La fracción como resultado de la medida de una cantidad de magnitud

Introducción al número racional

El número racional es un concepto matemático que se ha construido a lo largo de varios miles de años. Actualmente, es un objeto abstracto consistente en pares de números enteros que cumplen determinadas propiedades pero, en su origen y durante muchos siglos, su definición estuvo ligada a contextos concretos de medida, de reparto y de proporcionalidad. En estos contextos surgieron, inicialmente, los conceptos de "fracción" y "razón" a partir de los cuales se sintetizó, posteriormente, el concepto de número racional positivo y, más tarde, el de número racional.

En este curso analizaremos las propiedades de los números racionales positivos en función del estudio de las necesidades sociales que resuelven estos números, es decir, de los significados o campos de problemas que hacen emerger al número racional positivo.

Nos vamos a centrar en el estudio de los números racionales positivos con el objetivo de que los maestros en formación incrementen su comprensión de este conjunto numérico. Este objetivo general se concreta en los siguientes objetivos parciales:

1. Reconocer los diferentes significados del número racional y analizar la contribución de estos significados a la justificación de las relaciones y operaciones de números racionales.

Una construcción del número racional positivo cognitivamente efectiva exige de un proceso lento de dominio e integración de los significados de este concepto, es decir, de las diversas interpretaciones o usos del número racional, y de las necesidades sociales que han resuelto estos números a lo largo de la historia de la humanidad.

Las ideas iniciales de número racional positivo han aparecido a partir de las acciones de medir, repartir y comparar cantidades bajo determinadas condiciones de proporcionalidad, que se corresponden con los significados de medida, cociente partitivo y razón.

En este tema 2 estudiamos la fracción con el significado de medida; en los temas 3 y 4 estudiaremos la fracción y el número decimal con el significado de cociente partitivo, respectivamente; y en el tema 5, el número racional con el significado de razón.

1. Justificar los sistemas de representación del número racional que emergen asociados a cada significado y estudiar la relación entre ellos, prestando atención especial a la conexión entre la notación fraccionaria y decimal.

Un mismo sistema simbólico de representación admite diferentes significados del objeto representado. Así, con la notación fraccionaria habitual, a/b, se puede simbolizar el resultado de una medida, o el cociente de dos números enteros, o una idea de razón o proporcionalidad. Pero también, la notación fraccionaria o la decimal pueden expresar de diferente modo un mismo significado; por ejemplo, 3/4 Kgr o 0'75 Kgr.

1. Reflexionar sobre el modo en que se construye el conocimiento matemático y dotar al maestro en formación de modelos de aprendizaje coherentes con la génesis histórica del número racional positivo para diseñar propuestas de enseñanza para la etapa de Educación Primaria.

1Además de los objetivos formativos proponemos alcanzar un objetivo de tipo profesional: que los estudiantes para maestro perciban el papel que juega el modelo de aprendizaje como medio de formación de conceptos y como recurso para contrastar la veracidad o falsedad de las propiedades numéricas y relaciones simbólicas con números racionales. Las reflexiones que realicen los maestros en formación a partir del trabajo efectuado con los modelos de aprendizaje ayudarán a incrementar su formación como profesores.

Metodología de trabajo

En las sesiones de clase los maestros en formación resuelven tareas que, posteriormente, en la misma sesión o en la siguiente, se evalúan conjuntamente en el aula y se institucionalizan los conocimientos que han apareciendo en el aula.

En este tema vamos a presentar un modelo de aprendizaje para que al interactuar con este entorno aparezca la fracción como resultado de la medida de una cantidad de magnitud continua. Con este significado de la fracción, los estudiantes van a estudiar las relaciones entre fracciones (equivalencia y orden), conjeturar y justificar los algoritmos de obtención de fracciones equivalentes a una dada y los algoritmos de comparación de fracciones; dar significado a las operaciones con fracciones, y conjeturar y justificar los algoritmos de cálculo de estas operaciones.

Esta metodología de trabajo pretende que los estudiantes para maestro reflexionen sobre su propio proceso de aprendizaje, porque tienen que generar conocimientos de las relaciones y operaciones con fracciones a partir de un nuevo significado de la fracción que desconocían hasta ahora. Se trata de que evalúen si el recurso didáctico que se les ofrece, el modelo de aprendizaje, es adecuado para generar el conocimiento de la fracción. Desde este punto de vista, se les sumerge en un proceso de aprendizaje análogo al que realizan los alumnos de Educación Primaria. Salvando las diferencias de edad y de formación, el paralelismo entre el proceso de aprendizaje al que se enfrentan los maestros en formación y el que realizan los alumnos de Educación Primaria cuando reciben enseñanza de la fracción permitirá introducir reflexiones didácticas. Desde la reflexión sobre los conocimientos adquiridos, esperamos que los maestros en formación estén en disposición de aplicar los resultados observados al aprendizaje de los escolares, de reflexionar sobre la planificación de la instrucción en matemáticas, y de analizar los aspectos de la enseñanza relacionados con la interacción individual y en grupo.

Utilización de modelos de aprendizaje

El constructivismo es un paradigma de aprendizaje que postula la necesidad de que el alumno de Educación Primaria construya ideas matemáticas a partir de la resolución de situaciones problemáticas. Asumiendo este paradigma, proponemos articular la enseñanza del número racional a partir de modelos de aprendizaje. Desde esta perspectiva, utilizamos el término modelo de aprendizaje para designar un entorno físico sobre el que el alumno pueda actuar y reflexionar para que, mediante esta interacción, asociada a experiencias con objetos tangibles, avance en la construcción del conocimiento cuyo aprendizaje se promueve.

Desde la didáctica de las matemáticas las ideas surgen de la observación de fenómenos físicos (o de la utilización de conocimientos matemáticos). La finalidad del modelo, que dada su intencionalidad didáctica le llamamos de aprendizaje, es la de crear condiciones adecuadas para que surja el conocimiento matemático, y su función es la favorecer el razonamiento abstracto a partir de percepciones sensoriales. En este caso, lo que se ofrece al alumno son situaciones problemáticas enmarcadas en un modelo para que éste interactuando con el modelo construya el concepto matemático:

2ANÁLISIS FENOMENOLÓGICO MODELO DE APRENDIZAJE PROPUESTA DE ENSEÑANZA CONCEPTO MATEMÁTICO

Una de las tareas del docente consiste en construir modelos de aprendizaje adecuados para la enseñanza de los conceptos matemáticos. Desde la posición del profesor el modelo constituye una herramienta que se proporciona al alumno con una clara intencionalidad educativa: dotarle de un material concreto y un entorno físico sobre los que pueda actuar y reflexionar para que avance en la construcción del conocimiento. Ahora bien, para elaborar modelos de aprendizaje adecuados es necesario realizar un análisis fenomenológico del concepto a enseñar. Por ejemplo, la revisión histórica de la fracción nos dice que el modelo de medida de cantidades de magnitud continuas es un buen modelo de aprendizaje de la fracción.

A lo largo de este curso vamos a estudiar diversos modelos de aprendizaje adecuados para la enseñanza del número racional positivo y analizaremos la bondad de cada modelo cuando se implementa en el proceso de enseñanza.

Desde la posición del escolar, el empleo de modelos tienen gran utilidad en la construcción del conocimiento matemático, porque:

• permiten la aprehensión sensorial de hechos y relaciones matemáticas mediante la manipulación de objetos físicos o la simulación de acciones;
• facilitan la construcción o interpretación de los sistemas de representación que comunican los resultados producidos al actuar sobre los objetos;
• facilitan la comprensión de las relaciones sintácticas y semánticas de los sistemas de representación empleados;
• sirven como apoyo y contraste de la certeza o falsedad de las relaciones simbólicas que se establecen a través de los sistemas de representación;
• facilitan la resolución de situaciones problemáticas cuando éstas se formulan en términos de los objetos del modelo.

Modelos de medida para la enseñanza de la fracción

Definimos los modelos de aprendizaje a partir de cuatro variables que indicamos a continuación:

• Variable 1: unos objetos en los que es perceptible cierta cantidad de una magnitud medible y son susceptibles de ser fraccionados.

La formación de ideas matemáticas, sobre todo en niveles educativos elementales, exige la manipulación física de objetos que, en una fase posterior, pueden ser sustituidos por pensamientos evocados al recordar las acciones físicas.

• Variable 2: una magnitud medible (longitud, superficie, peso, capacidad, cardinalidad)

Las características de la magnitud influyen notablemente en la dificultad de las tareas de fraccionamiento. Las magnitudes continuas como la longitud o superficie facilitan el fraccionamiento en partes iguales frente a otras magnitudes como el peso o la capacidad. La magnitud cardinalidad, por ser discreta, presenta características singulares como la de imposibilitar el fraccionamiento en cualquier número partes iguales. En consecuencia, parece más razonable comenzar la secuencia de enseñanza con objetos que poseen 3cantidades de magnitud continua.

• Variable 3: unas acciones que provocan alteraciones en la cantidad de magnitud apreciable en los objetos.

Las acciones que vamos a considerar guardan una relación estrecha con los fenómenos que organizan el número racional positivo y de los que dan cuenta los significados de la fracción. Así, las acciones que vamos a considerar son medir, repartir de forma igualitaria y comparar. En primer lugar, nos ocupamos de la acción de medir.

• Variable 4: unas técnicas o modos de realizar las acciones.

Una misma acción realizada con técnicas diferentes ocasiona que los resultados se puedan expresar de diferentes formas, es decir, expresarlos con diferentes sistemas de representación.

Construcción de la representación fraccionaria con modelos de medida

La representación fraccionaria surge de la necesidad de comunicar el resultado de una acción de medida de una cantidad de magnitud continua. Los números naturales se muestran insuficientes para expresar el resultado de la medida de cantidades si la unidad de medida no está contenida un número entero de veces en la cantidad a medir y es, en esta situación, cuando la fracción adquiere pleno sentido.

En las primeras sesiones de clase de este tema hemos medido la cantidad de superficie de tres cartulinas de forma rectangular, que hemos denominado "manteles". Hemos admitido como unidad de medida la superficie de un folio de forma cuadrada. Se trata de una unidad arbitraria y de dimensiones adecuadas para facilitar su fraccionamiento en partes iguales.

La acción de medir precisa ser realizada con objetos tangibles. El formato textual de estos apuntes obliga a formular y resolver la tarea de medida en el formato textual y gráfico. En estas condiciones, enunciamos y resolvemos una tarea de medida de una cantidad de superficie:

Tarea de construcción del sistema de representación fraccionario. Sabiendo que la unidad de superficie es:

u Calcular la superficie de la siguiente figura:

Ahora la respuesta a la tarea no es evidente porque nos encontramos ante un problema cuya solución no es inmediata puesto que, ahora, el resolutor debe tomar decisiones y proceder, por ensayo y error, del siguiente modo:

1. Es evidente que la superficie a medir no contiene un número entero de veces la unidad de medida u; por tanto, hay que decidir sobre el tamaño de una nueva unidad de medida que, necesariamente, ha de ser una parte alícuota de la unidad u. Pero, ¿cuál es esa parte o subunidad?, ¿la mitad de u, la tercera parte de u, ..?; no queda otra opción que construir tal subunidad y comprobar que está contenida un número entero de veces en la superficie a 4