Unidad 1. Álgebra Lineal: Matrices y sistemas de ecuaciones

UNIDAD 1. ÁLGEBRA LINEAL.

Tema 1: Matrices.

1.1. Definición de matriz. Notaciones. 1.2. Tipos especiales de matrices. 1.3. Suma de matrices. 1.4. Producto de un número real y una matriz. 1.5. Matriz Transpuesta. 1.6. Producto de matrices. 1.7. Potencia de una matriz.

1.1. Definición de matriz. Notaciones.

Una matriz se puede definir de manera intuitiva como una tabla de números ordenados en filas y columnas.

De manera rigurosa, definimos una matriz de dimensiones mxn como un conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.

A = @11 @21 : am1

@12 @22 am2

ain a2n : amn mxn

Se suelen denotar con letras mayúsculas: A, B, M, X ... Un elemento de una matriz A se expresa como aij. Es decir, se pone la letra de la matriz en minúscula y los subíndices que ocupa ese elemento en la matriz.

Ejemplos de matrices:

31 A= 25 7 6

B = 257 410

Dimensión de una matriz. Es el número de filas (m) y de columnas (n) que tiene. Se denota como mxn.

Si el número de filas y de columnas es el mismo, podemos decir que es una matriz cuadrada de orden m. En las matrices cuadradas, se llama diagonal principal a la formada por elementos cuya fila y columna son el mismo número, es decir, por elementos de la forma aii.

Ejemplo.

1 -1 1 D= 052 2 3 -3

La matriz D es una matriz cuadrada de orden 3.

1.2. Tipos especiales de matrices.

• Matriz fila. Solo tiene una fila.

F= 5461)

'1

• Matriz columna. Solo tiene una columna.

A = 2 3

• Matriz cuadrada. Tiene el mismo número de filas que de columnas (m=n).

1 -1 1 D= 052 2 3 -3

1

• Matriz diagonal. Matriz cuadrada en la que todos elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros.

A = [ 0 2 0 0 0 3/ 4 1)

• Matriz triangular. Matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son cero.

3 B = 0 5 2 0 0 1

• Matriz identidad. Matriz cuadrada diagonal de orden m cuyos elementos de la diagonal principal son unos. Se denota Im.

100 13= 010 001 /0 0

. Matriz nula. Todos sus elementos son ceros.

O = 0 0 0 0 0 0

1.3. Suma de matrices.

Para que dos matrices puedan sumarse, deben tener la misma dimensión. Así pues, si tenemos dos matrices A, B de dimensión mxn, la matriz A+B será de dimensión mxn en la cual cada elemento es la suma de los elementos que ocupan la misma posición.

Amxn + Bmxn = (aij + bij)mxn

Ejemplo:

A = 3 5 2 0 1) 1 2 1 0 1) 1 0

(2+1 A+B= 3+1 (5+1 0+0 0+2 1+1 1+1) 0+1 1+0,

{3 - 4 6 2 2 0 1 1 0 0 | 1 B = 1 1

Importante. La suma de matrices cumple la propiedad conmutativa y asociativa. Es decir, siendo A, B, C matrices mxn, se cumple que A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C.

1.4. Producto de un número real y una matriz

Dadas una matriz de dimensión mxn y un número real k, el producto de ambos es una matriz de dimensión mxn donde cada elemento es el elemento de la matriz original multiplicado por el escalar.

0 0)k . Amxn = (k · aij)mxn

Ejemplo:

2 -3 2 2.4 ( 2) . 2 . (-3) 2 .2 3 2-2)= ( 8 2 -6 4

1.5. Matriz traspuesta

Dada una matriz A de dimension mxn, la matriz traspuesta At es aquella matriz de dimensión nxm en la que todos los elementos intercambian la posición de su fila y su columna. Se puede entender visualmente interpretando que las filas se convierten en columnas y viceversa.

Amxn= (aij) -> Atnxm = (aji)

Ejemplo:

A= (3 0 2) At = 0 2. A = 4 5 6 7 1 8 2 3 9/ 12 \3 1 4 5 8 6 9

Si tenemos una matriz cuadrada A que cumple que A = At, se dice que es una matriz simétrica.

1 2 -3) A= 2 -7 0 -3 0 1

Si tenemos una matriz cuadrada A que cumple que At = - A, se dice que es una matriz antisimétrica.

(0 -7 8) B= 7 0 -1 -8 1 0

1.6. Producto de matrices

El producto de matrices, expresado como A.B, solo puede efectuarse si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. El resultado será una matriz una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Es decir:

Amxn . Bnxp = Cmxp

Siendo Cij el producto de la fila i de A por la columna j de B, los elementos de la matriz resultante se calculan de la siguiente manera:

7\buj b2j )· bn ... =anbijtai2b2/+ ... +ainbnj = Laik bki k=1

Ejemplo:

(201 101 5 1 1 1 1 0) (2.1+0.1+1.1 2.0+0.2+1.1 2.1+0.1+1.0) (3 1 2) A.B=300.12 1 = 31+01+01 3.0+0.2+01 31+0.1+0.0 = 3 0 3 £ 5.1+1.1+1.1 5.0+1.2+1.1 5.1+1.1 +1.0 7 3 6

Importante: el producto de matrices es asociativo pero no conmutativo, es decir, de manera general si tenemos dos matrices A, B, no se cumple que AB = BA.

1.7. Potencia de una matriz

La potencia de una matriz, expresada como A" siendo n un número natural, es la multiplicación sucesiva de la matriz cuadrada un número n de veces. Es decir:

A" = A.A . ... . A n

Hay casos donde la operación se puede hacer de forma rápida:

1. Matriz diagonal. La potencia n se calcula elevando a n cada uno de los elementos de la diagonal principal.

2 0 0 2" A= 0 -3 0 =A"= 0 (-3)" 0 0 0 5 0 0 0 0 5"

1. Matriz nilpotente. Una matriz es nilpotente si A"=0 para algún n. Así pues, si se eleva la matriz a un numero k tal que A"=0 entonces las potencias con exponente superior a k también serán nulas.

A=(1 -0)=1=(0 ) == + == (0 )

1. Matriz cíclica. Si para un numero k tenemos que A"=I, las potencias sucesivas se irán repitiendo cíclicamente. Es decir, si Ak = I, entonces A"= A", siendo r el resto que queda al dividir n entre k.

1 -2 -2 -1 -1 100 A=| 1 0 2 1 =A= 0 1 0 =13= A2022= A0=13

1. Matriz con ley de recurrencia. Aquellas que siguen un patrón.

A=(! ? ) == (6 4)= = (! ) == "=(1 2n) 0 0 1 n

Tema 2: Determinantes.

2.1. Determinantes. 2.2. Propiedades de los determinantes. 2.3. Menor complementario. Matriz Adjunta. 2.4. Determinante de una matriz de orden n. Cálculo mediante adjuntos. 2.5. Cálculo de determinantes haciendo "ceros".

2.1. Determinantes

Dada una matriz cuadrada A, su determinante es un número asociado a ella que se obtiene al hacer operaciones con los elementos de la matriz de una manera concreta. Se denota como det(A) o |A|.

Cálculo de determinantes de una matriz de orden 1: es el propio valor.

Ejemplo: |5|=5.

Cálculo de determinantes de una matriz de orden 2: se calcula realizando el producto de los elementos de la diagonal principal y restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Ejemplo:

2 4 61 1 = 2 . 6 -1 . 4 = 12 - 4 =8

Cálculo de determinantes de una matriz de orden 3: se calcula mediante la regla de Sarrus. Este método consiste en aplicar la siguiente operación:

a1,1 det @2,1 @1,2 a 2 @1,3 @2,3 @3,1 19 1.1 Ja2,1 @3,2 a1,2 ª1,3 a 2,2 @2,3 = @3,3 = (a1,1 . @2,2 . @3,3 + @1,2 . @2,3 . @3,1 + @2,1 . @3,2 . @1,3) - -(a1,3 . @2,2 . @3,1 + @1,2 . @2,1 . @3,3 + @2,3 . @3,2 . @1,1)

Ejemplo:

-2 -3 4 2 -4 1 5 3 61 =(-2) - 4 . (-6) + 1 . 5 - 2 + 3 . (-3) - (-4) - -3 - 4 . 2- (-2) . 5 . (-4) - 1 . (-3) . (-6) = = 48 + 10 + 36 - 24 - 40 - 18 = 12

2.2. Propiedades de los determinantes

1. El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta:

t | @3,1 @3,2 @3,3230 A=3 2 7 216 A = 321 2 3 2 076 |A| = |At] = - 2

2. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices:

A.B=|A|-|B|

3. Si una fila (o columna) está compuesta únicamente por ceros, el determinante de la matriz es cero.

2 3 2| |A|=323=0 000

4. Si dos filas (o columnas) son iguales, el determinante de la matriz es cero.

232| |A|=323=0 232

5. Si una fila (o columna) es múltiplo de otra, el determinante de la matriz es cero.

560 |A|=1 3 -2=0 2 6 -4

6. Si una fila (o columna) es una combinación lineal de otras, el determinante de la matriz es cero.

2 3 2 |A|=124=0 3 56 F3 = F1 + F2

7. Si en una matriz se intercambian dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo.

212 120 120 =- 212 356 3 5 6 F1++ F2

8. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

412 2. 120 = 1.2 2 0 = 2 2 0 356 3 .2 56 656 212 2 .2 1 2|

9. Si los elementos de una fila (o columna) se descomponen como suma de dos sumandos, su determinante se puede descomponer como la suma de los determinantes de dos matrices cuyos elementos de esta fila (o columna) sean esos sumandos.

2 a+b a+c a+d= a aa+bcd 5 1 2 6 2 12| 3 5 6 3 5 6 2

10. Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma una combinación lineal de otras filas (o columnas), el determinante no varía.

212 1 2 0 = 16 3 5 6 C3 = 2C1 +C2 + C3

1 2 4 = 16 3 5 17

21 7

11. Si una matriz es diagonal, su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.

2.3. Menor complementario. Matriz adjunta.

Para calcular el determinante de una matriz de orden mayor que tres no nos sirven las reglas que hemos visto hasta ahora. Necesitamos conocer cuatro conceptos.

• Menor de una matriz. Es el determinante de una submatriz cuadrada que se obtiene eliminando filas y/o columnas de la matriz original.

Ejemplo:

A= 5 6 9 1 10 2 3 11 7 4 12

1. Un menor de orden 2 sería 1 5 2 6 -4 (eliminando F3, C3, C4).

Un menor de orden 3 sería 5 9 1 | | 6 10 2 11 4 8 =0 (eliminando C3).

• Menor complementario de un elemento de una matriz. Dada una matriz cuadrada A, el menor complementario del elemento aij es el determinante que resulta de eliminar la fila i y la columna j. Se expresa como Mij.

Ejemplo:

A= -8 1 5 0 6 4 -3 9 0 5 4 0 6 9

Mu1 = 6 4 9 0 =- 36 5 6 9 0 -3) M12 = 5 -8 9 0 =72 1 5 -8 6 9 M13 = 5 8 6 4 =68 1 5 -8 0 -3 0 6 4 9 M21 = 0 4 -3 0 =12 4 0 -8 0 -3) 3 8

• Adjunto de un elemento. Dada una matriz cuadrada A, el adjunto del elemento aij es el menor complementario del mismo elemento multiplicado por (-1)i+j. Se denota como Aij.

Aj=(-1)'+).Mi)

Ejemplo:

-3 A = 5 1 -8 6 0 4 9

A=(-1)1+1 . M 11 =- 36 A13=(-1)1+3. M 13=68 A12=(-1)1+2 . M 12 =- 72 A21=(-1)2+1 . M 21 =- 12

• Matriz adjunta. Dada una matriz cuadrada A, su adjunta es aquella que está formada por todos sus adjuntos. Se denota como Adj(A). La matriz adjunta de una matriz de orden 3 es:

A11 A12 A13 Adj (A)=|A21 A22 A23 A31 A32 A33

2.4. Determinante de una matriz de orden n. Cálculo mediante adjuntos.

Estudiamos una nueva propiedad que nos servirá para calcular determinantes de matrices de orden superior a 3.

. Si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados se obtiene el determinante inicial.

Ejemplo.

|A| = 1 35 2| 2 196 3 24 8 0 -134 |-1 3 4| 2 4 8| =1 .- 92+-3 .- 70+5.2+-2 .- 16 =1 1 9 6 + (-3) 2 9 6 +5 2 1 6 + (-2) 2 1 9 348 034 0-14 3 2 8| 0 -1 3 3 2 4| 00 =160

2.5. Cálculo de determinantes haciendo "ceros". Metodo de Gauss.

El objetivo del método de Gauss es conseguir triangular la matriz que está dentro del determinante, ya que el determinante de una matriz cuadrada triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Lo usual es hacer ceros todos los elementos por debajo de la diagonal principal, utilizando, escalonadamente, los elementos de la diagonal principal, y por tanto su fila, para hacer ceros los que están debajo. Las operaciones que podemos realizar son: