Il metodo dell'analisi dimensionale per la convezione in Fisica

Il metodo dell'analisi dimensionale

La relazione introdotta per il coefficiente di convezione è piuttosto complessa, h dipende infatti da otto parametri tra loro in generale indipendenti. Essendo così alto il numero di parametri in gioco, è difficile apprezzare come ognuno di essi possa esercitare la sua influenza. Inoltre, tale relazione generale tiene conto solo delle dipendenze di tipo diretto e, invece, ciascun parametro agisce sul fenomeno anche con azioni di tipo complesso. Ad esempio, la densità p che agisce sullo spessore dello strato limite, ha anche effetti sull'entità del calore trasferito per trasporto di massa; così come la viscosità u che, oltre ad agire in maniera prevalente sullo spessore dello strato limite, interviene anche sulla velocità di trasferimento della massa nel moto convettivo. Pertanto, sia per l'elevato numero di grandezze fisiche in gioco, che per le molteplici influenze che ciascuna di esse può esercitare sul fenomeno fisico della convezione, risulta difficile comprendere come poter intervenire (aumentare o diminuire) ai fini pratici sul valore di h.

Una ulteriore complicazione deriva dal fatto che la funzione generale di h, oppure le sue forme specifiche per convezione naturale e forzata, vanno considerate per ogni singolo fluido al fine di valutare h in funzione dei suoi parametri termofisici caratteristici; ogni situazione rappresenta dunque un caso a se stante. Inoltre, per ogni fluido, le diverse condizioni operative vanno analizzate singolarmente, infatti, il problema di un fluido che lambisce una parete piana è ben diverso, ad esempio, da quello di un fluido in moto all'interno di una tubazione.

Per superare le difficoltà appena descritte si può ricorrere ad un metodo generale della Fisica, noto come metodo dell'analisi dimensionale. Tale metodo consente infatti di ridurre il numero dei parametri che compaiono in una certa legge fisica e, inoltre, permette l'utilizzazione sistematica ed estesa dei risultati di carattere sperimentale. Le basi del metodo risiedono in un teorema fondamentale, il teorema di Buckingham, il cui enunciato può essere così suddiviso:

1. ogni legge fisica può essere espressa per mezzo di una relazione fra parametri adimensionali;
2. il numero n di questi parametri è pari alla differenza tra il numero di grandezze fisiche indipendenti p da cui dipende il fenomeno e il numero f di grandezze fisiche fondamentali necessarie per definire il sistema di unità fisiche adottato: n=p-f (1)

Nel caso specifico, ponendo la funzione generale di h in forma implicita come F(h, 2, a,p, p, y, u, l, 0) = 0, si ha che p = 9, mentre f = 5; le grandezze fondamentali necessarie per definire il sistema di unità fisico sono infatti lunghezza, massa, tempo, temperatura e quantità di calore. Pertanto, n = 9 - 5 = 4, e i quattro parametri adimensionali sono:

numero di Reynolds: Re = (p . u . l)/p numero di Nusselt: Nu = (h . [)/2 numero di Grashof: Gr = (a . g 0 . 13 . p2)/u2 numero di Prandtl: Pr = (y . u)/2

È pertanto possibile scrivere: F' (Re,Nu, Gr, Pr) = 0 (2) eliminando qualsiasi informazione riguardante la natura del fluido e, dunque, individuando una relazione valida per qualunque fluido. In altre parole, una volta individuata la F' e i coefficienti numerici che in essa compaiono per mezzo di esperienze effettuate utilizzando un certo fluido, considerando una configurazione sperimentale che risponde ai requisiti di similitudine meccanica e lavorando all'interno dei campi di variabilità sperimentati dei parametri adimensionali, la stessa F' potrà essere impiegata per calcolare il coefficiente di convezione relativo ad un altro fluido.

Significato dei parametri adimensionali

Numero di Reynolds

Come già detto, al di sotto di certi valori del numero di Reynolds, Re = (p . u . l)/u, il moto è laminare, mentre per valori superiori il moto turbolento; il numero di Reynolds rappresenta fisicamente il rapporto tra le forze d'inerzia Fi e quelle viscose agenti su una particella fluida che si muove con velocità u all'interno dello stesso fluido:

La forza inerziale infatti vale: Fi =m a ~ T2 (3) P ALL L La Forza viscosa (Sforzo a taglio) du Hh HAu (4) Dividendo la (3) per la (4) si ottiene proprio il numero di Reynolds. p AD u2 Re = u Au = p Lu μ

Numero di Nusselt

Il numero di Nusselt, Nu = (h. 1)/2, è l'unico parametro adimensionale in cui compare il coefficiente di convezione h, ovvero il parametro che si vuole determinare con lo studio del fenomeno della convezione, necessario per determinare la quantità di calore scambiata. Nell'ipotesi di fluido in condizioni di quiete, la trasmissione di calore avverrebbe soltanto per conduzione e il calore scambiato fra parete e fluido sarebbe:

= −q' = 2 (Tp -Tf) l (5) Ricordando che q =h . (Tp -Tf), dividendo il secondo membro della per il secondo membro della (5), si ottiene proprio il numero di Nusselt, il quale può quindi essere interpretato come il rapporto fra la quantità di calore effettivamente scambiata per convezione e la quantità di calore che sarebbe scambiata per conduzione con il fluido in quiete.

Numero di Grashof

Nella formulazione di Gr, compare il coefficiente di dilatazione cubica a, che è definito come:

a = 1 dV V = − 1 dp p dT (6) Se il campo di temperature (Tı-T2) ha ampiezza modesta, essendo pi e p2 le densità del corpo in corrispondenza di Ti e T2, a può essere considerato costante e pari a:

a = - 1 P2 - P1 p1 T2 -T1 (7) Considerando un volume di fluido l3, la forza peso a cui esso è soggetto alle temperature Tie T2 sarà rispettivamente:

F1 = p .g .13 ; F2 =P2.g.13 (8) Se il volume 13 è immerso in un fluido di densità pari alla densità iniziale pi, la spinta di Archimede SA non cambia (fig. 5) e, nel nuovo equilibrio delle forze, il volume l3 è soggetto ad una forza pari alla differenza F1-F2, che è proprio la spinta di galleggiamento SG:

SG = F1 -F2 = g . 13 . (p1- P2) (9) Considerando la (7), SG può scriversi come:

SG = a . p1 . g . 13 . (T2 -T1) (10) Generalizzando la (10), che è valida per qualsiasi densità e differenza di temperatura, si ha:

SG = a . p . g . 13 . 0 (11) Dividendo la (11), per l2 si ottiene la pressione di galleggiamento PG:

Pc = = = a .p .g.l.Q (12) Nella condizione di fluido in movimento verso l'alto, lo sforzo di attrito viscoso interno al fluido può essere calcolato con la (4) e il rapporto fra PG e questo sforzo di attrito viscoso è pari a:

= a . p . g . l . e . l PG T u . u (13) Esprimendo la velocità u in funzione del numero di Reynolds, u = (u · Re)/(pl), ricordando la definizione di Gr e le (12) e (13), si ottiene:

Gr =- 1 PG Re Fv (14) Fissate le condizioni di moto attraverso Re, dunque, il numero di Grashof rappresenta il rapporto fra la pressione di galleggiamento e lo sforzo di attrito viscoso. FI=SA FESA P= P 1 P=P2 F1 F2 T SG= F1- F2 Fig.4: Significato fisico del numero di Grashof

Numero di Prandtl

Il numero di Prandti, Pr = (y )/2, può essere considerato come il rapporto fra le grandezze fisiche (viscosità cinematica e diffusività termica del fluido) che rappresentano la capacità del corpo di diffondere quantità di moto e di trasmettere calore e che trovano attuazione in presenza di gradienti di velocità e di temperatura. Moltiplicando e dividendo l'equazione che definisce Pr per la densità p si ottiene:

Pr YDMY hp D (15) Essendo la diffusività D e la viscosità cinematica v rispettivamente:

D = 2 γρ v = μ p

Relazioni fra i parametri adimensionali

In questo paragrafo sono illustrate le caratteristiche delle principali formule generali che legano i diversi gruppi adimensionali e, inoltre, sono fornite una serie di formule di corrente impiego, riferite a casi specifici, con indicazione dei valori numerici delle costanti, i campi di impiego, al fine di illustrare come i procedimenti fino ad ora descritti possano consentire il calcolo effettivo del valore che è da attribuirsi di volta in volta al coefficiente di convezione, a seconda delle condizioni fisiche operative.

La relazione che lega tra loro i parametri adimensionali può essere scritta in forma esplicita come:

Nu = A . Re". PrB.Gry (16) Con i valori dei coefficienti A, a, B, y che possono essere determinati, per ciascuna situazione sperimentale, interpolando un certo numero di dati misurati.

Inoltre, nel caso di convezione naturale, la velocità del fluido, che è il risultato dei moti convettivi generati dalle differenze di temperatura, non è una variabile indipendente e non lo è neppure Re, l'unico parametro adimensionale in cui essa compare. Nu è dunque funzione dei soli numeri Pr e Gr e, con buona approssimazione, si può per essi adottare uno stesso esponente n:

convezione naturale: Nu = A . (Pr . Gr)" (17) Nel caso di convezione forzata, l'effetto della convezione naturale sulle condizioni di moto diventa trascurabile e, di conseguenza, il numero di Grashof, non influenza lo scambio termico. Nu può quindi essere espresso come funzione dei soli numeri di Re e Pr:

convezione forzata: Nu = A . Reª . Pr® (18) Inoltre, Pr, che contiene solo grandezze caratteristiche del fluido, varia in maniera poco significativa da un gas all'altro. Pertanto se il fluido è un gas, la (2) e la (3) posso essere ulteriormente semplificate:

convezione naturale in un gas: Nu = A· Gr" (19)

convezione forzata in un gas: Nu = A · Reª (20) Le relazioni viste in questo paragrafo sono applicabili all'interno degli intervalli numerici dei parametri adimensionali per i quali sono determinate le costanti a, B, y, n. Esistono poi relazioni specifiche per le varie configurazioni geometriche e i diversi regimi di moto di cui, nel seguito, vengono riportati alcuni casi in riferimento alle formule di impiego tra le più comuni nelle applicazioni tecniche.

Pareti verticali piane in Convenzione naturale

L'evidenza sperimentale mostra che nella convezione naturale il regime di moto è definito dal numero di Rayleigh (Gr Pr), che esprime il rapporto tra le forze di galleggiamento e il prodotto della viscosità per la diffusività termica del fluido:

Ra = uD ag · 0 . 13 . p . (21) La transizione tra moto laminare e turbolento è convenzionalmente fissata per il valore Ra = 109. In caso di regime di moto laminare sono utilizzate le seguenti relazioni:

104 < Ra <109 (22) Nu =0.677- Nu = 0.59 · Ra 0.25 0.952 + Pr Pr 0.25 · Ra 0.25 (23) In caso di regime di moto turbolento, trascurando dunque l'influenza dello strato laminare in prossimità della parete, sono utilizzate le seguenti relazioni:

Nu = 0.024 . Gr 0.4 . Pr 0.47 (1 + 0.464 . Pr 0.67 )0.4 (24) 1 Nu = 0.12 . Ra 3 (25)