Sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas para universidad

Introducción a Sucesiones y Progresiones

Justificación de la Elección del Tema

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, en el tema que desarrollaremos a continuación, las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas tienen gran cantidad de aplicaciones en la vida real, algunas de ellas son, el famoso cálculo de interés simple y compuesto, el cálculo de fracciones generatrices y la influencia de estas progresiones en los logaritmos. Estas aplicaciones por su importancia, la veremos en el desarrollo del tema.

Reseña Histórica de Progresiones

Ya en el álgebra babilónica o egipcia aparecen problemas de progresiones, aunque son casos concretos sin formulación general. Tal y como hace referencia en el libro de Carl B. Boyer: Historia de la matemática, en el libro VIII de los ` ` Elementos' ' de Euclides (S.III a.C) aparecen progresiones acerca de números en proporción continua y en progresión aritmética. La mayor parte de las propiedades de las progresiones habían aparecido sistematizadas por primera vez en una obra sobre álgebra de Rudoff (S.XVI). La fórmula de la suma infinita de términos de una progresión geométrica cuando la razón es menor que 1 fue dada por Euler (S.XVIII). Respecto al concepto de límite fue Cauchy (S.XIX) quien, partiendo del concepto de límite definido por D' Alembert (S.XVIII) y dotándolo de un carácter más aritmético, dió su definición tal y como la conocemos hoy.

Concepto de Sucesión Matemática

Definición Sea N* = N - {0} y sea H un conjunto cualquiera. Una función A: N* - > H recibe el nombre de sucesión de elementos de H. A: N -> H n - А(n) Si H es N, Z, Q, R o C, la sucesión recibe el nombre de sucesión de números naturales, enteros, racionales, reales o complejos, respectivamente. Cada imagen A(n) se representa por an, y denotamos a la sucesión {a1, a2, a3, ... } por {an}. Llamemos recorrido de la sucesión al conjunto imagen de la función que la define. Nota No debemos confundir el recorrido con la propia sucesión. Por ejemplo, si consideramos la sucesión {(-1)"} el recorrido es {-1,1} y la sucesión es -1,1, -1,1, ... . Página 2 de 11

Término General de una Sucesión

Definición Se denomina término general de una sucesión A a una expresión matemática en función de n que permite calcular cualquier término de la sucesión partiendo del lugar que ocupa en la misma. Se designa por an = A(n). Una sucesión puede expresarse abreviadamente como {an}nEN*, (an)nEN* O simplemente {an} 0 (an). También se puede representar mediante la expresión propia del término general, {A(n)}. Ejemplos: · La sucesión {an} = {n} es: 1,2,3, ... , n, ... · La sucesión {bn}= {(-1)}} es: - 1,1,-1, ... ,(-1)", ... No siempre es posible hallar el término general de una sucesión.

Sucesiones Recurrentes

Definición Dada la sucesión numérica {an}, si ak E N y unos números a1, ... , ak tal que desde un cierto n en adelante se tenga: an+k = @1 . an+k-1 + @2 . an+k-2 + ... + ak . an (*) diremos que es una sucesión recurrente de orden k, y la ecuación (*) que la define se denomina ecuación recurrente de orden k. Dicho de otra forma, todo término de una sucesión recurrente a partir de uno determinado, se puede expresar en función de los k anteriores. Veamos un ejemplo clásico: La sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8, ... es una sucesión recurrente de orden 2, ya que: a1 = @2 = 1 an+2 = an+1 + an para n ≥ 3

Anillo de Sucesiones Reales

Definición Sean {an} y {bn} dos sucesiones cualesquiera de números reales: 1) La sucesión suma ({an + bn}) se define como: {an + bn}: N -> R nHan + bn 2) La sucesión producto ({an · b}) se define como: {an . bn}: N -> R nHan . bn Teorema Sea S el conjunto de las sucesiones de números reales. Entonces (S, +,.) tiene estructura de anillo conmutativo unitario. Página 3 de 11

Convergencia y Divergencia de Sucesiones

Definición Se dice que una sucesión {an} de elementos en un cuerpo ordenado k converge hacia un elemento a E k si: VE > 0 (&Ek), Eno EN (no = no(€))/lan - al < &, Vn ≥ no n->00 y se escribe: lim an = a Ó an -> a. n->00 En este caso diremos que la sucesión es convergente. Teorema Una sucesión convergente tiene un único límite. Definición Diremos que una sucesión {an} de elementos en un cuerpo ordenado k diverge a +00 (-0) si: Vm > 0 (m < 0), m E k, Eno E N (no = no (m))/an > m (an

Propiedades de las Sucesiones Convergentes

Proposición Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes tales que lim an = a y lim bn = b, entonces: n->00 1) lim (an ± bn) = a +b 2) lim (an · bn) = a . b n>00 3) lim () = = si bn # 0, Vn € Ny b # 0

Propiedades de las Sucesiones Divergentes

Proposición Sean {an} divergente y {bn} convergente hacia b, entonces: 1) {an + bn} es divergente 2) {an · bn} es divergente, si b # 0 3) an! es divergente 4) es convergente a 0 Lar Página 4 de 11

Proposición Sean {an} y {bn} divergentes, entonces: 1) Si lim an = +% y lim bn = +00, entonces lim (an + bn) = +00 n>00 n->00 2) Si lim an = - o y lim bn = - 0, entonces lim (an + bn) = - 00 n->00 n->00 n>00 3) {an · bn} diverge a +00 0 -0, según la regla de la multiplicación de los signos

Sucesiones Monótonas y Acotadas

Definición Una sucesión real {an} se dice monótona creciente (decreciente) si Vn E N, an ≤ an+1 (an ≥ an+1). En ambos casos, si no se da el signo igual, la monotonía se llama estricta. Definición Dada una sucesión real {an}: 1) Está acotada superiormente > 3m E R / an < m, Vn E N 2) Está acotada inferiormente > 3m E R / an > m, Vn E N 3) Está acotada > 3m E R / |anl < m, Vn EN Teorema (Teorema de Weierstrass) Sea {an} una sucesión real monótona creciente (decreciente) y acotada superiormente (inferiormente), entonces {an} es convergente.

Sucesiones de Cauchy

Definición Una sucesión {an} se dice que es una sucesión de Cauchy si VE > 0 3ng E N / Vm, n EN con m, n ≥ no, entonces lam - anl < ¿. Es decir, las sucesiones de Cauchy serán aquellas para las que sus términos están cada vez más cerca unos de otros a medida que avanzamos en la sucesión. Proposición 1) Toda sucesión convergente es de Cauchy. El recíproco no es cierto. 2) Toda sucesión de Cauchy está acotada. Definición Diremos que un conjunto es completo si toda sucesión de Cauchy en el conjunto es convergente (y su límite pertenece al mismo). Ejemplos: Conjuntos completos: R, todo intervalo cerrado de IR, ... Conjuntos no completos: R - {0}, Q, ... Página 5 de 11

Cálculo de Límites de Sucesiones

Teorema (Criterio de Stolz) Sean {an}, {bn} c R dos sucesiones tales que {n} es estrictamente monótona y además se cumple alguna de las siguientes condiciones: 1) lim bn =+00 n>00 2) lim bn =- 00 3) lim an = lim bn = 0 n->00 n->00 Entonces, siempre que lim an-an-1 = L exista, para L finito o infinito, se tiene: n->co bn-bn-1 lim ªn = lim an - an-1 - L n->co bn - bn-1 Proposición (Aplicación del criterio de Stolz: Regla de la raíz) Sea {an} c R una sucesión de términos positivos tal que 3 lim n->co an-1 an - = L > 0 0 +0, entonces 3 lim n/an = L. n->00

Progresiones Aritméticas

Definición Llamaremos progresión aritmética a toda sucesión {an} tal que an+1 = an + d, d E R, n EN *. Llamaremos diferencia a la constante fija d. Nota Una progresión aritmética es una sucesión recurrente de orden 2, ya que: Ecuación recurrente de una sucesión de an+2 = an+1 + d an+1 = an + d an+2 - an+1 = an+1 - an = an+2 = 2an+1 - an recurrencia de orden 2 Teorema Sea {an} una progresión aritmética de diferencia d, entonces: 1) an = am + (n - m) · d. En particular: an = a1 + (n - 1) · d. 2) a1+k + an-k = @1 + an, es decir, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de estos. 3) Sn = a1 + ... + an = (a1+an).n 2 Demostración 1) am+1 = am + d am+2 = am+1+d am+3 = am+2 + d : an = an+1 + d an = am + (n - m) . d + Página 6 de 11

2) Sean a1, a2, ... , an n-términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia d. Si a1+k Y an-k son dos términos equidistantes de los extremos, entonces: a1+k = @1 + k · d ; an-k = an - k · d => a1+k + an-k = @1 + an 3) Sea Sn la suma de los n primeros términos de la progresión: Sn = @1 + @2 + ... + an-1 + an Sn = an + an-1 + ... + @2 + a1 + 2Sm =(a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + @2) + (an + a1) Por la demostración 2): 2Sn = n . (a1 + an) = Sn = (a1 + an) · n 2

Interpolación Aritmética

Definición Interpolar k-medios diferenciales entres dos números dados a y b es hallar k-números tales que junto a los dados formen una progresión aritmética cuyos extremos sean a y b. Observación Para hallar los referidos medios bastaría conocer la diferencia d de la interpolación. Así, en la progresión aritmética a, a1, a2, ... , ak, b de k + 2 términos, tenemos que: b = a + (k +1) . d =>d =; b - a k + 1

Progresiones Aritméticas de Orden Superior

Definición Sea {an} una sucesión. Se define el operador diferencia (4) como Aan = an+1 - an. En general, el operador diferencia de orden k, k E N*, se define como: 4kan = 4k-1an+1 - Ak-1an. Definición Llamaremos progresión aritmética de orden k, k E N*, a toda sucesión cuyo término general viene dado por un polinomio en n de grado k: an = ak . nk + ak-1 . nk-1 + ... + a1 . n + ao, Vn EN*, ai ER Las progresiones aritméticas de orden k están caracterizadas por tener nulas sus diferencias finitas de orden superior a k. Nota Las progresiones aritméticas ordinarias son progresiones aritméticas de primer orden. Teorema Sea {an} una progresión aritmética de orden k. Entonces: 1) Término general (Fórmula de Newton): an =(n-1)a+("-1) Das +(" 42a1 + ... + n - 1) k - Página 7 de 11