Tutorato di Algebra Lineare e Geometria con focus su coniche e regressione

Tutorato Algebra Lineare e Geometria

Tutorato Algebra Lineare e Geometria 10 Turno Borghesi: 29/05/2023 Turno Rossi: 31/05/2023 Tutor: Andrea Rivezzi andrea.rivezzi@unimib.it

Definizione di Conica

DEF: una conica è il luogo geometrico descutto da un semicono e un piano

Polinomio di Secondo Grado

DEF: il generico polinomio di secondo grado nelle variabili xy è g(x,y) = q,1 x2 + 90 x Y + 22 92 Y + q 13 X + 923/ + 933 ç

Proposizione sulle Coniche

Proposizione: L'insieme { (x,y) ER2, q(x,y) = 0 descrive una conica.

Teorema di Classificazione delle Coniche

Teorema di classificazione delle coniche: Sia q(x,y) un polinomio di secondo grado un x,Y e consideriamo le seguenti matrici A= 911 912/2 2 912 9.22 2 ) Aq = 911 912 913 2 9,12 922 923 2 2 913 2 923 933 2 2 1 2

Classificazione: Caso 1 (Conica non degenere)

Allora CASO 1 1 det Ag # 0 - · la carica é non degenere

Caso 1.1 (Iperbole)

CASO 1.1 detA< 0 : , attiene una iperbole

Caso 1.2 (Parabola)

CASO 1.2 det A=D: si ottiene una parabola

Caso 1.3 (Ellisse)

CASO 1.3 det A > O: si ottiene una ellisse

Classificazione: Caso 2 (Conica degenere)

CASO 2 det Ag=0 ; la conica è degenere

Caso 2.1 (Due rette incidenti)

CASO 2.1 det ALO 1 si ottengono - due rette incidenti ( due rette che si intersecano in 1 punto)

Caso 2.2 (Rette parallele)

CASO 2.2 det A = 0

Caso 2.2.1 (Due rette parallele distinte)

CASO 2.2.1 913 + 923 24 (911 +922) 93 ; Si ottengono due rette parallele distinte

Caso 2.2.2 (Due rette parallele e coincidenti)

CASO 2.2.2 2 913 + 923 = 4 (911 + 922) 933 : Si ottengono due rette parallele e coincidenti.

Caso 2.2.3 (Insieme vuoto)

CASO 2.2.3 9/13 + 9/23 < 4 (9/11 + 92) 933 : Si ottiene l'insieme vuoto

Caso 2.3 (Un punto)

CASO 23 det Az0 1 si ottiene . un punto

Esempio di Classificazione di Conica

1 Dire a quale famiglia della classificazione precedente appartiene la cauca associata al palinanno g(x) = 2x2 +3y2-7xy-3x-y-2

Soluzione: Costruzione delle Matrici

Soluzione ; costruiamo le matrici A e Aq A=() 1 2 - 7/2 - 7/2 3 11 2 -7/2 - 3/2 -7/2 3 -1/2 -3/2 -1/2

Calcolo del Determinante di Aq

Calcolo il determinante di Ag con la regola di Saurus: 2 -7/2 3/2 2 -7/2 12 -7/2 2 3 -3/2 - det Ag= - 12-21-21 - 8 (2+ 麦 、 98 4 -96-42-54-4+196 = 8 la conica é - degenere < 0 4 2 Pertanto sì tratta di due rette incidenti,

Calcolo del Determinante di A

det A = 6- 49 Ag= -2 1

Regressione Lineare Semplice in R2

Regressione lineare semplice in IR 2 Sia (xi, Vi ) } i = 1,-n una nube di punti in IR2. La regressione si occupa di determinare una curva che approssimi nel miglior modo" questi dati 1 < C Nella repressione lineare tale curvo é una retta. In questo caso, approssimare nel miglior modo Significa che la distanza media tra i punti è la retta è minare possibile.

Teorema della Soluzione di Regressione Lineare

Teorema: ensta una unica soluzione al problema di regressione lineare e la soluzione è data dalla Metta Y = Bo ++1 X, dove - 0 y - B 1X B1 = 2 (xi-x) (yi->) i=1 1 E (xi-x)? i=1 M X 슈 도 5=1 Xi (media delle x) - Y= (media delle y) 1 2 Yi i=12

Esempio di Regressione Lineare

Consideriamo 1 seguenti dati A= (2,4) B= (1,10) C= (3,1) stabilire se sono allineati 5 b) Trovare la retta di regressione

Soluzione: Verifica Allineamento Punti

Soluzione : ricordiamo che un insieme di punti Si dice allineato se enste una retta che passa per tutti tali punti. @ Calcoliamo la retta passante per A e B e vediamo se C vi appartiene; X- XA Y-YA XB - XA YB-YBX-2 Y- 4 1-2 10-4 L X+2 = Y-4 6 C vi appartiene : ? 1 = - 18+16 NO , tre punti non sono allineati

Soluzione: Calcolo della Retta di Regressione

b - X = 2+1+3 = 2 3 4+10+1 =5 = y 3 O + (1-2) (10-5) + (3-2) (1-5) = - % - 2 n 1 = 2 + (1-2)2 + (3-2)2 Bo = 5 + % . 2 = 14 y = - 6x+16 Vediamo se - =0 1=> la retta di regressione è - y = 14 - 9/2 x