Stima dell'accelerazione di gravità con un pendolo semplice, Università di Padova

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Stima dell'accelerazione di gravità con un pendolo semplice

Esperienza di laboratorio del corso di Fisica 1 Per i corsi di Laurea in IngegneriaTAS . ST O QUERSITS O UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Descrizione della misura

0 < 10° θ L m Per un pendolo semplice, sappiamo che il moto descritto dalla massa m è di tipo armonico e che, per piccoli angoli 0 di inclinazione rispetto alla verticale, il periodo T dipende dalla lunghezza L del pendolo e dall'accelerazione di gravità g secondo la relazione:

T = 2T L g V Esplicitando g si ricava:

g = 4Tt2 L T2

Il nostro obiettivo sarà quindi costruire una versione credibile di pendolo semplice, misurarne lunghezza L e periodo di oscillazione T in modo da poter poi calcolare un valore di g. Vedremo che per ottimizzare il risultato ci serviranno le misure del periodo T per diversi valori di L.

Stima di g con un pendolo semplice 2TAS . ST . O nQUERSITS MOOOI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Costruzione del pendolo

Abbiamo bisogno di: · un sostegno fisso privo di attrito · un filo ideale (nel nostro caso un filo inestensibile di massa trascurabile rispetto al pesetto)

Asta metallica · un punto materiale (nel nostro caso un oggetto di forma simmetrica)

Ricordiamo che la lunghezza del pendolo costruito è data dalla distanza tra il punto di sospensione del filo e il baricentro del pesetto.

Misurare la lunghezza del pendolo ponendo come incertezza della misura la sensibilità dello strumento.

Pesetto Stima di g con un pendolo semplice 3TAS . ST . O VERSITS MOOOI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Misura del periodo (I)

Il periodo T di oscillazione del pendolo deve essere misurato con un cronometro, quello che trovate in laboratorio oppure quello del vostro smartphone. I cronometri che avete a disposizione hanno una sensibilità di un centesimo di secondo ma siamo più che sicuri che i vostri riflessi non saranno altrettanto pronti .... non vi resta che fare misure ripetute per valutare l'incertezza (nostri riflessi + errore casuale). Il modo migliore di procedere è misurare 10 volte 15 oscillazioni complete (15T) del pendolo; in questo modo avrete la possibilità di stimare lo scarto quadratico medio su 15T e quindi sarà possibile ottenere una misura del periodo T di oscillazione con elevata accuratezza.

015T 015T = N - 1 dove x¡ è la durata di 15 oscillazioni (indicato con 15T) e N = 10

OT = - 15

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Indicazioni per la misura

• Assicurarsi di restare sempre nel regime di piccole oscillazioni
• Assicurarsi che il pendolo oscilli in un piano, e che questo piano non cambi visibilmente orientazione durante la misura delle 15 oscillazioni
• Assicurarsi che il punto di sospensione sia stabile
• Stimare con cura la lunghezza L del pendolo
• Prestare attenzione alle unità di misura utilizzate di volta in volta
• Non costruire pendoli di lunghezza inferiore a 1.2 m

N.B. I gruppi che hanno pendoli "a muro" di lunghezza variabile e maggiore di quelli appesi alle aste realizzino configurazioni con 3 valori di L e ripetano 5 misure di 15 periodi per ogni valore di L.

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Raccolta e analisi dati

Ogni gruppo ripeta 10 volte la misura di 15 periodi e si crei un foglio di calcolo per calcolare i seguenti valori:

• Il valore medio delle misure, indicato come 15T

Misura 15T (s) T (s) 1 2 ... . . . 10

• Lo scarto quadratico medio delle misure effettuate

015T = Ei=1(Xi -x)2 N -1

• Il periodo medio e il suo scarto

15 15T T = , OT = 015T 15

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Calcolo di g

A partire dalle grandezze misurate e i relativi scarti, procedere al calcolo di g, ricordando che:

L g = 4TT 2 T2

E dalla propagazione degli scarti relativi su L e T, si ricava lo scarto su g per mezzo dell'equazione:

08- (2)+4 OT T 2 20

N.B. I gruppi che hanno pendoli "a muro" produrranno 3 stime di q (una per ciascuna lunghezza del pendolo) e relativo scarto.

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Combinazione dei dati

Ogni gruppo riporti nel foglio condiviso disponibile al link https://unipdit- my.sharepoint.com/:f:/g/personal/elisa bernardini unipd it/ErJJcQMfKOpEvrEp 34mhHMB8ktOtmld hu4XcXyRbdWgMw il valore medio del periodo T · l'incertezza sul valore medio di T · la lunghezza L del pendolo realizzato (misurate tre volte e calcolate la media) · l'incertezza sul valore di L calcolata come Lmax-Lmin 2 · il valore di g ottenuto · l'incertezza sul valore di g · Inserire i valori con il numero corretto di cifre significative !!

A E C D E F G H 1 1 Periodo medio <T> [s] Incertezza su <T> o_T [s] Lunghezza del pendolo Incertezza su L Valore medio di g Incertezza su <g> 2 L [m] o_L [m] <g> [m/s^2] ơ_g [m/s^2] 3 4 Gruppo 1 2,50 0,03 1,61 0,01 10,00 0,05 5 Gruppo 2 2,50 0,02 1,540 0,001 9,71 0,08 6 Gruppo 3 2,5 0,1 1,580 0,002 9,9 0,1 7 ... 8 9 Gruppo 10 L1 10 Gruppo 10 L2 11 Gruppo 10 L3 12

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Stima di g con il metodo dei minimi quadrati

• Gli assistenti in aula raccoglieranno i dati da voi inseriti e vi mostreranno come calcolare g utilizzando il metodo dei minimi quadrati.
• Osserviamo che realizzando il grafico della funzione T2 = MIT L possiamo riportare questa relazione alla retta y = a + bx ( dove y = T2 , x = L, a = 0, b = 4Tỉ ).
• I valori di a e b possono essere calcolati utilizzando le seguenti formule.

n n n n n n a= n n η ΣΧ-(Σχ;) i=1 i=1 n ,2 i=1 i=1 i=1 n η Σ ;- (Σ x,)2 n 2- 2 O y n .2 a 2 i=1 y n η ΣΧ ;- (Ex;) i=1 i=1 n η Σx ;- (Ex;) i=1 i=1

Nel nostro caso oy è il valore medio dell'incertezza sul quadrato del periodo.

Stima di g con un pendolo semplice 9 472 ΣκΣy-ExExyi i=1 i=1 i=1 i=1 n b =- M i=1 x i=1 nST PA D MCCXXII n UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA