Calcolo Integrale: Riemann, integrazione indefinita e teoremi fondamentali

CALCOLO INTEGRALE

ANTONIO IANNIZZOTTO

SOMMARIO. Integrale di Riemann: definizione, proprietà e significato geometrico, teorema della media. Primitive di una funzione. Tecniche di integrazione indefinita: per decomposizione, per parti, per sostituzione, per frazioni semplici. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo dell'area di un dominio piano. Integrali generalizzati: criteri di convergenza. Queste note sono un mero supporto didattico, senza alcuna pretesa di completezza, originalità o precisione.

INDICE

1. L'integrale di Riemann 1
2. Integrazione indefinita 11
3. Il teorema fondamentale 22
4. Integrali generalizzati 28

Riferimenti bibliografici 36

Versione del 6 gennaio 2024

Un viaggio di mille miglia comincia con un passo. LAO TZE

L'INTEGRALE DI RIEMANN

Il calcolo integrale è un metodo di risoluzione per diversi problemi, la cui idea fondamentale è quella di 'sommare' un certo numero di contributi parziali, e poi passare al limite quando il numero di contributi tende a o e il singolo contributo tende a 0. Quest'ultima caratteristica differenzia il calcolo integrale da quello delle serie, in cui si sommano contributi sempre più piccoli (i termini della serie), che però una volta sommati non vengono alterati (ved. [5]).

Qui esponiamo la teoria dell'integrazione secondo Riemann (che non è l'unica), con particolare attenzione ai suoi aspetti geometrici: questi sono legati al calcolo dell'area di figure piane con contorno curvilineo, quindi premettiamo alcune nozioni di teoria della misura (secondo Peano-Jordan) al fine di rendere rigorosa l'idea di 'area'.1

Costruiamo una famiglia M di sottoinsiemi di IR2 e una funzione | . | : M > [0, +]. Se A E M diremo che A è misurabile e |A| è la misura (o area) di A:

• (a) Poniamo Ø E M, [0] = 0.
• (b) Sia R = [a, b] x [c, d] (a, b, c,d E R, a ≤b, c

-Esporremo la teoria della misura per R2, ponendo A2 = A x A, ma il caso di R" si tratta analogamente. 12

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FIGURA 1. Due rappresentazio- ni equivalenti di un pluri- rettangolo.

FIGURA 2. Approssimazioni in- terna ed esterna.

• (c) Sia P C R2 un pluri-rettangolo, ovvero esistono R1, ... Rn C R2 rettangoli t.c. |RinRj| = 0 per ogni i + j e P = Ri, i=1 n allora PE Me n |P] = >|Ril i=1 (osserviamo che la rappresentazione di P mediante rettangoli disgiunti non è unica, ma il valore di | P| sì, come mostra la fig. 1).
• (d) Sia ora A C R2 un insieme limitato. Introduciamo gli insiemi o = {|P| : P pluri-rettangolo, PC A}, E = {|Q| : Q pluri-rettangolo, A CQ} (fig. 2). Chiaramente per ogni coppia di pluri-rettangoli P, Q C R2 t.c. P C A C Q abbiamo |P| ≤ |Q|, da cui sup o < inf E. Diciamo allora che A E M se sup σ = inf Σ=μ e in tal caso poniamo | A| = p (osserviamo che se A E M e int(A) = Ø allora | A| = 0).
• (e) Infine, se A C R2 è illimitato, poniamo per ogni n € No An = An[-n, n]2. Se An E M per ogni n E No poniamo A E M e |A| = sup | An| € [0, +00]. nENO

Esempi di Misurabilità

Vediamo alcuni semplici esempi (rimandiamo le dimostrazioni alle sezioni seguenti):

Esempio 1.1. Il cerchio A={(x,y) € R2 : x2 +y2 < 1} è misurabile con |A| = T.

Esempio 1.2. L'insieme A = {(x, y) € R2 : x≥1, 0

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Esempio 1.3. L'insieme A= {(x,y) € R2 : y=x+1} è misurabile con | A| = 0.

Esempio 1.4. L'insieme di Dirichlet A= {(x,y) € Q2: 0 = 1.

Proprietà della Misura

Vediamo alcune proprietà della misura (per le dimostrazioni ved. [7]):

Lemma 1.5. Siano A, B E M. Allora AUB, AnB, A\ BEM. Inoltre:

• (i) |A| ≥0;
• (ii) |AUB|=|A|+ |B| - |AnB];
• (iii) |AUB|<|A| + |B|;
• (iv) se |AnB|=0, |AUB|=|A|+|B|;
• (v) se AC B, |A| < |B|;
• (vi) se AC B, B \ A = |B| - | A|.

Definizione dell'Integrale di Riemann

Definiamo adesso l'integrale di Riemann. Siano a, b E R t.c. a < b, e f : [a, b] -> R una funzione limitata. Una decomposizione di [a, b] è data da un insieme finito di punti D = {x0, x1, .. . Cn}, a = x0 < x1 < . < Cn = b. Per ogni i E {1, ... n} la restrizione di f a [xi-1, xi[ è limitata, siano quindi mi = inf f, Mi = sup f. [xi-1,x;[ [xi-1,xi[ n Definiamo la somma integrale inferiore e quella superiore indotte dalla decomposizione D: n SD A mi(xi - Xi-1), SD => Mi(xi - Xi-1). i=1 i=1 Denotiamo inoltre o = {SD : D decomposizione di [a, b] }, E = {SD : D decomposizione di [a, b]}. Gli insiemi o, E sono separati in R (ved. [2]):

Lemma 1.6. Siano D', D" decomposizioni di [a, b]. Allora SD' ≤ SD".

Dimostrazione. Se D' = D" la tesi è ovvia. Se D' C D", allora si ha per le proprietà degli estremi superiore e inferiore SD' SSD" & SD" SSD', in particolare la tesi. Se infine D' e D" sono decomposizioni arbitrarie, introduciamo la decomposi- zione D = D' U D" t.c. D', D" C D, e per il caso precedente SD' SSD SSD

Dal Lemma 1.6 discende la seguente diseguaglianza: sup o < inf 2, che in generale non si inverte. La funzione f è integrabile se la diseguaglianza si inverte:4

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Definizione 1.7. La funzione limitata f : [a, b] -> R è integrabile (secondo Riemann) se sup o = inf > = p, e in tal caso il suo integrale è f(x) dx = p. a

Criteri di Integrabilità

La Definizione 1.7 non è di facile impiego. Pertanto vediamo ora alcune condizioni necessarie o sufficienti per l'integrabilità di una funzione:

Teorema 1.8. (Criterio di integrabilità di Riemann) Sia f : [a, b] -> R limitata. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• (i) f è integrabile;
• (ii) per ogni e > 0 esiste una decomposizione D di [a, b] t.c. SD - SD

Dimostrazione. Proviamo che (¿) implica (ii). Fissato ¿ > 0, esistono due decomposizioni D', D" di [a, b] t.c. SD" - SD' < E. Posto D = D' U D", come nel Lemma 1.6 si ha SD - SD ≤ SD" -SD'

Mediante il Teorema 1.8 dimostriamo l'integrabilità di alcune importanti classi di funzioni:

Teorema 1.9. Sia f : [a, b] -> R continua. Allora f è integrabile.

Dimostrazione. Per il Teorema di Weierstraß f è limitata, e per il Teorema di Cantor-Heine f è uniformemente continua (ved. [3]). Fissato ε > 0, esiste 8 > 0 t.c. per ogni x', x" € [a, b], |x' - x"] < 8 si ha If(x) - f(x"). Sia D = {x0, ... In} una decomposizione di [a, b] t.c. xi - xi-1 < 8 per ogni i E {1, ... n}, allora per ogni i € {1, ... n} abbiamo Mi - mi < b-a ε Dunque SD - SD = n (Mi - mi) (xi - Xi-1) i=1 ε b - a i=1 n < (xi -Xi-1) = 8. Per il Teorema 1.8, f è integrabile.

Esempio 1.10. Consideriamo la funzione f : [0,1] -> R definita da f(x) =x. Per il Teorema 1.9 f è integrabile. Per ogni n € No la decomposizione D={0, -.~ 1,1}5

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fornisce (per una formula vista in [2]) n i-1 n (i .n n = 1 n.2 >(2-1) = n -1 2n , i=1 e similmente SD = n+1 2n Passando al limite per n > co otteniamo 1 1 2 . Il Teorema 1.9 si estende al caso in cui la funzione integranda ha un insieme finito di punti di discontinuità2:

Corollario 1.11. Siano f : [a, b] -> R limitata, c1, ... Cm € [a, b] (m € No) t.c. f è continua in [a, b] \ {c1, ... Cm}. Allora f è integrabile in [a, b].

Dimostrazione. Per semplicità supponiamo che f abbia un solo punto di discontinuità c E]a, b[ (gli altri casi si trattano in modo simile). Poiché f è limitata, poniamo M = sup f - inf f>0. [a,b] [a,b] Fissato & > 0, sia 8 > 0 t.c. 8 < 1., c± 8 E]a, b[. 6M' La restrizione di f a [a, c - 8] è continua, quindi integrabile (Teorema 1.9). Per il Teorema 1.8 esiste una decomposizione D- di [a, c - 8] t.c. SD -- SD- < ε . Similmente determiniamo una decomposizione D+ di [c + 8, b] t.c. SD+ - SD+ < 3 3 . Sia D = D- U D+, allora SD-SD= Sp-+ sup f+Sp+ - sp- + inf f +sp+ [c-8,c+8[ [c-8,c+8[ ≤ (SD -- SD-)+2M8+(SD+-Sp+) < 3 + 3 + 3 =€. Per il Teorema 1.8, f è integrabile.

Esempio 1.12. Sia f : [0,2] -> R definita da f(x) = { 1 3 se x € [0,1] se x €]1, 2]. La decomposizione D = {0,1,2} dà SD = SD = 4, 2In effetti, anche alcune funzioni con infiniti punti di discontinuità sono integrabili, ved. [7]. i-1 i=1 − n .

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quindi f è integrabile e 1º f(2)dz= 4. Esempio 1.13. La funzione f : [-1,1] -> R definita da f(x) = [arctan 0 1 x se x+ 0 se x = 0 è limitata e ha un'unica discontinuità in 0, dunque è integrabile.

Integrabilità per Monotonia

Un'altra condizione sufficiente per l'integrabilità di una funzione è la monotonia:

Teorema 1.14. Sia f : [a, b] -> R monotona. Allora f è integrabile.

Dimostrazione. Supponiamo f non-decrescente e non costante. Si ha per ogni x € [a, b] f(a) ≤f(x) ≤f(b), quindi f è limitata. Fissato & > 0, sia D = {x0, ... In} una decomposizione di [a, b] t.c. per ogni i E {1, ... n} si abbia Xi - Xi-1< < f(b) - f(a)' ε Allora, per la monotonia di f, SD-SD ≤ ε f(b) - f(a) >(f(xi)- f(xi-1)) = 8. i=1 n Per il Teorema 1.8, f è integrabile.

Esempio 1.15. Poniamo per ogni x € [0, 1] f(x) = sup {q E Qn [0, 1] : q { x}. Per il Teorema 1.14, f è integrabile (in effetti f coincide con la funzione dell'Esempio 1.10).

Significato Geometrico dell'Integrale

Come anticipato, per le funzioni positive l'integrale ha un importante significato geometrico:

Lemma 1.16. Siano f : [a, b] -> R limitata, integrabile, t.c. f(x) ≥ 0 per ogni x € [a, b] e Rf = {(x,y) € R2 : x € [a, b], 0 0 esiste una decomposizione D = {x0, ... In} di [a, b] t.c. SD - SD <8. Definiamo due pluri-rettangoli n PD = U[xi-1, xi] x [0, mi], QD = [xi-1, xi] x [0, Mi]. i=1 n i=1 Chiaramente PD, QD E M, PD _ Rf C QD (a meno di segmenti) e per il Lemma 1.5 abbiamo |PD| = SD, QD| = SD. Dunque QD|- |PD|

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f(x) M. m. a b T FIGURA 3. Approssimazione di Rf mediante pluri-rettangoli.

Facendo tendere § a 0, ricaviamo |R $ = f(x) dx, a .b il che conclude la dimostrazione.

Se f non è positiva, il Lemma 1.16 ovviamente non vale. Tuttavia, l'integrale di f mantiene il significato geometrico di 'area' del rettangoloide Rf, purché si attribuisca area negativa alle parti di Rf che si trovano sotto l'asse ₹ (ved. Sezione 3).

Interpretazioni dell'Integrale di Riemann

Osservazione 1.17. L'integrale di Riemann non ha solo un significato geometrico, ma anche un importante significato fisico. Per esempio, consideriamo un viaggiatore che si sposta in linea retta in un intervallo temporale [0, T], con una velocità variabile data dalla funzione v : [0,T] -> R. Per calcolare lo spostamento complessivo, possiamo dividere [0, T] in n intervalli temporali mediante i nodi 0 = to < t1 <... < tn = T. Per ogni i E {1,. n} scegliamo ti € [ti-1, ti] e approssimiamo lo spostamento compiuto nell'intervallo [ti-1, ti] con v(ti)(ti -ti-1). Dunque lo spostamento totale viene approssimato con S = >v(ti)(ti-ti-1). i=1 n Facendo tendere n > co, se la funzione v è integrabile, si ha Sv(t) dt. Similmente si calcolano il lavoro di una forza variabile e altre grandezze fisiche (ved. [7]).

Osservazione 1.18. Un'altra interpretazione dell'integrale di Riemann è quella probabilistica. Sia x una variabile aleatoria compresa in un intervallo [a, b], con una densità di probabilità p : [a, b] -> [0, 1], allora per ogni x1, x2 € [a, b], x1 < x2, la probabilità dell'evento 'x1 < x < x2' è P(x]