1/u2. En este caso, la razón indica el precio de una camiseta, que es: # 30 # euros vale 1 CAMISETA = - euros vale 1 CAMISETA que también podemos representar como: 30 euros / camiseta = 5 euros / camiseta # Si medimos la cantidad de magnitud b u2 con la unidad u1, la razón viene dada por la fracción U2/u1. En este caso, la razón indica el número de camisetas que puedes comprar con 1 euro, y es: camisetas cuesta 1 EURO = = camisetas cuesta 1 EURO 30 que también podemos representar como: # 30 camisetas / euro= = 15 camisetas / euro

Contexto de consumo: 4 personas consumen 5 litros de agua

b) Cada 4 personas consumen 5 litros de agua Se trata de un contexto de consumo en el que tenemos dos cantidades de las magnitudes capacidad y cardinalidad, respectivamente: a uj=5 litros y b u2 =4 personas Condición de regularidad: todas las personas beben la misma cantidad de agua. Una razón indica los litros de agua que bebe 1 persona, que es: % % litros / persona 4 # litros bebe 1 persona, que también podemos representar como La razón inversa indica el número de personas que se necesitan para beber un litro de agua: 3# % % personas se beben 1 LITRO, que también podemos representar como # personas/litro

Contexto escolar: 12 chicos y 15 chicas

c) En una clase hay 12 chicos y 15 chicas Se trata de un contexto escolar de distribución de personas según sexo que se suele denominar de "unión" porque la magnitud se descompone en dos cantidades claramente diferenciadas (chicos y chicas) cuya mezcla no determina una nueva magnitud: a u1=12 chicos y b u2 =15 chicas Condición de regularidad: la proporción entre chicos y chicas se mantiene constante aunque cambie el número total de chicos y chicas Una razón indica el número de chicos que hay por cada chica, y es: 12 15 chicos por cada chica, o también 12 15 chicos / chica La razón inversa indica el número de chicas que hay por cada chico, y es: 15 12 chicas por cada chico, o también 15 chicas / chico 12

Laura: 10 años y 120 cm de estatura

d) Laura tiene 10 años y tiene una estatura de 120 cm. A pesar de que en el contexto se plantean dos cantidades de magnitud, tiempo (medido en años) y longitud (medido en cm.), no es posible establecer una razón porque las magnitudes implicadas no son proporcionales ya que no se puede establecer una condición de regularidad del tipo "todos los años crece el mismo número de centímetros", ya que eso no puede ser cierto.

Sistemas de representación de la razón

En la tarea anterior han aparecido diversos contextos de proporcionalidad aritmética. Al margen de la expresión verbal que estaba presente en el enunciado, en todos ellos la razón puede ser expresada mediante una fracción. No obstante la representación como fracción no es la única posible, la razón también puede ser expresada como expresión decimal, tal y como sucede con los números racionales. Sin embargo, la razón no sólo admite esas dos representaciones sino que también es frecuente en la vida real encontrar razones expresadas mediante otras representaciones como los porcentajes o las escalas. 4· Como fracción (%). La representación fraccionaria - u1/u2 es el resultado de medir la cantidad a uj con la unidad de medida de la otra magnitud (u2), siendo a u] y b U2 cantidades que corresponden a las magnitudes M1 y M2. · Como expresión decimal (c'c]C2 ... ). El decimal c'c1C2 ... Uj/u2 expresa la medida de la cantidad a u respecto de u2. Esta notación surge como la división indicada de a:b y se adapta bien al significado de 'cantidad de magnitud por unidad de otra'. Así, por ejemplo, en el contexto de que se recorren 95 km en 2 horas aparecen dos razones, siempre y cuando se mantenga la condición de regularidad de que el móvil tiene una velocidad constante:

• 95/2 = 47'5 son los kilómetros recorridos en 1 HORA.
• 2/95 = 0'0211 indica las horas que tarda el móvil en recorrer 1 KILÓMETRO.

· Como porcentaje (c %). Aparece cuando se mide una cantidad de una magnitud con 100 unidades de la misma magnitud. Así, por ejemplo, si decimos que pagamos el 60% del precio original de un artículo, esto indica que has pagado -60 - 3 5 euros por cada 1 euro del precio original del artículo. · Como escala (a : b). Aparece asociada a la semejanza geométrica, cuando se mide una cantidad de una magnitud con otra unidad de la misma magnitud. Por ejemplo, por cada a unidades de longitud en el plano hay b unidades de longitud en la realidad.

Situaciones problemáticas de proporcionalidad directa

La proporcionalidad directa modeliza muchas situaciones de la vida real. Esto es así porque imponemos determinadas condiciones de regularidad entre las magnitudes implicadas que permiten definir una razón entre ellas. Para que las magnitudes implicadas sean directamente proporcionales es necesario que la razón que se establece entre ellas sea constante. Dentro de las situaciones problemáticas de proporcionalidad, distinguiremos dos tipos:

• Problemas de comparación. En estos problemas, se presenta información sobre dos situaciones distintas que dentro de un mismo contexto habitualmente dando como datos cuatro cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales y se pregunta sobre cuál de las dos situaciones es más favorable o desfavorable. Por tanto, la solución a estos problemas no es numérica sino que hay que definir 5