Fisica 2: Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico, Appunti

Fisica 2: Lavoro Elettrico e Potenziale Elettrostatico

Lavoro Elettrico e Potenziale Elettrostatico

Fisica 2
Lavoro elettrico.
Potenziale elettrostatico
capitolo
2Forza elettrica e campo elettrico
Forse elettrica = ogni forza esercitata su una particella corica
perché è carica

11 F11 x 9
G
9
F
es
F= günÈ
1
E = 51 B
campo elettrico
É =
F
9
11/0
compi elettrici
elettrostatica
compi eletiformatori
I campi elettrostatici sono
un caso particolare dei
campi elettrici.
I campi elettrici non
elettrostatici si chiamano
anche campi elettromotoriLavoro della forza elettrica. Tensione elettrica

F
90
2
B
1
dr
-
lavoro
lungo 81
A
Se
F = 90 É
allore
(2)
AB
W
= 90/E. dE = 90/
A81
F. die = IIF W/l dell cosa
= F, Il drill
B
1
A$1
2") = tensione elettrica
2") [ E. dr
B
tensione
( in generale depende
del percorso)
AB
tre AC B
At1
[2] = [E] [de] =
J
C
81
B
182
N.M =
C
(1)
AB
(2)
W
AB
1
% >(2)
¥ q. (2) _, 2(1) = = (2)
N
A
W(1)
AB
5
B
F. de
A 81

Forza Elettromotrice

Calcolo
(1)
2- 2(2)
B
(2)= [E. de
(1)
81
B
7
r2
(1) _2(2) =
B
A81
B
AJ2
E. dr =
A
B
A
Del
E= Q E. de
NON è una farsa !
AJ1
B
E-de -
4 tz
1
=
[E. de + (E- di
B 82
At1
= 6 E . d"
01+82
forse elettromatrice
[E]=[2] == = V
C
Volt

Forza Elettromotrice e Lavoro

Del
E = QE. Je
forse elettromotrice
NON è una farsa !
[E]=[c]=I=V
Volt
Poiché
F=90 €
9.SE. dr = 9.E = OF.de
= lavoro compito dalle
forse elettrica emp
il percorso chiuso
Se
SF di=0 > E=0
Se
SF. deto - Eto
La forza compie lavoro
positivo in qualche tratto e
negativo in altri, in modo che
la somma sia zero
se Exo, la ferre
elettrica èin grado di
far muovere le cariche
lugo un percorso chino

Forza Elettrostatica, Potenziale ed Energia Potenziale

Forza elettrostatica. Potenziale elettrostatico ed energia potenziale elettrostatica
La forza elettrostatica è conservativa. Ciò significa che:
1) Il lavoro della forza elettrostatica tra due punti A e B non dipende dal percorso e si può
esprimere in funzione della variazione dell'energia potenziale elettrostatica U
81
B
W
W(1)
AB
=
AB
AB = MA - MB = - AM
Z una funzione M/ WAB= VA-VB
> la tensione elettrostatica tra due punti non dipende dal percorso e può essere
espressa attraverso la variazione di una funzione delle coordinate detta
potenziale elettrostatico
B
W.
F. dr = 90/ E.dí = q =(1)
AB
la tensione elettrica
non depende del percorso
=
AF
E . dr = VA- VB
V = potenziale elettrostatica
Def
VA - VB =
PE.SE
[V]=Nm= = = V
C
C
A
w (2)
A
B
C =
AB
(1)
AB
=
A
B

Lavoro della Forza Elettrostatica

Forza elettrostatica. Potenziale elettrostatico ed energia potenziale elettrostatica
2) Il lavoro della forza elettrostatica lungo un percorso chiuso qualunque è sempre zero
>
La forza elettromotrice di un campo elettrostatico è sempre zero
QF. dr = 0 -
9. QÉ.dr=0
E=D
J
V percorso chino
la farsa elettromotrice associata
al compo elettrostatica è ZERO
W =
AB
MA-MB
B
B
=
[F. dE = 90(E.dE = q, (VA-VB)
A
MA - MB = 90 (VA-VB)

Dimostrazione della Conservatività della Forza Elettrostatica: Carica Singola

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
1) Caso di una sola carica sorgente: la forza è centrale
z
F
8
F = k 990 în
M'
û
r
ˆ
90
u
Q
ˆ
1
u
D
r
9
9>0
1
è la variazione
" X
delle destanse i
tra 9 e 90, cioè de
dr
r sin 0
do
de
IM
dr =drû +rdÛûg+rsindqû
r
r
-
de. în = deux. în + 0
= de
MB
r sin Odo
W
=
AB
S
B
kq90 dr = kqq.
1
12
che
- dr
-
rde
A
M
dr
WAB = 5
B
AB
AX
F.dr = (k990û.dr
B
12
Ar
9
dr. în
de
M
2

Calcolo del Potenziale per Carica Singola

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
1) Caso di una sola carica sorgente
WAB = kq= "
MA
B
A
1
1
1
M
1
= kqq. [+]2=
KB
= hqqs _ hqq-
MA
9
MB
= MA - MB
Perciò
WAB -
MA-MB =
kqqs _ kqqs
MB
MA
emupè potenziale
1
dr
Trovo il potenziale
A
de
KB
B
kann. de = kg / 10
11
102
1x 2 dias
M2-
M
A
dr
VA-VR = kg - kq
MA
MB
> VA-UB= 90 (VA-VB)
-
VA- VB = [É. dão =
B
A
t2 dr =
M

Definizione delle Costanti di Integrazione

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
1) Caso di una sola carica sorgente
VA- UB =
kqqs _ 4990
KA
MB
VA-VB = kq _ kg
MA
IB
?
MA = kqqs + C
MA
1
contante
?
I
VA = kg + c'
MA
1
Cortante
Le contanti Ce C'possono essere definito per fissare il valore di Ml
e di Vin un punto "comodo"
Per un puanque punto a distanza r dalla corica royente
u (M) = h990+C
r
,
V
0,90
1
c
-
6
9
2
v (z) = kg + c'
r
1

Scelta delle Costanti e Funzioni di Potenziale

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
1) Caso di una sola carica sorgente
Se
fisso
lim V()=0
12-00
lim M(M) =D
12-00
lin
1000
(
M
kg + c') = C'= 0
lim (
M-00
M
k990+ C) = 0
₹
1
1
C =0
C = 0
Se faccio questa scelta, allora
11(r) = 4990
r
V(x) = kq
r
90
8
In questo modo
M
1
00
W = (
F.dr = 11 (2) - M(00)
09
,
M
11 (r) è uguale al lavoro della forza elettrostatica quando qo si sporta da r
all'infinito
1

Energia Potenziale e Interazioni tra Cariche

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
1) Caso di una sola carica sorgente
u(m) = W
1000
7
/
7
Se la force è repulsiva
(99.70)
1+0 2 0 - 11 (M ) > 0
1
9
Se la forse è attrattiva
(99020)
90
8
W2-0 20 - uhr ) < 0
M
F
9
L'energia potenziale di un Sistema di due cariche è
positiva se le cariche si respingono, negativa se si
attraggono

Dimostrazione della Conservatività: Più Cariche Sorgenti

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
2) Caso di più cariche sorgenti (puntiformi)
R
de-îi
93
0
1
O
de
B
6
0
91
BM
W
AB
=
1
A
5
i=1
(kgiao mi). de =
2
1
legigo û .. de
M:2
=
E.
A
dri
= E.( -
legigo
Mi
B
A
1
=
+3kgigs
i Mi
A
- 2. 49:00
e
Mil
B
UA
MB
Il è semplicemente la somma delle energi potenziali delle coppie
(9091) (9092) .-
(90 qm)
la forre elettrostatica totale è
M
F = 2 F= = = k9,90 M;
1=1
i=1
2
Mi
B
hai90 dri
M.2
1,2

Calcolo del Potenziale per Più Cariche Sorgenti

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
2) Caso di più cariche sorgenti (puntiformi)
MA =
A
E: 49:90 + C
Mi
A
B
A
E.de
B
kain .. de
M2
M (F) = = k9:90 + C
1
Mi
VA - VB =
L
É = 2; É. = 2; kqi
=
1
1
-
2
i
= 2 hqi
Mi
L
A
E.
k91
Mi B
A
dri
De cui
V (E) = E. kai+ C!
1
Mi
A distanse infinita da TUTTE le cariche foro porre VIO e M=D
lim (E; kq:90+c) = 0
Mi-000
1
Mi
lim
(
E. kai +C') = 0
-
C = 0
1
Mi-00
Mi
> C=0
M (E) = == kai90
Mi
V (F) = 2; kq;
Mi

Notazione per Potenziale ed Energia Potenziale

Dimostro che la forza elettrostatica è conservativa e calcolo il potenziale
2) Caso di più cariche sorgenti (puntiformi)
M (E)= == kai90
Mi
V (F) = 2; kq;
Mi
In questa notazione, r è la posizione del punto in cui
trovo il potenziale (o in cui pongo qo), r; sono le distanze
dalle single cariche.
La seguente notazione è preferibile perché basta sapere le posizioni delle cariche
sorgenti r; e del punto dove calcolo il potenziale (o dove è collocate la carica qo di cui
calcolo l'energia potenziale), ossia r
V (F) =
5
kai90
11M-Till
91
E-ri
e
12
F
V (M) = E;
kai
K-Fill

Calcolo del Potenziale Elettrostatico: Distribuzioni Continue

Calcolo del potenziale elettrostatico (distribuzioni continue di carica)
V(FE)= [
J
Q
k da
LIFE-We'll
+ C'
2
P
1
花 ー ズ
12
da
de
12
1
1 に
C
Se metto go nel punto P
dv = k dg
11E- He'll
dq= p(F) dz
u(Fe)= 9.V(FE)
= [ kg(e) quiz
+ C
k p(F) dc
+ Cl
IN
Z

Potenziale di Distribuzioni di Carica Indefinite

Attenzione! Se la distribuzione di carica è indefinita, non posso imporre che il
potenziale sia zero all'infinito.
Esempio: campo generato da un piano indefinito carico
2€0
ux
Il potenziale risulta essere lineare con x, e diverge per x-> infinito
Pertanto lo si può porre uguale a zero a x=0, per esempio.
+
+
E = - 6 Ux
ZEO
E= = Qx
ZES
B
+
O
260 mm
XB
A
=
XX
dx = 5 (KB-KA)
A
VA- VB = ["E. drie =
A
+
B
X
VA-VB= - 0 xa - (- ZE*B) > VA =- = X4 + C
2€o
1VA= - 2E-XA+C'
V (x ) = - 5 x + cl
260
V
C
(0>0)
X
lim v(x) =
lin
x-00
-0 x+ C'
2Es
X-100
00
Per esempio fissando C'=0, V(x=) diventa 700
V(x)= - 260x

Potenziale Elettrostatico: Cariche Puntiformi

Potenziale elettrostatico creato da 1 carica puntiforme
M
P
È (2) = kaû
M2
9 0%
<
V (2) = Kq + A
M
Se V= O per M= 00
allora A = 0
Potenziale elettrostatico creato da più cariche puntiformi
M
9, 09.
Mi
P
È (P) =
1=1
E; (R)
=
4
4
1 = 1
kąiñi
Mi
9,0
1
Mi
93
V ( e ) = { V; (P ) =
3
i=1
2 k
kai
+
A
1 = 1
9,09.
P
1
9,0
-
n
MI
12
€( 右 )=2 Ei( 元 )=
1 = 1
1=1
11 元 一 斤 元
V (1) = Sia, Vi (P) =
i = 1
kar
11 2-Mill
. + A
0
offene
M
M
k q: (F-Fi)

Potenziale Elettrostatico: Distribuzioni Continue di Carica

Potenziale elettrostatico creato da distribuzioni continue di carica
P
dz
12
12
V (rc) =k ( p (ré") de + A
1 2-1'11
.
Se la distribuzione di cariche è limitata nello spazio, posso imporre che sia V=0
all'infinito, ponendo A=0
Se la distribuzione di carica è indefinita, non posso imporre che V sia nullo all'infinito

Energia Potenziale e Potenziale Elettrostatico

Abbiamo anche visto che se nel punto I quetto una carica 90
la na energia potenziale è 90 V (F)
-0 90 M(E)= gov(M)= k990+B
Singola carica sorgen
9
1
può cariche sorgenti
> %
0
O
O
0
distribuzione di carica
u(M) = q_ V(FE)=
E- 元
da
1
12
12
= [
kgoda + B
M (E)= 90V(r) = = k9,90+B
1=1
八 元 一 天 洲
Fli

Energia Potenziale Elettrostatica di un Sistema di Due Cariche

Energia potenziale elettrostatica di un sistema di due cariche (par. 2.3)
9,
92
T
FE2-MA
M
1
-
M 2
0
Se considero
9, sorgente
l'energia potenziale di q2 nel
compo di q, è'
M (92) = K9192
K
Solo
uguali
M12
Se comidero qu sorgentes l'energia
potenziale di 9, nel
compo di 92 è'
u (91) = k9291 /
MI2
l'energia potenziale del SISTEMA è
u = M (92) = M (91) = h9,92
M12
M = lavoro fatto delle forre elettrostatica quando
M12 -00
M (M12) = WM12-00

Energia Potenziale Elettrostatica di un Sistema di Cariche

Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche (par. 2.3)
92
MIZ ..
9,
M1
93
3
M = M12 + M13 + Uzz
= k 9,92
+
M12
k9,93 + K9293
M13
M23
Si può scrivere usando ma
sommatoria?
(ammettendo
che (=0)
M = 1 E
kaiqj
M
2 i=1
J&i
Mij
energia potenziale di
un sistema di un
cariche
è uguale al havao delle forre elettrostatica quando
tutte le cariche vengono portate a distanza reginuita

Variazione dell'Energia Potenziale in un Sistema di Cariche

Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche (par. 2.3)
U,(%) 2
-
90
9:5
U, (sistema)
92
93
9
C
92
U= U, (sistema) + U. (q))
Figura 2.13
Il sistema delle cariche saperti
ha energa potenziale
M
Msist " 2
i= 1
kgiaj
MIT
J#i
Se aggiungo 90, aggiungo l'energia
potenziale d' tutte le coppie (90, 9;)
Me (90) = Ek909:
i=1 Mi
MITOT = MsIST + Me (90)
Se le cariche sagenti sono fine e go si muove, ciò che
cambia è SOLO
Me (90)
AUTOT
=
Ausist + AVe (90)

Moto di una Carica in un Campo Elettrostatico

Moto di una carica in un campo elettrostatico (par. 1.7)
E
E
/
E
1w
-
- campo elettrico E (statico)
creato da un interno di
cariche sagenti.
- 90 mobile
-- 9%
E= 90€
Se
F
el
e
l'unica forra IF= mã
Fel= mã
à = Fe = 90€
m
all È
à é concorde a È se q>>o
à è apposta at È De 90CD
Vedere esempi 2.3 e 2.4

Conservazione dell'Energia nel Campo Elettrostatico

Moto di una carica in un campo elettrostatico: conservazione dell'energia
15
B
WAB =
lovas della forre elettrostatica
durante lo spostamento
de A a B
A
· WAR = MA- MB = 90(VA-VB)
Se Fel è l'unica forze agente, WAR= DEK
· WAB = EKB - ERA
Un - UB = EKD - EKO -
VA + EKA = UB + EKB
E
consentazione dell'energia meccanica
UVA+ ¿MIVA= MB+ EMVEZ-/NTB = NA + 2 (VA-UB)
m
NB>NA AC NA > MB
!