Statistica Descrittiva: Tendenze Centrali e Mediana in Economia

Tendenze Centrali

Le misure di tendenza centrale

• Individuano una modalità (numero o attributo che sia) che riassuma rappresentandolo l'intero collettivo.
• Si parla indifferentemente di misure di posizione, di tipicità, tendenza centrale e valori medi.
• medie lasche o di posizione: non implicano il coinvolgimento diretto di tutte le modalità osservate e non richiedono operazioni algebriche
  Moda e Mediana
• medie analitiche: elaborano tutte le modalità osservate attraverso operazioni algebriche
  Media aritmetica

La Mediana

• La mediana è il valore che occupa il posto centrale nella successione ordinata delle N osservazioni individuali.
• Essa divide il collettivo in due sottoinsiemi di uguale numerosità: uno con modalità di ordine più basso e l'altro con modalità di ordine più alto.
• La mediana è definita per caratteri almeno ordinabili.

Come calcolare la mediana - le distribuzioni semplici o successioni

1. Ordinare le N unità in senso crescente rispetto alle modalità del carattere
2. Individuare la posizione in graduatoria dell'unità centrale:

   N dispari :

   Posizione Me =

   N + 1
   2

   (1)

   N pari :

   Posizione Me1 =

   N
   2

   Posizione Me2 =

   + 1
   N
   2

   (2)

3. Osservare la modalità portata dall'unità centrale
   • Se N è dispari la mediana è Me = XN+1
     2
   • Se N è pari avremo due modalità corrispondenti alle due unità centrali. Se il carattere è quantitativo, possiamo considerare come mediana la semisomma

   XN + XN
   Me =
   2
   2 + 1
   2

Esempio 1: carattere quantitativo discreto

Si ipotizzi di aver intervistato 16 famiglie sul numero di immobili posseduti. Di seguito le risposte:

0, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 0, 1, 2
N=16

1. Ordinare la successione:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3

1. Posizione Me1=8 e Me2=9

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3

1. I due valori sono uguali => la Mediana è proprio uguale a
   Me=1.

Esempio 2: due osservazioni in più

Supponiamo di avere due osservazioni in più entrambe pari a 0,
N=16+2=18

1. Ordinare la successione:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3

1. Posizione Me1=9 e Me2=10

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3

1. I due valori sono diversi ma il carattere è quantitativo
   semisomma: Me=0,5.

Esempio 3: carattere quantitativo continuo

Immaginiamo di dover sintetizzare la variabile «reddito familiare» rilevata su
8 unità statistiche [N=8]. Di seguito viene riportata la distribuzione ordinata:

1.670; 1.840; 2.005; 2.150; 2.280; 2.360; 2.510; 2.780
Essendo N pari ai due posti centrali, il 4° e il 5°, corrispondono i valori:

2.150; 2.280
La mediana sarà la semisomma di questi due valori.

Me =

(2.150 + 2.280)
2

=
2.215

Esempio 4: carattere qualitativo ordinabile

Supponiamo infine di avere 17 osservazioni sul titolo di studio per
alcuni individui raccolti dall'indagine AVQ1

1. La successione ordinata è la seguente:

N, N,LE, LE,LE,LM,LM,LM,D,D,D,D,D,D,L,L,PL

1. Posizione Me=9

Me = ~ 1 == 9
N+1
N, N,LE, LE,LE,LM,LM,LM,D,D,D,D,D,D,L,L,PL

1. La mediana è unica ed è Me=DIPLOMA.

1(N=nessuno, LE=licenza elementare, LM=licenza media, D=diploma,
L=laurea, PL=post laurea)

Mediana e Distribuzione di Frequenza

• Dato di partenza: distribuzione di frequenza
• Le regole non cambiano ma si fa riferimento alle frequenze cumulate
• Esempio 1: carattere quantitativo discreto, famiglie per numero di immobili posseduti

Tabella Frequenza Immobili

N immobili	ni	Ni
0	7	7
1	5	12
2	3	15
3	1	16
Totale	16	-

Mediana e Distribuzione di Frequenza

1. Le distribuzioni di frequenza sono già ordinate in senso crescente

Tabella Frequenza Immobili Ordinata

N immobili	nj	Ni
0	7	7
1	5	12
2	3	15
3	1	16
Totale	16	-

Posizione Me2 =

2
N
+ 1 = 9

(3)

1. Individuo la prima modalità corrispondente cercando il primo valore tra le frequenze cumulate Ni maggiore o uguale a 8 [-> 12]
2. Individuo la seconda modalità corrispondente cercando il primo valore tra le frequenze cumulate Ni maggiore o uguale 9 [-> 12]

1. N pari quindi consideriamo due posti mediani:

Posizione Me1 = = = 8
N
2

Mediana e Distribuzione di Frequenza

Tabella Frequenza Immobili

N immobili	ni	Ni
0	7	7
1	5	12
2	3	15
3	1	16
Totale	16	-

5 In entrambi i casi la prima Ni maggiore o uguale alla posizione considerata è 12 che corrisponde alla modalità "1"
6 La mediana è Me=1

Mediana e Distribuzione di Frequenza

Esempio 2: campione con due unità in più (nella modalità 0)

N immobili	nį	Ni
0	9	9
1	5	14
2	3	17
3	1	18
Totale	18	-

1. Le distribuzioni di frequenza sono già ordinate in senso crescente
2. N pari quindi consideriamo due posti mediani:

Posizione
Me1
=
=
N
2

9

Posizione Me2 =

N
2

+ 1 = 10

(4)

Mediana e Distribuzione di Frequenza

3 Individuo la prima modalità corrispondente cercando il primo valore tra le frequenze cumulate Ni maggiore o uguale a 9 => è esattamente 9 e corrisponde alla modalità "0"
4 Individuo la seconda modalità corrispondente cercando il primo valore tra le frequenze cumulate Ni maggiore o uguale a 10 => è 14 e corrisponde alla modalità "1"
5 Dopo aver fatto la semisomma La mediana è Me=0,5

Tabella Frequenza Immobili

N immobili	ni	Ni
0	9	9
1	5	14
2	3	17
3	1	18
Totale	18	-

Esempio: distribuzione percentuale

Tab. 2.15 - Popolazione italiana per titolo di studio

Titolo di studio	Frequenza	Percentuale	Frequenza percentuale cumulata
Nessuno	2,6	2,6
Licenza elementare	25,4	28,0
Licenza di scuola media inferiore	30,1	58,1
Diploma di scuola media superiore	26,4	84,5
Diploma universitario	0,8	85,3
Laurea triennale	2,2	87,5
Laurea specialistica o vecchio ordinamento	10,8	98,3
Specializzazione post-laurea	1,7	100,0
Totale (N=56.995.744)	100,0

Fonte: ns. elaborazione su dati Istat 2001
N/2= 50% -
Se ne deduce facilmente che l'unità che occupa la posizione centrale si colloca tra le unità che hanno la «licenza di scuola media inferiore».
Me= «licenza di scuola media inferiore»

Mediana e Distribuzione in classi

• Dato di partenza: distribuzione di frequenze di un carattere quantitativo suddiviso in classi
• Non è possibile individuare esattamente la mediana in quanto non conosco più l'esatta modalità assunta dalle unità statistiche ma solo l'intervallo in cui essa si trova

È possibile ottenere una sua approssimazione individuando l'intervallo che contiene l'unità centrale: la classe mediana

1. Indipendentemente da N pari o dispari, individuo un solo posto mediano pari a N / 2
2. Utilizzando le frequenze cumulate Ni individuo la classe mediana

Esempio

In tabella la distribuzione di frequenza dell'importo del primo stipendio percepito da 200 neolaureati di Scienze Politiche:

Distribuzione Frequenza Stipendio

Xi- Xj+1	ni	Ni
0 -| 400	35	35
400 -| 800	93	128
800 -| 1200	54	182
1200 -| 1600	14	196
1600 -| 2000	4	200
tot	200	-

1. Posto Me N/2 = 100
2. ClasseMe = 400-|800

Esempio: cerco il valore mediano all'interno della classe mediana

Poiché la mediana è l'osservazione, cioè quel valore tra quelli osservati, che ha alla sua sinistra (cioè più bassi) la metà delle osservazioni (il 50%) e alle sua destra, cioè più alti, l'altra metà delle osservazioni (l'altro 50%), essa divide il collettivo in due parti uguali e in termini di frequenza corrisponde al 50% della distribuzione cumulata delle frequenze relative

Distribuzione Frequenza Stipendio con Frequenze Relative Cumulate

Xi- |X|+1	ni	Ni	Fi
0 -| 400	35	35	0,175
400 -| 800	93	128	0,64
800 -| 1200	54	182	0,91
1200 -| 1600	14	196	0,98
1600 -| 2000	4	200	1
tot	200	-

Le Fi sono le frequenze relative cumulate

Esempio: cerco il valore mediano all'interno della classe mediana

Distribuzione Frequenza Stipendio con Frequenze Relative Cumulate

Xi - Xi+1	ni	Ni	Fi
0 -400	35	35	0,175
400 -| 800	93	128	0,64
800 -| 1200	54	182	0,91
1200 -| 1600	14	196	0,98
1600 -2000	4	200	1
tot	200	-

Dovremo quindi cercare la classe a cui corrisponde il valore F= 0,50 o quello immediatamente superiore.
Se F= 0,50 la mediana coinciderà con il limite superiore dell'intervallo
In questo caso sceglieremo quello immediatamente superiore che lo contiene e che corrisponde a 0,64.
Il valore mediano è all'interno della classe 400 -| 800.
Essendo il carattere quantitativo posso stimare il valore puntuale delle x, corrispondente a 0,50

Esempio: cerco il valore mediano all'interno della classe mediana

Distribuzione Frequenza Stipendio con Frequenze Relative Cumulate

Xi- |X|+1	ni	Ni	Fi
0 -400	35	35	0,175
400 -| 800	93	128	0,64
800 -| 1200	54	182	0,91
1200 -| 1600	14	196	0,98
1600 -| 2000	4	200	1
tot	200	-

Indico con:
Xa l'estremo inferiore della classe mediana
>
Xp l'estremo superiore della classe mediana
F- la frequenza cumulata che precede quella scelta
F+ la frequenza cumulata della classe mediana
nell'esempio:
Xa=400
X6=800
F -= 0,175
F+=0,64

0,50 - F-
Me = xa +
F+ - F-
(xp - Xa)

Esempio: cerco il valore mediano all'interno della classe mediana

Distribuzione Frequenza Stipendio con Frequenze Relative Cumulate

X- |X|+1	ni	Ni	Fi
0 - 400	35	35	0,175
400 -| 800	93	128	0,64
800 -| 1200	54	182	0,91
1200 -| 1600	14	196	0,98
1600 -| 2000	4	200	1
tot	200	-

Me = Xa +

0,50 - F-
F+ - F-

(xb - Xa)

0,50 - 0,175
= 400 +
0,64 - 0,175

(800 - 400) = 679,57

La media aritmetica

• L'indicatore di tendenza centrale più noto.
• E' la somma dei valori assunti dalla variabile su tutti i casi del collettivo, divisa per il numero stesso dei casi

1
N
N
u=1
Xu

(5)

• Si può calcolare solo per caratteri quantitativi

Esempio: media di una successione

In una classe di un istituto tecnico si rileva il voto di maturità per i 18 studenti promossi ottenendo i seguenti valori:

60, 73, 90, 100, 100, 95, 83, 65, 65, 60, 60, 98, 84, 60, 70, 65, 60, 60
Qual è il voto medio di maturità della classe?

x=1
18
18
u=1
60 + 73 + 90 + 100 + 100 + 95 +83 + 65+65+60+60+98+84+60+70+65+60+60
II
18

1348
18

1
=
= 74,89

Gli studenti di quella classe si sono diplomati con un voto medio pari a 74, 89.

La media aritmetica: Distribuzioni di frequenza

• Se i dati sono già in una distribuzione di frequenza si deve tener conto che le modalità sono ripetute più volte in egual misura alla frequenza assoluta corrispondente:

x == >

Xi · ni
i=1
k

(6)

Esempio: tabella di frequenza

Ad un collettivo di studenti universitari è stato chiesto quanti film hanno visto al cinema nelle ultime due settimane. I risultati sono riportati in tabella. Qual è il numero medio di film visti al cinema nelle ultime due settimane dagli studenti?

Numero Film Visti dagli Studenti

N film	Studenti
0	17
1	67
2	23
3	2
4	1
Totale	110

Esempio

Calcolo Media Film Visti

X	ni	Xi · ni
0	17	0
1	67	67
2	23	46
3	2	6
4	1	4
tot	110	123

x=
1
-
N
k
Ex .ni
i=1

x =

123
110

= 1,12

Il numero medio di film visti al cinema nelle ultime due settimane dagli studenti è pari a 1, 12