Determinanti, rango, autovalori e autovettori di un endomorfismo

Ancora sui determinanti

Proprietà dei determinanti

A & Mayo 1) Se due righe (o due colorme) di A Smo PROPORZIONALI (IN PARTICOLARE: UGUALI), det A = 0 A= (ia se) , DER : detA= lab-lab=0 2) Se si scambiano due righe (o deu calime) di A, si ottiene una matrice B tale che detB = - det A 3) Se si moltiplici ume riga (o una calima) di A per uno scalare 1 , Si ha unamatrice B tale che detB = > det A 41 012 A = - و ) 021 022 B= - daza daza) detB= x (un 02- 012 921) = > det A . 4) Se si aggiunge a una RIGA ( O UNA COLONNA) IL MULTIPLO DI UN'ALTRA RIGA ( O COLONNA) , SI ottiene uma matice B tale det B = det A detA =- 1-2 = - 3 2 A= + 1-1 1) 2 1 ES.J B= 03 detB =- 3

Matrici triangolari e determinanti

RICORDIAMO CHE SE A € TRIANGOLARE SUPERIORE, Qua A = O 0-0mm ALLORA detA= a11 022 amm

Problema: Determinante di una matrice a scala

PROBLEMA Se A è qualsiasi in Mp A - 5 è a SCALA GAUSS 1 1 1)ALLORA 6 detA = (-1) SM. S22 . ... 5mm dove i = NUMERO DEGLI SCAMBI DI RIGHE

Esempio di calcolo del determinante con Gauss

ES 014 -1 O 2 A= 41-1 1 (SCAMBIO DUE RIGHE) B = ( -1 2 O 1 1 -1 ) GAUSS C = ( -1 O 2 1 O 3 4 )det C = (-1). 1. 3 = - 30 4 -1 + det A = - 1 -1 2 I 1 + 4/ -10 4 1 = - (1-8) +4 (-1) 7-4 = 3 1 detA = - (-3) = (-1) detC L=1

Rango di una matrice

Osservazione sul rango di una matrice

Un osservazione sul rango di una matrice RICORDIAMO CHE Se A E Mn,n , allora detA 70 29 (A) =M

Matrici non quadrate e minori

Se A è NON VADRATA ? A= O 2 4 ( -1 1 Q mxm AG MmIn : SI DICE MINORE di A il determinante di unamatrice quadrata contenuta in A. Nel caso di Prima; -1 1 0 2 1 = - 2 1º/-4 -1 0 ( =- 4, 1. 24 0 4 -1 2 A = 5 0 100 1 ) 1 -12 detA = 4 5 0 1 ( 0 500

Definizione di rango

Prop- AG Mm,m : il RANGOdi A è L'ORDINE MASSIMO DI UN MINORE NON NULLO CONTENUTO IN A. ES. A = ( -110 024 ) -1 1 1- 1= - 2 $0 0 2 2g (A) = 2 T -1 0/ =- 4 0 9 1. 10 24/=802 -1 O 1 O 0 A= 29(A) =m (=) detAto 9/3-170 -1 101 IAL=0 29(A) =2

Autovalori e autovettori

Endomorfismo e autovalori

T: V W . V. W spazi Vettoriali Se T è limeau, T viene anche dettu PHOMORFISMO Se T è BIUNIVOCA, T viere Chiamutu ISOMORFISMO T: V V [ dimensione finita T LINEARE If def.ENDOMORFISMO Def- Si dice che LER é Im autovalore di T SE esiste VE V \{0} tale che - T(V) =>y >1 AUTOVETTORE ASSOCIATO V ALL'AUTOVALORE VA = {VE V: T(V)=AV}:Si dice che VI è l'AUTOSPAZIO ASSOCIATO A 2. Id (V) = V Id : V-V T(V)=\V = {Id (V) T(V)- Id (v) = 0 (T- { Id) (V) = 0 V V = {VEV : (T_ {Id) =] = Ker (T- )Id)OSS 1 ER è en autovabre IVEVILOS A.C. T(V)= )v (T-xIdv)(V)=0 Ker (T-X Idv) = {0} In particolare : 1=O è autovalore di T Keit # {0}

Autovalori e autovettori di una matrice

Def- A € Mmmm m TA (x) = Ax M TA: (RM P Si dice che LER è in autovalore di A se è autovalore di TA, cioè 2 Ja GRM {0} tale che Ax = xx/ n = autovetture RELATIVO A 2 AUTOSPAZIO associato a 1: V2 = {"ER": (A->In)a =0}Im = 1 ..... O 0 1 ... 0 0 ... 1 1 MATRICE IDENTIAS 1 € Man

Matrice diagonale

Si dice DIAGONALE O O O 9 O ^ 12 0 "In- 10 0 JJ -1 0 O 8 30 A =DIAGONALE O O O O A = O MER E 1 Mo .. Q O am Am 1 12 22 M 0 ) = 4 21 C LAMBDA1 +2 = . 1 em Ii = autovalore di autovetture en 11 12 = e -2 - - In = 11 En C

Diagonalizzazione di un endomorfismo

Proposizione T: 5- beneou e Sin B= {vn-,ym} Im base di V. ) = 12 es 0 . OAllora B è composta da autovettori di T =) la matrice associati au T rispetto a CB è DIAGONALE Dim- V1 .- Vm autovettori T(21)=)1x1 i 1 T (m) = Am Ym A=matrice associata a T rispetto a B Porde 11 .. , In sono una base di VTin1= Myn +O.V2 +·+0.Un TIVale O.Vn + 12V2 +·+0.Um T(1m) = 0.Vn + ·- +0.yn-1 + Am ym A = 0 120 . . C usSocial Viceversa , se la matrice A è diagonale,A= 9 . 1 Pu definizione di motrice associati: T(2) = Mv T(Um) = mym autovettori.

Endomorfismo diagonalizzabile

Def. T: V-V DIAGONALIZABIL Se ] B = box di V costituita da autovetture di T.

Matrice diagonalizzabile

Proposizione A E Mnum VxER m TA (x) = Ax TA: R"-OR" ( V= (R ). Allana TA è diagonalizzabile A è simile ad une matrice diagonale nel senso che 3 B = mutuce invertibile, tale che BAB = 1 - diagonale CA, A' simili Se A'= B1AR )B= mutuce diogonalizante. Dim- Mostriamo SOLO . Supponiamo de A Sin diagonalizabile e Siu B1 = {"n'y2 ,-, Um} base di autovettori di A Av1 = 421 - . Avm = In Ym B = {{1, en 1-0, em } Conomicdi (RM 1 .. Ym B = V - V - >1-> 2 B= mulice di passaggio du B & B1 e 2 = Bx Allure, la matrice associata a TA rispetto u CB1 (VEDERE LEZIONE SCORSA ) ê BAB Ma , Poiché Bi è costituita duautovettori, dalle proposizione precedente, la matrice associata a TA rispetto a B1 é . . .. O 1 O 1= Am ) Quindi BAB = 1 Def. Se TA è dignalizobile si dice de A è diagonalzabile.