Lezione 13: Statica dei Fluidi, concetti di densità e pressione

Statica dei Fluidi: Introduzione

Un fluido è un insieme grande di molecole posizionate casualmente e tenute assieme da deboli forze di coesione ed eventualmente dalle pareti di un contenitore. Deboli vuol dire non sufficienti a tenere due molecole specifiche una vicina all'altra nel tempo. In generale, nei fluidi ricadono sia i gas che i liquidi, ma i fluidi ideali che costituiranno il nostro sistema modello di partenza sono più vicini ai liquidi che ai gas.

Quando parliamo di meccanica dei fluidi parliamo di quelle proprietà che troviamo comuni tra gas e liquidi, è chiaro che poi oltre queste proprietà comuni gas e liquidi si distinguono per altre proprietà. Con la meccanica dei fluidi cominciamo ad avvicinarci a metodologie che ci permettono di studiare grandi numeri di molecole senza descriverne il comportamento dettagliato ma solo il loro comportamento collettivo. Questo è importante perché molti sistemi che osservati a livello microscopico sembrano essere troppo complessi da studiare, si comportano invece collettivamente in maniera piuttosto semplice.

Quantità Tipiche Misurate in un Fluido

Densità

Le quantità tipiche che misuriamo in un fluido sono: Densità: data una regione di spazio la densità è definita come la massa presente in quella regione di spazio diviso il volume della stessa; quindi, in generale la densità è una funzione dello spazio e anche del tempo:

p(R(t),t) =m(R(t),t)/V(R(t)) Kg/m3

Pressione

Pressione: per pressione intendiamo l'applicazione di una forza normale ad una superficie, nel caso di una forza di taglio, solo la componente normale alla superficie viene descritta in termini di pressione.

p(R(t),t) = |F1(R(t),t)| A(R(t)) L'unità di misura è [p] = N = [Pa], Pascal. Oltre al Pascal ci sono altre unità di m2 misura per la pressione, ad esempio l'atmosfera [atm]: 1 atm = 1.013 x 105 che 1approssimiamo spesso a 105 Pa. In generale la pressione è il risultato di una forza applicata su un'area specifica e quindi dipenderà dalla posizione e dal tempo.

Semplificazioni per il Fluido Ideale

Per iniziare chiariamo che semplificazioni stiamo utilizzando nel descrivere il "fluido ideale":

• Non viscoso (non ci sono forze di attrito ne all'interno del fluido ne con corpi esterni, le uniche forze che possono agire sul fluido sono quelle perpendicolari alla superficie)
• Incomprimibile e omogeneo (la densità del fluido è costante nel tempo e uguale in tutti i suoi punti): m

Quando diciamo che il nostro fluido ideale è privo di viscosità questo implica che nel caso di una forza di taglio, la componente non normale non ha nessun effetto sul fluido, cioè non siamo in grado di influenzare il moto del fluido con delle forze esterne (non possiamo creare onde, correnti, ecc.) possiamo solo applicare una pressione.

Si può ottenere una pressione forte applicando una forza su una superficie molto piccola, ad esempio un ago, o si può ridurre molto la pressione applicando una forza su una superficie molto larga, ad esempio le racchette da neve permettono di distribuire la nostra forza peso su una superficie maggiore.

Pressione Atmosferica

La pressione a cui siamo maggiormente abituati è quella atmosferica: in prima approssimazione, se consideriamo l'aria nell'atmosfera terrestre come un fluido ideale, sottoposta ad una forza di gravità costante con accelerazione g=9.81 m/s2, allora a livello del mare, su un metro quadrato di superficie appoggerà circa una colonna di 10300 kg, che quindi applicherà una forza peso di 101000 N e una pressione di 101000 Pa. La pressione effettivamente misurata sarà una variazione di questo numero dovuta a fattori come altitudine, latitudine e condizioni atmosferiche (temperatura, umidità, correnti, ecc.)

Che forza sostiene un vetro di una finestra? Consideriamo una finestra con superficie di 1 m2. Se la pressione atmosferica vale 105 Pa, allora la forza sarà F=pA 2= 1 x 105 = 105 N. Ma una finestra non deve davvero sostenere questa forza piuttosto grande perché la pressione agisce da entrambe le facce di una finestra e quindi le forze normalmente si sottraggono a zero, quando non lo fanno le finestre "sbattono". La differenza di pressione è anche il principio di funzionamento delle ventose; infatti, facendo il vuoto all'interno di una ventosa la pressione atmosferica genera forza da un solo lato della ventosa.

Il nostro corpo è abituato alla pressione atmosferica; infatti, quando subiamo differenze di pressione troppo improvvise, immergendoci o salendo in montagna troppo in fretta, o in aereo ecc., allora ne sentiamo l'effetto.

Esempio: Sfera Cava

Esempio: Una sfera cava con il vuoto all'interno, di raggio 1 m è composta da due semisfere separabili, qual è la forza necessaria a separarle?

Po == A F 4TR2 - = 105 Pa F = Po4TR2 = 1.2 × 106 N

Legge di Pascal

Legge di Pascal: Una pressione applicata sulla superficie di un fluido si trasmette egualmente a tutti i punti fluido ed al contenitore. Cioè in un fluido:

p(t) = |F1(t)| A(t)

Cosa vuol dire? Pensate la differenza tra premere con un dito sul tavolo e premere con un dito su un gavettone, c'è differenza nel modo in cui si trasmette la pressione? Se applichiamo pressione ad un fluido dentro un tubo da un'estremità del tubo questa agisce sul fluido ovunque nel tubo e infatti il fluido poi esce dall'altra estremità.

Pompa Idraulica

Usiamo questo principio per costruire una pompa idraulica: 31 Se applichiamo una forza F1 sulla superficie A1 (a sinistra), con il contenitore riempito di fluido, che spinta otteniamo a destra (superficie A2)? Consideriamo ad esempio un peso di 20 kg appoggiato a sigillare e spingere la superficie A1=0.5 m2, e A2=2 m2 Dato che la pressione deve essere la stessa ovunque otteniamo che:

F1 L= P = A1 A2 F2 F2 = F1 A2 A1

Usando F1=20g=20 x 9.81, troviamo F2= 20 x 9.81 x 2 / 0.5 = 784.8 N dividendo per g vediamo che con il nostro peso da 20 kg siamo in grado di sollevare un peso di 80 kg. Il volume di fluido spostato da sinistra verso destra deve essere lo stesso, quindi vediamo che:

ΔΧΙΑ1 = ΔΧΖΑ2

Dove 4x1 è lo spostamento verso il basso a sinistra e 4x2 è lo spostamento verso l'alto a destra e quindi moltiplicato per la superficie corrisponde al volume di fluido spostato. Da cui il fluido a destra sale di:

1 AX 2 = 1 DX1 = = Ax 1

Questa condizione fa si che il lavoro fatto dalla forza F1 sia lo stesso fatto dalla forza F2, cioè che non si stia creando energia dal nulla, infatti:

L2 = F2Ax2 = F1 A2 A1 A1 A2 4x1 = F14x1 = L1 4Teorema di Stevino

Teorema di Stevino

Questa legge descrive come cambia la pressione di un fluido sottoposto alla forza di gravita in funzione della profondità. Prendiamo un contenitore riempito di fluido e aperto in superficie:

Se consideriamo un cilindro di base A e altezza h Po variabile di fluido come quello nel disegno questo sente la pressione atmosferica Po agire in tutti i P = Po + mg/A = h = Po + pV g/A = = Po + pgh punti (legge di Pascal). La base del cilindro sente inoltre la forza peso risultate dalla massa al di sopra che applica una pressione mg/A, vedi disegno. Cioè la pressione aumenta con la profondità. Questa formula esprime il concetto banale che più fluido c'è sopra la tua testa più pressione senti.

La pressione viene spesso misurata in atmosfere, ad esempio sugli orologi impermeabili all'acqua c'è scritto fino a quante atmosfere possono sostenere. A che profondità può arrivare un orologio che regge 5 atm?

P = Po + pgh Voglio trovare h per cui P=5+1 atm = 6 105 Pa (tutti gli orologi resistono almeno alla pressione atmosferica) h = 9.81 103 5 105 = 49.6 m, indicativamente, in acqua, ogni atmosfera corrisponde a 10 m di profondità.

Fluidi Non Miscelabili

Fluidi non miscelabili: Sono fluidi che rimangono separati con un'interfaccia sempre identificabile.

Esempio 1: Acqua e Olio

Esempio 1: Se riempiamo un contenitore per metà d'acqua e per metà d'olio quale sarà la pressione sul fondo?

541 1 420 N Po + A + Ay = F m1g m2g A1 Pigh1A1 + P2gh2A2 A2 = Po + P1gh1 + P2gh2

Esempio 2: Vasi Comunicanti

Esempio 2: due fluidi distinti e immiscibili, con densità diverse, sono versati dalle due bocche di dei vasi comunicanti di uguale 4 dimensioni, come si equilibrano i due fluidi? All'equilibrio la pressione all'interfaccia deve essere la stessa per entrambi i liquidi, questo perché la forza deve essere la stessa in verso opposto in modo da sommarsi a zero.

1 INTERFACCIA Po + Pigh1 = P = Po + P2gh2 Quindi: p1h1 = P2h2 e h1 = 22 h2 P1

Il fluido più denso spingerà il fluido meno denso facendolo salire. Possiamo usare un setup di questo tipo per misurare la pressione atmosferica? Cosa succede se come fluidi usiamo l'aria e un fluido denso e tappiamo una delle due aperture, facendo il vuoto?

Barometro di Torricelli

Il barometro di Torricelli

VUOTO P=0 To Po 2 Po In questo caso la pressione atmosferica spinge verso l'alto un volume di mercurio, p = 13.579 × 103 kg m3' all'interno del tubo che è inizialmente vuoto e quindi non ha pressione interna. PoA con A la superficie del tubo è la forza che solleva una quantità pVg di mercurio:

POA = pVg 6V Po = P7g = pgh Po h = = 1.013 × 105 = 0.760 m pg 13.579 × 103 ×9.81

Nel caso della pressione atmosferica e del mercurio questo si solleva quindi di 760 mm, i mmhg (millimetri di mercurio) sono un'altra unità di misura classica della pressione

Esercizio: Pressione del Sangue

Esercizio

ESERCIZIO Quanto cambia la pressione del sangue alla testa ed ai piedi di una persona, ferma in piedi, alta 1.8 m? Considerate la densità del sangue come p=1.05 103 kg/m3, il cuore ad una altezza di 1.35 m ed una pressione dovuta alla spinta del cuore di 100 mmhg.

Esercizio - Soluzione

Esercizio - Soluzione Alla testa avremo: Ptesta = Pcuore - pg (htesta - hcuore) Ai piedi: Ptesta = Pcuore + pg (hcuore - hpiedi) Trasformiamo il valore di Pcuore in Pascal: Pcuore = 760 mmhg 100 mmhg × 1.013 ×105Pa = 1.33 × 104Pa Ptesta = 1.33 x 104 - 4635 = 8600 Pa X 1.013 × 105 Pa 760 mmhg 65 mmhg 760 mmhg Ppiedi = 1.33 x 104 + 13905 = 27100 Pa X 1.013 × 105 Pa = 202 mmhg

La nostra testa sente una pressione sanguigna minore dei nostri piedi, questo è uno dei motivi per cui non ci piace stare a testa in giù; infatti, aumenta troppo la pressione al cervello e diminuisce troppo quella ai piedi rispetto alle pressioni a cui i tessuti locali sono abituati. Perché la pressione si misura al braccio?

Principio di Archimede

Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido subisce una forza di galleggiamento verso la superficie pari alla forza peso della quantità di fluido spostata.

B = - Pfluido Vspostato g 7