La rappresentazione di dati e fenomeni: grafici cartesiani in fisica

LA RAPPRESENTAZIONE DI DATI E FENOMENI

Un fenomeno può essere rappresentato mediante formula, tabella o grafico.

EXPENSES

Actual Cout thankdown $3,800.00 10 Estimated V9. Actul Now linea spezzata

Le rappresentazioni di un fenomeno

Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto da cui esce un flusso d'acqua costante nel tempo.

1. a Al tempo zero, il rubinetto è chiuso e il recipiente è vuoto.

tempo 5 min 101 b Quando il rubinetto è aperto, ogni minuto escono 2 litri di acqua.Le rappresentazioni di un fenomeno Un fenomeno può essere rappresentato con una tabella, con un grafico o con una formula.

• Tabella dati anglia Har P=M X G Fp=p x h/L Fp letta H L Fp/h=K 1,56N 0,3N 0,28N 10,7cm 60,5cm 0,026 1,57N 0,4N 0,38N 14,5cm 60,5cm 0,026 1,57N 0,5N 0,48N 18cm 60,5cm 0,026 1,59N 0,8N 0,78N 30cm 60,5cm 0,026 1,67N 1,1N 1,08N 41cm 60,5cm 0,026

frequenza 6 5 4 3 2 O 10 11 12 13 14 15 numero dipendenti WWW.ANDREAMININI.ORG V = S - So t S - So t = VLe rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante tabella: la quantità d'acqua accumulata nel recipiente dipende dall'intervallo di tempo trascorso.

Il flusso d'acqua del rubinetto è costante: O ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d'acqua; O ogni minuto la quantità d'acqua nel recipiente cresce di 2 litri.

Tempo (min) Volume (L) 0 0 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 . .. . ..Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante formula: V = 2t O t : tempo trascorso -> variabile indipendente; unità di misura: minuti. O V : volume d'acqua accumulato -> variabile dipendente; unità di misura: litri. O 2 : portata d'acqua del rubinetto -> costante; unità di misura: litri/minuto.Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante grafico 12 10 00 8 Volume (L) 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 tempo (min) O Asse orizzontale (ascisse) -> variabile indipendente t O Asse verticale (ordinate) -> variabile dipendente V A ogni punto del grafico corrisponde una coppia di valori della tabella.Le rappresentazioni di un fenomeno O TABELLA: fornisce informazioni in corrispondenza di alcuni istanti di tempo -> conoscenza del fenomeno limitata. O GRAFICO: offre una visione complessiva dell'andamento -> visione sintetica e immediata del fenomeno. O FORMULA: è la rappresentazione più astratta, ma è anche quella che fornisce più informazioni -> permette di conoscere il volume di acqua che si raccoglie in un intervallo di tempo qualsiasi.I grafici cartesiani in fisica

Tempo (h) Temperatura (℃) 0 4 2 3 4 3 6 2 8 1 10 2 12 6 14 7 16 6 18 6 20 5 22 4 La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per rappresentare due grandezze relative allo stesso momento.

Per costruire un grafico si può partire da una tabella o da una formula.I grafici cartesiani in fisica

Costruzione del grafico

A) Per costruire il grafico: si tracciano gli assi e per ciascuno si scrivono grandezza e unità di misura. B) Si scelgono, a seconda dei dati, la scala sull'asse orizzontale e quella sull'asse verticale. C) Si riportano nel piano cartesiano le coppie di valori: ciascuna di esse individua un punto.

temperatura (℃) variabile dipendente variabile indipendente A tempo (h)

77 temperatura (℃) - onTMN 6 5 4 3 2 1 - B 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 tempo (h)

77 6 . temperatura (℃) 5 4. 3 · 2 1 O C 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 tempo (h) ·I grafici cartesiani in fisica

Scala del grafico

La scala (che va sempre dichiarata) si sceglie in modo da distribuire i dati sullo spazio a disposizione per ottenere una rappresentazione chiara e di semplice lettura: O un'unità orizzontale unità -> 2 h, cioè 2 ore (scala orizzontale); O un'unità in verticale I unità - 1 °℃, cioè un grado Celsius (scala verticale). Il grafico di una tabella è un insieme di punti.L'interpolazione grafica

Procedimento di interpolazione

1) Disegniamo un grafico cartesiano e mettiamo sugli assi il tempo e la Temperatura con le relative unità di misura. 2) Per ogni coppia di numeri della tabella riportiamo un punto sul piano. 3) Uniamo i punti con una linea spezzata, colorata in arancione nel grafico.

Qual è la temperatura dopo 11 h?

7 6 5 Temperatura (°℃) 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 tempo (h)L'interpolazione grafica

Stima del valore

Qual è la temperatura dopo 11 h? Possiamo stimare questo valore tracciando con squadra e righello una linea verticale in corrispondenza di tempo = 11 h, che intercetta la linea spezzata nel punto P. Questo procedimento si chiama interpolazione grafica. L'interpolazione grafica è uno strumento matematico o statistico utilizzato per fare previsioni (o stime) sui valori tra due punti su una curva o una linea.

7 6 Temperatura (℃) 5 P 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 tempo (h)La pendenza di una retta

Definizione di pendenza

La pendenza di una retta esprime l'inclinazione della retta rispetto all'asse delle ascisse ed è uguale al rapporto tra la variazione dell'ordinata y e l'incremento dell'ascissa x.

pendenza == = Ay y2-y1 Δχ x2-X1 O A si legge «delta» O Ay = variazione dell'ordinata y O Ax = variazione dell'ascissa x

Tipi di pendenza

pendenza Positiva (> 0) Negativa (< 0) Ax > 0 e Ay >0 Ax > 0 e Ay <0 Ax < 0 e Ay < 0 Ax < 0 e Ay > 0La pendenza di una retta

Esempi di pendenza

La retta ha una pendenza positiva, perché a un incremento di t corrisponde un aumento dell'ordinata.

V = 2t 10 V2 - V1 (6 - 4) L pendenza = t2-t1 (3 - 2) min min 8 P2 V26 (1) A > P 4 V1 2 0 0 1 2 3 4 5 $1 t (min) t2

La retta ha una pendenza negativa, perché a un incremento di t corrisponde una diminuzione dell'ordinata.

V = 20 - 4 t 20 V2 - V1 (8 - 12) L L pendenza = = -4 16 P1 V212 (1)A> P2 8 4 0 0 1 2 3 4 5 t (min) +2 min t2-t1 (3-2) minGrafici a torta

Introduzione ai grafici a torta

Oltre al grafico cartesiano, esistono altri tipi di rappresentazioni grafiche. Ciascuno di essi serve per mettere in evidenza alcune caratteristiche dei dati.

Costruzione di un areogramma

Un areogramma, o diagramma circolare o a torta si costruisce in questo modo: O si calcola la somma totale dei dati; O si esprime in percentuale il rapporto fra il valore di un singolo dato e la somma totale; O si suddivide l'area di un cerchio in settori circolari in modo che gli angoli al centro siano proporzionali alle quantità che essi rappresentano; in tal modo le aree dei settori risultano proporzionali alle percentuali rappresentate.

tedesco 10% francese 20% inglese 70% Un diagramma circolare viene anche detto diagramma a torta, perché è come una torta in cui ogni fetta rappresenta un valore percentuale.Grafici a torta

Rappresentazione grafica con settori circolari

Un grafico a torta (o areogramma) è una rappresentazione grafica formata da un cerchio suddiviso in tanti settori circolari di ampiezza diversa, in base alla frequenza del dato che ciascuno di essi rappresenta.

In una classe con 24 studenti, ciascuno ha espresso la sua preferenza in tema di dolci. Utilizza un grafico a torta per rappresentare i risultati dell'indagine.

Tipo di dolce Preferenze Percentuale altro torta Torta 6 6 -x 100 = 25% 24 Gelato 12 × 100 = 50% 24 3 Cioccolato 3 × 100 = 12,5% 24 3 Altro 3 × 100 = 12,5% 24 12 cioccolato gelatoL'istogramma

Definizione di istogramma

Un istogramma, detto anche ortogramma, è un diagramma che fornisce una rappresentazione di un insieme di dati statistici mediante un grafico a barre. Gli istogrammi possono essere rappresentati mediante barre orizzontali o verticali.

Materia più odiata a scuola Ed. Fisica 10 Geografia 60 Storia 40 Inglese 70 Italiano 20 Matematica 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Sport preferito 100 90 90 80 70 60 60 50 50 40 30 30 20 20 10 10 0 Calcio Tennis Pallavolo Nuoto Basket Danza Per costruire un istogramma si utilizzano rettangoli aventi tutti la stessa base e un'altezza proporzionale alla quantità che rappresentano.L'istogramma a barre contigue

Utilizzo degli istogrammi a barre contigue

In alcune situazioni può capitare che ad uno stesso elemento vengano associati più dati. In questo caso entrano in gioco gli istogrammi a barre contigue.

Corsi di laurea Uomini Donne Economia 134012 104847 Ingegneria 200689 52241 Giurisprudenza 88722 125714 Lettere 60321 123068 Medicina 80279 102122 Studenti iscritti ad alcuni corsi di laurea nel 2022 250000 200000 150000 100000 50000 0 Economia Ingegneria Giurisprudenza Lettere Medicina Uomini DonneL'istogramma a barre sovrapposte

Rappresentazione con barre sovrapposte

Pallavolo Tennis Basket Nuoto Atletica Danza Maschi 50 20 80 40 60 10 Femmine 40 10 20 30 35 50 Totale 90 30 100 70 95 60 Frequenze nelle singole attività sportive Danza 10 50 Atletica 60 35 Nuoto 40 30 Basket 80 20 20 10 Pallavolo 50 40 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Maschi Femmine Quando ad uno stesso elemento vengono associati più dati e, al tempo stesso, si vuole sempre tenere sott'occhio il numero totale, per rappresentare i dati è consigliabile utilizzare un istogramma a barre sovrapposte. Assegniamo ai maschi il colore azzurro ed alle femmine il colore rosa e disegniamo le due barre l'una sopra l'altra. Per agevolare la lettura del grafico si può anche riportare il numero corrispondente all'interno di ogni barra. TennisProporzionalità diretta

Grandezze direttamente proporzionali

Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se: O quando x raddoppia, y raddoppia; O quando x triplica, y triplica ...

Proprietà della proporzionalità diretta

Per due grandezze x e y direttamente proporzionali valgono le seguenti proprietà: O la formula che le lega ha la forma: y = kx O il loro rapporto è costante: y = k x O il grafico è una retta che passa per l'origine.Proporzionalità diretta

Massa e volume

La massa e il volume di una sostanza sono direttamente proporzionali: la massa di due cucchiai di zucchero è il doppio della massa di un cucchiaio ... Il rapporto tra la massa e il volume è costante ed è uguale alla densità:

m = = d V m = d . V

Volume (cm3) Massa (g) 0 0 5 4 10 8 15 12 20 16 25 20 Relazione tra la massa e il volume di una quantità data di alcol

22 20 18 16 massa (g) 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 Volume (cm3)