Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden y Sistemas de Primer Orden

CONTENIDOS DEL TEMA

1
Introducción
2
Existencia y unicidad de la solución
3
EDOs homogéneas de segundo orden

• Resolución por reducción de orden

4
EDOs no homogéneas de segundo orden

• Método de variación de constantes

5
EDOs lineales de coeficientes constantes

. EDOs lineales de coeficientes constantes homogéneas
. EDOs lineales de coeficientes constantes no homogéneas
6
Sistemas de ecuaciones de primer orden
Cálculo II
EDOs de segundo orden
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Introducción

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

EDOS LINEALES DE ORDEN n

Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma:
yn) + a1(x)yn-1) + ... + an-1(x)y' + an (x)y = b(x)

EDOS LINEALES DE ORDEN n HOMOGÉNEA

Una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea es aquella en la cual
b(x) =0:
yn) + a1(x)yn-1) + ... + an-1(x)y' + an (x)y = 0
Si b(x) = 0, la ecuación lineal se llama no homogénea o completa.

EDOS LINEALES DE ORDEN n DE COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial lineal de orden n de coeficientes constantes es
una ecuación de la forma:
n-1)
yn) + a1yn-1) + ... + an-1y' + any = b(x) ai ER
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Introducción a Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Su forma canónica es:
y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)

PROBLEMA DE VALORES INICIALES

Es el formado por la ecuación diferencial junto con los valores que debe de tomar la
solución y su derivada en un mismo punto x = x0:
y(x0) = y0
y'(x0) = y1

PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA

Es el formado por la ecuación diferencial junto con los valores fijados para la
solución en dos puntos distintos x = x0 y x = x1:
y(x0) = y0
y(x1)= y1

PROBLEMA MIXTO

Es el formado por la ecuación diferencial junto con los valores fijados de la solución
y su derivada en dos puntos distintos x = x0 y x = x1:
@1y(x0) + @2y'(x0) = 0
B1y(x1) + B2y'(x1) = 0 ai, 3¡ ER
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Introducción a Soluciones de EDO de Segundo Orden

SOLUCIONES DE UNA EDO DE SEGUNDO ORDEN

• Solución general: Una familia biparamétrica de funciones
  y(x) = +(x, C1, C2) es solución general de la ecuación diferencial de
  segundo orden si cada función de la familia satisface la ecuación y si dados
  unos valores y0 e y1, existen C1 y C2 tales que la correspondiente función
  cumpla que y (x) = yo y que y' (x0) = y1.
• Solución particular: Es cada una de las funciones que se obtiene de la
  solución general al dar valores a los parámetros.
• Solución singular: Es una solución que no puede extraerse de la solución
  general.
  Conocida la solución general, puede obtenerse la ecuación diferencial de la familia
  por derivación y eliminación de parámetros.

TEOREMA

Si se denota por yp cualquier solución particular de la ecuación completa y por yh la
solución general de la homogénea asociada, entonces la solución general de la
completa es:
y = yp + yh
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Introducción a Soluciones de EDO de Segundo Orden: Ejemplo

SOLUCIONES DE UNA EDO DE SEGUNDO ORDEN

Ejemplo: La familia de curvas
y(x) = C1e" + C2e-ª es solución de
la EDO y" - y = 0 no solo porque cada
curva es solución, sino también porque
existen C1 y C2 para cada par de condi-
ciones
y(0) = yo, y'(0) = y1.
mismo y(0) = yo; distinto y'(0) = y1
mismo y' (0) = y1, distinto y (0) = yo
única solución con y(0) = yo y y'(0) = y1
en rojo la unica que cumple y(0)=2 y dy/dx(0)=2
6
4
2
0
-2
-4
-6
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
En y" - y = 0 las funciones p(x) = 0, q(x) = - 1, r(x) = 0 son continuas
Væ E R, luego el problema de valor inicial tiene solución única para cualesquiera
y(0) = yo y yo = y1.
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Existencia y Unicidad de la Solución

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Si p(x), q(x) y r(x) son funciones continuas en un intervalo (a, b), si x0
es un punto cualquiera de (a, b) y si y0 e y1 son números cualesquiera,
entonces la ecuación y" + p(x)y' + q(x)y = r(x) tiene solución única,
y(x), en este intervalo, cumpliendo y(x0) = yo, y'(x0) = y1.
y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)
y(x0) = y0
y'(x0) = y1
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EDOs Homogéneas de Segundo Orden

EDOS HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN

Cualquier combinación lineal de dos soluciones de la ecuación
homogénea, es también solución. Si y1(x) e y2 (x) son soluciones de
y" + p(x)y' + q(x)y =0
entonces la función
y(x) = C191(x) + C292(x)
también lo es (siempre que y1(x) e y2 (x) no sean proporcionales, es decir
siempre que sean linealmente independientes).

FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

El conjunto de funciones {y1(x), y2(x), ... , yn (x) } son linealmente
independientes en el intervalo (a, b), si la ecuación
X191(x) +1292(x)+ ... + Anyn (x) =0
admite como única solución X1 = 12 = ... = An = 0 en (a, b).
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EDOs Homogéneas de Segundo Orden: Sistema Fundamental

EDOS HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN

SISTEMA FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

La pareja de soluciones {y1(x), y2(x) } forman un sistema fundamental de
soluciones de la ecuación y" + p(x)y' + q(x)y = 0 en (a, b) si son
linealmente independientes en (a, b).
En el caso de dos funciones, {y1(x), y2(x) } serán linealmente
dependientes si existe una constante k yal que y1(x) = ky2(x) y
linealmente independientes si el cociente y1(x)/y2(x) es una función no
constante de x.
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EDOs Homogéneas de Segundo Orden: Wronskiano

WRONSKIANO DE UN CONJUNTO DE FUNCIONES

Se llama Wronskiano del conjunto de
funciones {y1(x), y2(x), ... , yn (x)}
W(y1,92, ... yn) =
y1
y'1
...
y2
y2
...
...
...
...
...
n-1)
yn-1)
...
n-1)
yn
al determinante funcional:

PROPIEDAD DEL WRONSKIANO DE SOLUCIONES

Sean y1 (x) e y2 (x) dos soluciones de la ecuación homogénea
y" + p(x)y' + q(x)y = 0 en el intervalo (a, b), siendo p(x) y q(x) continuas en
(a, b). Estas soluciones son linealmente dependientes si y solo si el wronskiano es
idénticamente nulo en (a, b) y son linealmente independientes si y solo si
W(y1,2) # 0 para todo x en (a, b).

SOLUCIÓN GENERAL DE LA EDO LINEAL HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN

Sean y1 (x) e y2 (x) dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
homogénea y" + p(x)y' + q(x)y = 0 en el intervalo (a, b), siendo p(x) y q(x)
funciones continuas en un intervalo (a, b), entonces la solución general de la EDO
en (a, b) es: y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
Estos teoremas son generalizables al caso de una ecuación lineal homogénea de orden n=>
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yn

EDOs Homogéneas de Segundo Orden: Resolución por Reducción de Orden

RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DE ORDEN

Suponiendo que p(x) y q(x) son continuas, si y1 es una solución de una EDO
lineal homogénea de orden 2, entonces la sustitución y2 (x) = v(x)y1 (x) la reduce
a una de primer orden.

RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DE ORDEN

1
Se escribe y2 (x) = v(x)y1(x), siendo el objetivo encontrar v(x).
2
Se deriva dos veces y2 (x) = v(x)y1(x) y se impone que se verifique la
ecuación homogénea.
3
Se agrupan los términos en v" (x) (sólo hay uno), en v'(x) y en v(x).
4
El término en v(x) debe anularse por ser y1 (x) solución, luego resulta una
ecuación de primer orden en v' (x), de la cual se obtiene esta función.
5
Se integra v' (x) para encontrar v(x) y con ella la solución y2 (x) requerida.
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EDOs No Homogéneas de Segundo Orden

EDOS LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN

Son de la forma:
y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Si y1 (x) es solución de
y"(x) +p(x)y'(x)+q(x)y(x) =r1(x)
e y2 (x) es solución de
y"(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) =r2(x)
entonces @191(x) + @292(x) es solución de
y"(x) + p(x)y'(x) +q(x)y(x) =@171(x) + @2r2(x)
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EDOs No Homogéneas de Segundo Orden: Método de Variación de Constantes

MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES

Permite encontrar una solución particular para una ecuación lineal no homogénea, siempre
que se conozca el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.
1
Se sustituyen las constantes de la familia solución general de la homogénea
C191(x) + C2y2(x) por funciones, para hallar una solución particular de la
forma: yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)
2
Puesto que deben hallarse dos incógnitas, necesitaremos una condición
añadida, que además permita simplificar los cálculos:
1
2
(x)y2(x)
3
Se deriva dos veces yp (x) y se impone que verifique la ecuación
y" + p(x)y' + q(x)y = r(x), obteniéndose la ecuación:
C1(x)y(x) +C2(x)y2(x) =r(x)
4
Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores en
C1(x), C2(x). Este sistema tiene siempre solución única puesto que las
soluciones y1 e y2 no son proporcionales y las condiciones son
independientes.
5
Integrar C1 (x), C2 (x) para obtener yp (x).
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EDOs Lineales de Coeficientes Constantes

EDOS LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES

Son de la forma: y"(x) + py'(x) + qy(x) =r(x)
Son un caso particular de las de coeficientes variables, pero con método
propio de resolución para obtener y = yh + yp
Las EDOs lineales de coeficientes constantes homogéneas de segundo
orden tienen la forma: y"(x) + py'(x) + qy(x) =0

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

Se llama ecuación característica de la ecuación
y"(x) + py' (x) + qy(x) = 0 a la ecuación algebraica asociada:
r2 + pr + q = 0
Se demuestra suponiendo que todas las soluciones de esta EDO son de tipo
exponencial de la forma: y(x) = erx
Al derivar: y' (x) = rer= > y" = r2era
Sustituyendo en la EDO: r2erx + prera + qera = 0 -> era(r2 + pr + q) = 0
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EDOs Lineales de Coeficientes Constantes Homogéneas

EDOS LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEAS

Con las raíces de la ecuación característica podemos formar la solución general de
la EDO homogénea de coeficientes constantes.

• Caso 1: La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas r1, r2,
  entonces el sistema fundamental de soluciones es y1 (x) = e"1", y2 = e"2",
  y la solución
  yh (x) = C1er1ª + C2e722
• Caso 2: La ecuación característica tiene una raíz real doble r, entonces el
  sistema fundamental de soluciones es y1 (x) = er", y2 = xerx (por
  reducción de orden), y la solución
  yh (x) = ert (C1 + C2x)
• Caso 3: La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas
  r1 = a + bi, r2 = a - bi, entonces el sistema fundamental de soluciones es
  y1 (x) = eax cos (bx), y2 = ear sen (bx), y la solución
  yh (x) = eat (Cicos (bx) + C2sen (bx))
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