Resumen Tema 1 - Módulo VI: Geometría para Bachillerato

Geometría y su relación con el agua

En las televisiones se habla a veces de inundaciones o de la cantidad de agua que cae por metro cuadrado. Por otro lado, si en algún momento has comprado agua embotellada seguramente habrás elegido un tipo de envase u otro en función de su capacidad (volumen que alberga) o de su forma. Si piensas en estos dos hechos notarás que la geometría está ligada a nuestra relación con el agua.

Si piensas en el cuerpo humano comprobarás que parte de estructuras sencillas para formar estructuras más complejas. Algo parecido pasa con la geometría.

Podemos decir que la "célula" de la geometría es el punto y a partir de ella podemos construir estructuras más complejas, como segmentos, líneas poligonales y polígonos.

Figuras planas: Polígonos, Circunferencia y Círculo

Polígonos

Al unir dos puntos utilizando una regla obtenemos un segmento. Al ir encadenando segmentos vamos obteniendo una línea poligonal. Si cerramos la línea poligonal, uniendo el último punto con el primero, hemos encerrado una región del plano llamada polígono.

Un polígono es la superficie interior de una línea poligonal cerrada. Los polígonos que tienen todos sus lados iguales se llaman regulares.

También podemos clasificar los polígonos en función de su número de lados: triángulos, cuadriláteros, pentágonos ...

Los triángulos pueden clasificarse de distintas formas:

• Según sus ángulos: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
• Según sus lados : equiláteros, isósceles y escalenos.

Los cuadriláteros pueden ser: paralelogramos, trapecios y trapezoides, según tengan lados paralelos o no.

Los paralelogramos se dividen en: cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

Circunferencia y círculo

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

El círculo es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

El Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo de 90°, también llamado ángulo recto. Los lados del triángulo rectángulo se llaman catetos e hipotenusa.

Los catetos son los lados que generan el ángulo recto.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y es el lado más largo.

Hipotenusa Cateto Cateto Ejemplo 1

Cateto Cateto Hipotenusa Ejemplo 2

Cateto Cateto Hipotenusa Ejemplo 3

Hipotenusa Cateto Cateto Ejemplo 4

Teorema de Pitágoras

Dado un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

C a b a2+ b2= c2

El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la medida de uno de los lados de un triángulo rectángulo siempre que se conozcan los otros dos.

Ejemplo: Problema del faro y el bote

Problema 1: El faro y el bote

Desde la parte más alta de un faro de 45 m de alto se puede observar un bote a 53 m de distancia. Halla la distancia desde el pie del faro hasta el bote.

B 53 m 45 m C A

Solución Al representar gráficamente la situación nos damos cuenta que la distancia requerida corresponde a uno de los catetos del triángulo rectángulo que se forma con el pie del faro (A), la punta del faro (B) y el bote (C).

La distancia desde el pie del faro hasta el bote se corresponde con el lado AC, que llamamos x. Identificamos un triángulo rectángulo y sus lados:

catetos: 45 y x hipotenusa: 53

Aplicamos el Teorema de Pitágoras a ese triángulo rectángulo:

x2 + 45 2 = 53 2 x2 + 2025 = 2809 ×2 = 2809 - 2025 ×2 = 784 x =1748 = 28

Perímetro y Área de una Figura Plana

¿Qué es el perímetro de una figura plana?

El perímetro de una figura plana, en el caso de los polígonos, es la suma de las longitudes de sus lados.

El perímetro de un círculo sería la longitud de la circunferencia (L). Se calcula con la fórmula: L=21Tr, donde r es el radio.

Ejemplo de cálculo de perímetro

Si tomamos una cuerda de 0,5 metros y queremos hacer con ella un círculo de radio 5 cm y un pentágono regular de lado 3 cm, ¿tendremos suficiente?

Vamos a calcular por un lado la longitud de la circunferencia (L):

L=2·|7.5=10·|7=31,4 cm

Ahora calculemos el perímetro del pentágono regular. Para calcular el perímetro (P), tenemos que sumar la longitud de todos sus lados:

P=5.3=15 cm.

Al sumar ambas cantidades, obtenemos 46,4 cm que es menor que 0,5 m (50 cm).

Ejercicio de perímetro de rombo

Ejercicio: Halla el perímetro de este rombo cuyas diagonales mayor y menor son 5,4 y 3 m respectivamente

1 3 m 5.4 m

¿Qué es el área de una figura plana?

El perímetro de una figura encierra una porción del plano cuya superficie podemos calcular. Al valor de la superficie de esa porción del plano se le conoce como área de ese plano o figura. El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que ocupa dicha figura.

Para saber el área de una figura plana tenemos fórmulas que nos ayudan a calcular el área de la figura, conociendo sus elementos característicos. En la siguiente imagen puedes ver las principales:

Cuadrado Rectángulo A= axa = a2 a A= bxh h a b

Triángulo Paralelogramo bxh A= bxh /h b b

Trapecio b Círculo A= B+bxh B + b h A=xxr2 B L = 2xxxr

Rombo Polígono regular A=Dxd d A= Pxa a

Ejercicios de cálculo de área

Ejercicio: Halla el área de un hexágono regular de 2 dm de lado y 1,73 dm de apotema.

Ejercicio : Calcula el área de un rectángulo de 5 m de base y 2,3 m de altura.

Ejercicio : Halla la altura de un triángulo equilátero de 8 cm de lado. A continuación calcula el área del triángulo.

P D

Ejercicio: Halla el área de este rombo cuyas diagonales mayor y menor son 5,4 y 3 m respectivamente.

3 m Y 5.4 m

Unidades de Medida del Perímetro y del Área o Superficie

Unidad fundamental de longitud: el metro

La unidad fundamental de longitud es el metro (m).

Por ejemplo, un metro es lo que mide de largo una guitarra.

1 metro

Pero, ¿qué hago si quiero medir objetos mucho más pequeños? ¿ y si quiero medir objetos mucho más grandes?

Para eso tenemos más medidas de longitud: los múltiplos y los submúltiplos del metro.

• Los múltiplos son las unidades de medida más grandes que el metro. Son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. Hay más pero de momento solo vamos a ver estas.
• Los submúltiplos son las unidades de medida más pequeñas que el metro. Son el decímetro, el centímetro y el milímetro.

En la siguiente tabla se muestran las medidas de longitud:

múltiplos submúltiplos km hm dam n dm cm mm kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

Cada unidad vale 10 veces más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo: Pasar metros a centímetros

Ejemplo : Pasar 50 m a cm

Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación.

50 - 100 = 5 000 cm

Ejemplo: Pasar milímetros a metros

Ejemplo : 4385 mm -- m

Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación.

4385 : 1000 = 4.385 m

Unidad fundamental de superficie: el metro cuadrado

La unidad fundamental de superficie es el m2 (metro cuadrado). Es la superficie que ocupa un cuadrado de 1m de lado.

A diferencia con las unidades lineales (de una dimensión), en las unidades de superficie, al ser de dos dimensiones (ancho y largo), el valor de cada unidad es cien veces mayor (10 x 10 = 100) que la unidad inmediata inferior.

Así, un decámetro cuadrado (dam2) equivale a la superficie de un cuadrado que tiene un decámetro (dam = 10 m) de ancho, por un decámetro de largo. Por consiguiente:

dam2 = dam x dam = 10 m x 10 m = 100 m2

Tabla de Posición de las medidas de Superficie

Tabla de Posición de las medidas de Superficie km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para convertir una unidad determinada en otra pedida, situada a su derecha (menor), tenemos que multiplicarla por 100 (añadir dos ceros), tantas veces como posiciones hay, en la tabla, entre la unidad determinada y la pedida.

Para convertir una unidad determinada en otra pedida, situada a su izquierda (mayor), tenemos que dividirla por 100 tantas veces como posiciones hay, en la tabla, entre la unidad determinada y la pedida.

Ejemplo: Convertir hectómetros cuadrados a decímetros cuadrados

Ejemplo : Convertir 4 hm2 en dm2.

Como desde hm2 a dm2 hay tres posiciones, hacia la derecha, tendremos que multiplicar por 100 tres veces, es decir añadir seis x 3=6). ceros (2 El resultado es: 4 hm2 = 4 x 100 x 100 x 100 = 4.000.000 dm2.

Ejemplo : Convertir 4 hm2 en dm2.

Como desde hm2 a dm2 hay tres posiciones, hacia la derecha, tendremos que multiplicar por 100 tres veces, es decir añadir seis ceros (2 x 3=6). El resultado es: 4 hm2 = 4 x 100 x 100 x 100 = 4.000.000 dm2.

Ejemplo: Embaldosando el patio

Ejemplo : Embaldosando el patio V Se tiene que embaldosar el patio interior de un edificio con baldosas cuadradas de 40 cm de lado. El patio es rectangular y sus medidas son 8 m por 6 m. ¿ Cuántas baldosas se necesitarán?

Calculamos el área de una baldosa:

= ( 40 cm)2 = 1600 cm2 baldosa

Debemos calcular el área del patio que será: Apatio = ancho · largo = 8 m · 6 m = 48 m2 que en cm son 480000 cm2

El número de baldosas que se necesitarán será de: área patio 480000cm2 área baldosa 1600cm 2 = 300 baldosas

Ejemplo: La vela de la barca

Ejemplo : La vela de la barca > Una vela triangular de una barca se ha estropeado y hay que sustituirla por otra. Para confeccionar la nueva vela nos cobran 42 € por m2 . ¿ Cuánto costará esa nueva vela si debe tener 6 m de alto por 2 m de base?

El área de la vela, al ser un triángulo, es: base · altura 6 m . 2 m 2 Vela = 2 = 6 m2

La vela nos costará: 42 . 6 m2 = 252 € m

Cuerpos Geométricos

Nosotros percibimos el mundo en tres dimensiones, aunque en ocasiones no nos interese hacer referencia a una de ellas. Por ejemplo, cuando hablamos de un terreno del campo de fútbol, en condiciones normales, no nos interesa la cantidad de tierra que hay para que crezca el césped, solo nos interesa la superficie o las dos dimensiones que tiene de ancho y de largo.

Sin embargo, si tomamos una caja de zapatos y queremos que en ella quepa una bota del número 41 sí nos interesa saber sus tres dimensiones (ancho, alto y largo).

Se denominan cuerpos geométricos a aquellos cuerpos que ocupan un volumen en el espacio desarrollándose, por lo tanto, en tres dimensiones: tienen alto, ancho y largo. Además, están compuestos por figuras geométricas.

Los observamos diariamente en los edificios, cajas, cucuruchos de helado, balones de futbol ... hasta en una de la más grandes construcciones creadas por el ser humano: las pirámides de Gizah (Egipto).

Los cuerpos geométricos se dividen en dos grandes grupos, los poliedros, aquellos en los que las superficies que los delimitan son planas, y los cuerpos redondos, en los que algunas de las superficies que los delimitan son curvas.