Fundamentos para el análisis matemático: Apuntes de UNAM Fca Cedigec

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UNIDAD 1

Fundamentos para el análisis matemático

5 93. 62 R 7 5 E 2 O 7 E 5 7 5 5 5 8 A 9 2 2 2 4 3 0 FCA UNAM CED GEC Centro de Educación a Distancia y Gestión del Conocimiento Plan 2012 2016 actualizado 9 9 2 ? OCEDIGEC

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OBJETIVO PARTICULAR

Al término de esta unidad, el alumno identificará los fundamentos de aritmética, álgebra y geometría.

TEMARIO DETALLADO

(20 horas)

1. Fundamentos para el análisis matemático
   1. Principios del análisis aritmético
      1. Resolución de ejercicios Problem Solving y Data Sufficiency con:
         1. Propiedades de los números
         2. Fracciones y decimales
         3. Escalas y proporciones
         4. Exponentes y radicales
   2. Principios del análisis algebraico
      1. Resolución de ejercicios Problem Solving y Data Sufficiency con:
         1. Simplificación algebraica, polinomios y factorización
         2. Ecuaciones lineales, inecuaciones, sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas
   3. Principios del análisis geométrico
      1. Resolución de ejercicios Problem Solving y Data Sufficiency con:
         1. Líneas, ángulos, áreas y perímetros
         2. Triángulos, polígonos y circunferencias

Cuarto semestre 9 de 137CEDIGEC

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INTRODUCCIÓN

0 0 1 0 1 7 0 1 1 0 N 0 02 0 0 1 01 L Según Aristóteles, las matemáticas se originaron porque la clase sacerdotal de Egipto tenía el tiempo necesario para dedicarse a su estudio.

La palabra aritmética está definida por la Real Academia de la Lengua como "parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos". La palabra geometría se deriva de las palabras griegas geo, que significa "tierra" y metron, que significa medir. Los antiguos egipcios y babilonios (4000-3000 a. C.) pudieron desarrollar una serie de reglas prácticas para medir figuras geométricas sencillas y para determinar sus propiedades. El conocimiento de la geometría pasó a Grecia desde Egipto y Babilonia. Los griegos legaron algunos de los más grandes descubrimientos para el avance de las matemáticas.

Cuarto semestre 10 de 137 Aún no se cuenta con un documento base real de quién fue el primero en descubrir las matemáticas, no obstante, se encuentran muchas exposiciones generales del origen de las 0 matemáticas en Egipto.Licenciatura: Contaduría

Contribuciones al progreso matemático

Entre los griegos más prominentes que contribuyeron al progreso matemático estaban Tales de Mileto (640-546 a. C.), Pitágoras, discípulo de Tales (¿580 ?- 500 a. C.), Platón (429-348 a. C.), Arquímedes (287-212 a. C.) y Euclides (alrededor de 300 a. C.).

La Real Academia de la Lengua define el álgebra como: "Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas, empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se le llama incógnita".

La historia del álgebra tiene sus orígenes en el año 2000 a. C. en Mesopotamia y Babilonia, puesto que su base es justamente la aritmética, más o menos en la misma época, los egipcios desarrollan un álgebra elemental para resolver problemas cotidianos; por su parte, los griegos en los siglos I, II y III d. C., hicieron grandes publicaciones acerca de la aritmética y la geometría.

En el año 1202 Leonardo Pisa, matemático italiano, mejor conocido como Fibonacci difundió en Europa el sistema de numeración arábiga y publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco); en los siglos XV y XVI otros notables matemáticos europeos hacen contribuciones importantes en el área.

En el año 1637 René Descartes, matemático francés, fusionó la geometría y el álgebra inventando la geometría analítica. En 1750 Gabriel Cramer, matemático suizo, introduce la regla de Cramer en el álgebra lineal para dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales.

Cuarto semestre 11 de 137CEDIGEC

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1.1. Principios del análisis aritmético

Para iniciar el aprendizaje de la aritmética, es preciso definir los conceptos elementales para la comprensión del tema.

Antes que nada, es necesario precisar que un conjunto es la colección de objetos denominados elementos. A los conjuntos se les denota con letras mayúsculas A, B, C, etc. y a sus elementos con letras minúsculas x, y, z, etc.

Dos conjuntos son iguales, si y solo si tienen los mismos elementos. Para denotar que un elemento forma parte de un conjunto o no, se utilizará cualquiera de las siguientes expresiones con su respectiva notación:

XEA x pertenece al conjunto A x es elemento de A x está en A XEA (x no pertenece al conjunto A x no es elemento de A x no está en A

Se dice que el conjunto A está contenido en B, o que el conjunto A es subconjunto de B, si y solo si cada elemento de A es elemento de B y se denota A S B.

Se dice que un conjunto A no está contenido en B o que un conjunto A no es subconjunto de B, si y solo si existe un elemento de A que no pertenece a B y se denota A ¢ B.

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Descripción de conjuntos

Existen dos maneras de describir un conjunto:

• Cuando se enumeran los elementos del conjunto. Por extensión
• Cuando a la totalidad de los elementos se les describe a través de una fórmula o característica. Por comprensión

EJEMPLOS de conjuntos

Por extensión:

1. El conjunto A de todas las letras que conforman la palabra "Archivología". A = {a, r, c, h, i, v, o, l, g} Note usted que se están omitiendo las letras que se repiten, la razón es porque resulta redundante.
2. El conjunto B de los meses del año cuyo nombre inicia con la letra m. B = {marzo, mayo}

Por comprensión:

1. El conjunto A que se comprende de todos los meses del año. A = {x|x es un mes del año}
2. El conjunto B de las soluciones de una ecuación de 2º grado. B = {x|-2x2 + 5x + 3 = 0}

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Conjunto Universal y Vacío

Al conjunto que contiene la totalidad de elementos en un problema, se le denomina Conjunto Universal y se denota U.

Al conjunto que no contiene elementos, se le denomina Conjunto Vacío y se denota Ø.

1.1.1. Resolución de ejercicios con:

1.1.1.1. Propiedades de los números

A continuación se presentan los conjuntos numéricos más importantes dentro de las matemáticas:

1. Los números naturales N. N = {1,2,3,4, 5, 6, ... }
2. Los números enteros Z. Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
3. Los números racionales Q. Q = {x = a, b E Zy b # 0}
4. Los números Irracionales I. 1 = {x # 5|a,b E Zy b #0}
5. Los números reales R. R = QUI

Nota: El conjunto de números reales, para las matemáticas que se manejan en este curso, es el conjunto que contiene a cualquier número.

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Operaciones binarias en números naturales

El conjunto de los números naturales tiene asociadas dos operaciones binarias, la adición o suma y el producto o multiplicación que satisfacen los siguientes axiomas:

1. La suma de números naturales es conmutativa, es decir, si a, b E N entonces: a+b=b+a
2. La suma de números naturales es asociativa, es decir, si a, b, c E N entonces: (a + b) + c = a+ (b+c)
3. El producto de números naturales es conmutativo, es decir, si a, b, E N entonces: a x b=bxa
4. El producto de números naturales es asociativo, es decir, si a, b, c E N entonces: (a x b) xc = ax (bxc)
5. Existe en N un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si a E N entonces: a x 1 = 1 x a = a
6. En N el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c E N entonces: a x (b +c) = (axb)+ (axc) (a + b) xc=(axc)+ (bxc)

Operaciones binarias en números enteros

El conjunto de los números enteros tiene asociadas dos operaciones binarias, la adición o suma y el producto o multiplicación que satisfacen los siguientes axiomas:

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1. La suma de números enteros es conmutativa, es decir, si a, b E Z entonces: a + b = b+a
2. La suma de números enteros es asociativa, es decir, si a, b, c E Z entonces: (a + b) + c = a+ (b+c)
3. Existe en Z un elemento neutro para la suma, el 0, es decir, si a E z entonces: a + 0 = 0 + a = a
4. Para cada a E Z existe en Z su inverso aditivo que se denota -a, entonces: a + (-a) = (-a) + a = 0
5. El producto de números enteros es conmutativo, es decir, si a, b, E Z entonces: a x b = bxa
6. El producto de números enteros es asociativo, es decir, si a, b, c E Z entonces: (a x b) x c = ax (bxc)
7. Existe en Z un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si a E Z entonces: a x 1 = 1 x a = a
8. En Z el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c E Z entonces: a x (b+c) = (axb)+(axc) (a + b) xc= (axc)+ (bxc)

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Operaciones binarias en números racionales

El conjunto de los números racionales (o fraccionarios) tiene asociadas dos operaciones binarias, la adición o suma y el producto o multiplicación que se definen, respectivamente, de la siguiente manera, sean a, b, c, d € Z entonces:

a C ad + bc b+abd a 5 x d box C axc

Nota: En adelante, para denotar el producto se omitirá el signo x.

Con estas dos operaciones binarias se satisfacen los siguientes axiomas:

1. La suma de números racionales es conmutativa, es decir, si RICEQ entonces: a + 00 C a + Q16
2. La suma de números racionales es asociativa, es decir, si ש entonces: ab 00 014 C (o+ 음 )+ 우 = 음 +( 음 +)
3. Existe en Q un elemento neutro para la suma el es decir, si CE Q entonces: a + 0 - 0 + Q 一 6 Q 一 6
4. Para cada - E Q existe en Q su inverso aditivo que se denota , entonces: + +
5. El producto de números racionales es conmutativo, es decir, si a, € € Q entonces:

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a c ca bd db

1. El producto de números racionales es asociativo, es decir, si 01 0 W entonces: U e a ce b
2. Existe en Q un elemento neutro para el producto el -, es decir, si & E @ entonces:
3. Para cada = E Q, con = # 011 existe en Q su inverso multiplicativo (otro número racional que al ser multiplicado por éste da como resultado al - E Q), a saber, el número 2, que se denota por -1 entonces: a b b -1 ba ab- ab 1
4. En Q el producto distribuye a la suma, es decir, si B &FE Q entonces: % ( +)= a c ae + b d. b f (+2)=(if)+ ce d f

1.1.1.2 Fracciones y decimales

El conjunto de los números irracionales se caracterizan precisamente porque no pueden expresarse como cocientes de números enteros, más aún, son aquellos cuyo cociente tiene una expansión decimal infinita.

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