Numeri Razionali e Introduzione ai Numeri Reali: Appunti di Matematica

Numeri Razionali e Introduzione ai Numeri Reali

Le Frazioni: Componenti e Tipi

LE FRAZIONI: Una frazione è un modo per rappresentare una parte di un tutto o il rapporto tra due numeri. Si scrive nella forma: - Componenti della frazione

• Numeratore (a) è il numero sopra la linea e indica quante parti consideriamo.
• Denominatore (b): è il numero sotto la linea e indica in quante parti è stato diviso il tutto.

Tipi di frazioni

1. Frazione propria: il numeratore è minore del denominatore 3 4
2. Frazione impropria: il numeratore è maggiore o uguale al denominatore 5 3
3. Numero misto: una frazione impropria espressa come somma di un numero intero e una frazione propria 12 3
4. Frazione apparente: rappresenta un numero intero perché il numeratore è un multiplo del denominatore 2 =2
5. Frazioni equivalenti: si riferisce a frazioni diverse che rappresentano lo stesso quoziente.

Operazioni tra Frazioni

1. Somma di frazioni Per sommare due frazioni, i denominatori devono essere uguali. Se non lo sono, bisogna trovare un denominatore comune. 1 Esempio: Sommiamo - e- 4 2 .

1. Trova un denominatore comune per 4 e 2. Il minimo comune denominatore (mcm) è 4.
2. Cambia le frazioni per avere lo stesso denominatore: - - -rimane 3 3 4 4 1 2 - 2
3. Somma i numeratori: 3 .2 5 + = = 4 4 4
4. Se il numeratore è più grande del denominatore, scrivi il risultato come numero misto: 5-1e1 1 4 5 4

1. Sottrazione di frazioni La sottrazione segue lo stesso principio della somma: serve un denominatore comune. diventa 4Esempio: Sottraiamo 3 4 1 e . 6

1. Trova il minimo comune denominatore (mcm) tra 4 e 6. Il mcm è 12.
2. Cambia le frazioni per avere denominatori uguali: 3 - diventa 9 4 12 - 1 diventa 2 6 12
3. Sottrai i numeratori: 9 2 7 12 12 12 - =

1. Moltiplicazione di frazioni Per moltiplicare due frazioni, si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro. Non serve trovare un denominatore comune. Esempio: Moltiplichiamo 2 4 3 per -.

1. Moltiplica i numeratori: 2 x 4 = 8.
2. Moltiplica i denominatori: 3 x 5 = 15.
3. Scrivi il risultato: 8 15

1. Divisione di frazioni Per dividere due frazioni, bisogna capovolgere la seconda frazione (scambiare numeratore e denominatore) e poi moltiplicare come si fa normalmente. Esempio: Dividiamo per -. 7

1. Capovolgi la seconda frazione: 7 diventa 8 8 7
2. Moltiplica le due frazioni: 3 8 24 × 5 7 35
3. Il risultato è: 24 35

1. Potenza di una frazione Elevare una frazione a una potenza significa moltiplicare la frazione per se stessa tante volte quante indica l'esponente. Sia il numeratore che il denominatore vanno elevati alla potenza. Esempio: Eleviamo - alla seconda potenza (esponente 2).

1. Eleva il numeratore alla seconda potenza: 22 = 4.
2. Eleva il denominatore alla seconda potenza: 32 = 9.3. Scrivi il risultato: 4 一 9

Proprietà delle Potenze

1. Proprietà delle potenze Le potenze hanno alcune regole o proprietà che aiutano a semplificare i calcoli. Vediamo le più importanti.

6.1. Prodotto di potenze con la stessa base

Se due potenze hanno la stessa base, possiamo sommare gli esponenti. Esempio: a2 x a3 = a2+3 = a5

1. Mantieni la base (a).
2. Somma gli esponenti: 2 + 3 = 5.
3. Scrivi il risultato: a5.

6.2. Quoziente di potenze con la stessa base

Se due potenze hanno la stessa base e vengono divise, possiamo sottrarre gli esponenti. Esempio: a5 + a2 = a5-2 = a3

1. Mantieni la base (a).
2. Sottrai gli esponenti: 5 - 2 = 3.
3. Scrivi il risultato: a3.

6.3. Potenza di una potenza

Se una potenza è elevata a un'altra potenza, possiamo moltiplicare gli esponenti. Esempio: (a2)3 = a2x3 = a6

1. Mantieni la base (a).
2. Moltiplica gli esponenti: 2 x 3 = 6.
3. Scrivi il risultato: a6.

6.4. Potenza di un prodotto

Se un prodotto è elevato a una potenza, ogni fattore del prodotto viene elevato alla potenza. Esempio: (ab)2 = a2 × b2

1. Eleva ogni fattore alla potenza.
2. Scrivi il risultato: a2 x b2.

6.5. Potenza di una frazione

Se una frazione è elevata a una potenza, sia il numeratore che il denominatore vengono elevati a quella potenza. Esempio: (2/3)2 = 22 / 32 = 4/9

1. Eleva il numeratore alla potenza: 22 = 4.
2. Eleva il denominatore alla potenza: 32 = 9.
3. Scrivi il risultato: 4/9.

Passaggio dai Numeri Decimali in Frazione

10 12 13 43 27 11 196 CA 28 180 18 40 9 Dai numeri decimali alle frazioni 197 ESERCIZIO SVOLTO Trasformiamo in frazioni i seguenti numeri decimali: 2,24; 1,24; 1,2. $1,0

Determina la rappresentazione decimale delle seguenti frazioni, effettuando le divisioni tra numeratore e denominatore. 198 1 2 4 6 5 33 [0,16; 0,4; 0,12] 200 8 7 [1,75; 2,6; 1,4] Come Passare dai Numeri Decimali alle Frazioni Questo documento spiega come trasformare un numero decimale in una frazione. Segui le procedure descritte per ogni tipo di numero decimale: finito, periodico semplice e periodico misto. 1. Numeri Decimali Finiti Un numero decimale finito è un numero che ha un numero limitato di cifre dopo la virgola, ad esempio: 2,24. Procedura:

1. Scrivi il numero senza la virgola al numeratore della frazione. 20,0 28 7 193 175 36 ESERCIZI 1 2 7 4 3 52. Scrivi al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola.
2. Semplifica la frazione, se possibile. Esempio: Numero decimale: 2,24 Numeratore: 224 (il numero senza virgola) Denominatore: 100 (1 seguito da 2 zeri, perché ci sono 2 cifre dopo la virgola) Frazione generatrice: 224/100 = 56/25.

1. Numeri Decimali Periodici Semplici Un numero decimale periodico semplice è un numero in cui una o più cifre si ripetono all'infinito subito dopo la virgola, ad esempio: 1,2 (periodico). Procedura:

1. Scrivi il numero senza il periodo al numeratore.
2. Scrivi al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
3. Semplifica la frazione, se necessario. Esempio: Numero decimale: 1,2 (periodico) Numeratore: 12 (il numero senza periodo) Denominatore: 9 (un 9 perché il periodo ha 1 cifra) Frazione generatrice: 12/9 = 4/3.

1. Numeri Decimali Periodici Misti Un numero decimale periodico misto ha una parte non periodica seguita da una parte che si ripete, ad esempio: 1,24 (con 4 periodico). Procedura:

1. Scrivi il numero senza la virgola al numeratore.
2. Sottrai dal numeratore la parte che precede il periodo.
3. Scrivi al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.
4. Semplifica la frazione. Esempio: Numero decimale: 1,24 (con 4 periodico) Numeratore: 124 (il numero senza virgola) Sottrai la parte non periodica (12): 124 - 12 = 112 Denominatore: 90 (un 9 per la cifra del periodo e uno 0 per la cifra dell'antiperiodo)Frazione generatrice: 112/90 = 56/45.

Rapporti, Proporzioni e Percentuali

Introduzione a Rapporti, Proporzioni e Percentuali

Rapporti, Proporzioni e Percentuali In questo documento scoprirai cosa sono i rapporti, le proporzioni e le percentuali. Le spiegazioni sono pensate per essere semplici e adatte a studenti di una prima superiore.

1. Rapporti Un rapporto è un confronto tra due quantità. Può essere scritto come una frazione, con due punti (:) o con le parole. Ad esempio, se ci sono 5 mele e 3 pere, il rapporto tra mele e pere è 5:3. Esempio: In una classe ci sono 15 ragazzi e 10 ragazze. Il rapporto tra ragazzi e ragazze è 15:10, che può essere semplificato dividendo entrambi i numeri per 5, ottenendo 3:2.
2. Proporzioni Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti. Ad esempio, 2:3 = 4:6. Questo significa che il rapporto tra 2 e 3 è uguale al rapporto tra 4 e 6. Proprietà delle proporzioni: . Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
• ** Invertire **: Scambiando gli estremi o i medi di una proporzione, rimane valida.
• ** Compore **: Sommare i termini corrispondenti (es. a+b con c+d) produce una nuova proporzione valida.
• ** Scomporre **: La differenza tra i termini funziona in modo simile alla somma. Esempio: Per la proporzione 5:10 = 3:6, il prodotto degli estremi (5x6) è uguale a quello dei medi (10x3), cioè 30.
1. Percentuali Le percentuali rappresentano un rapporto con 100. Ad esempio, 50% significa 50 su 100. Esempi di calcolo:
1. Per calcolare il 40% di 60, moltiplica 60 per 0,4 (40 diviso 100): 60 x 0,4 = 24.
2. Per sapere quale numero rappresenta il 20% di 100, dividi 100 per 5 (perché 20% è 1/5): 100 + 5 = 20. Le percentuali sono utili per calcolare aumenti o diminuzioni. Ad esempio, se un prezzo aumenta del 20%, basta moltiplicare il valore per (1 + 0,2). Se diminuisce del 20%, moltiplica per (1 - 0,2). Ora sai cosa sono i rapporti, le proporzioni e le percentuali e come calcolarli facilmente. Con un po' di pratica, potrai usarli ogni giorno in tante situazioni pratiche!

Unità 2: Numeri Razionali e Introduzione ai Numeri Reali

Problemi con le Percentuali

Unità 2 Numeri razionali e introduzione ai numeri reali Problemi con le percentuali Con le proporzioni 60 Tabella 2

Tipo di problema	Esempio	Senza le proporzioni
Data una percentuale e una totalità, calcolare la parte della totalità che corrisponde alla percentuale.	Calcoliamo # 40% di 60	Poiché 40% - 100 possiamo impostare il calcolo in due modi equivalenti: 2 .604-24 oppure: 40 2 0,4 5 P da cui ricaviamo: 40 . 60 24 Il 40% di 60 è dunque 24. 100 = Impostiamo la proporzione: 40 : parte l'incognita è la totalità
Data una percentuale e la parte di una totalità che corrisponde a quella percentuale, risalire alla totalità (problema inverso del precedente).	Se il 40% di un numero è 60, qual è il numero incognito?	Abbiamo visto nel problema precedente che per determinare il 40% di un numero basta moltiplicarlo per- 5 2. Viceversa, se conosciamo quanto vale il 40% di un numero, per determinare il numero incognito basta dividere quello assegnato per 2. Perciò il numero cercato sarà: 60: 3-60-5=150 Impostiamo la proporzione: p da cui ricaviamo: 100 - 60 =150 40 Ritroviamo così che il numero cercato è 150.
Determinare a quale percentuale corrisponde una parte di una totalità.	In una scuola di 560 studenti, ne sono stati promossi 448. Qual è la percentuale di promossi?	La frazione che esprime la parte di studenti promossi rispetto al totale è 448 560· ossia, riducendo la frazione ai minimi termini, 4. Scriviamo ora 5 da cui ricaviamo: 100 - 448 =80 x= 560 Ritroviamo così che la percentua di studenti promossi è l'80%. Matematica nella realtà Leggi elettorali proporzionali 100 Impostiamo la proporzione: × : 100 = 448 560 parte totalità l'incognita è la percentuale una frazione equivalente a 4 con denominatore 100: 4=4:20=100 La percentuale di studenti promossi è l'80%. 100 Impostiamo la proporzione: 40 : l'Incognita è la parte totalità

Se aumentiamo un numero x del p%, il numero diventa x + a x=x 1+ 1 dunque aumentare x del p% equivale a moltiplicare x per il coefficiente 1+ 1 Analogamente, diminuire x del p% equivale a moltiplicare x per il coeffic (1-P). 100 / numero x se x aumenta del p% diviene uguale a se x diminuisce del diviene uguale a Esercizi p. 86 100 (1-100) 100 100 40% di 60 =0,4 - 60 = 24