Misure di Tendenza Centrale: media, mediana e moda in statistica

Misure di Tendenza Centrale

5
8
110
q
1
001

MISURE DI TENDENZA
CENTRALE
I
70
09
1
0
12
72
0 90° 80 70 60
120 110 100 90°
10
11
120
1
6

Media, Mediana, Moda

• Media > Indica il punto centrale di una distribuzione tale per cui la somma degli scarti al di sotto
  di questo valore è uguale alla somma degli scarti al di sopra di esso.
• Mediana > Indica il valore ce divide la distribuzione in modo tale che il 50% dei dati cade al di
  sotto e il 50% cade al di sopra di esso.
• Moda > Indica il valore più frequente di una distribuzione di dati.

Tali indicatori sono fondamentali poiché ci danno informazioni sulla centralità della distribuzione.
Punteggio (osservazione, valore) attorno al quale tendono a raggrupparsi la maggior parte dei valori
individuali.

Indice di Tendenza Centrale per Scala

INDICE DI TENDENDA
CENTRALE

SCALA
NOMINALE

SCALA ORDINALE

SCALA
INTERVALLI

SCALA RAPPORTI

Moda
X
X
X
X
Mediana
X
X
X
Media
X
X

Calcolo della Media

MEDIA
1
L

La media è data dalla somma di tutti i valori della distribuzione divisa per il numero totale dei casi che la
compongono.
· si indica con M per i campioni.
· si indica con u quando ci si riferisce alla popolazione.
Media Aritmetica (M)= sommatoria di tutti i punteggi osservati Exi diviso il numero complessivo di punteggi
N.

Media per Dati Grezzi

· Dati grezzi:
M =
Ex;
'

Media per Dati in Distribuzione di Frequenza

%
•
Dati in distribuzione di frequenza:
Exifi
M =
u = -
Exifi
'

%

Esempio di Calcolo della Media

Esito esame di psicometria.
Vogliamo calcolare la media della
distribuzione
X = {23, 25, 27, 27, 19, 30, 30, 28,
26, 24, 29, 27, 25, 22, 18, 20, 21, 23,
25, 26, 30, 29, 28, 27, 21, 17, 15, 13,
23, 22, 20}

(xi)
(fi)
(xifi)
13
1
13x1 = 13
15
1
15x1 = 15
17
1
17x1 = 17
18
1
18x1 = 18
19
1
19x1 = 19
20
2
20×2 = 40
21
2
21x2 = 42
22
2
22×2 = 44
%
23
3
23×3 = 69
24
1
24x1 = 24
25
3
25×3 = 75
26
2
26×2 = 52
27
4
27×4 = 108
28
2
28x2 = 56
29
2
29×2 = 58
30
3
30×3 = 90
Tot
31
740

Punteggio Esame Psicometria
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
13
15 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26
27 28
3 29 30
Punteggio Esame Psicometria

Exifi
M =
%
Exifi = 740
n = 31
> 740/3 1 = 23,87
Exi
M =
Ex ;= 740
n = 31
> 740/3 1 = 23,87

Tipi di Medie

TANTI TIPI DI MEDIE ...
Media ponderata: Si calcola moltiplicando ciascun valore per un peso associato e sommando i prodotti. È utile
quando alcuni valori hanno maggiore importanza di altri.
Media geometrica: Si calcola moltiplicando tutti i valori e poi facendo la radice n-esima del prodotto, dove n è
il numero di valori. È utile per dati che crescono o diminuiscono esponenzialmente.
Media armonica: Si calcola dividendo il numero di valori per la somma reciproca dei valori. È utile per dati che
rappresentano rate o velocità.
Media quadratica: Si calcola facendo la radice quadrata della media dei quadrati dei valori. È utile per dati che
rappresentano grandezze fisiche.

Calcolo della Mediana

MEDIANA
DE' rappresentata dal valore che occupa la posizione
centrale della distribuzione osservata, ossia dal valore
che divide la distribuzione in modo tale che il 50% dei
casi cadano al di sotto e il 50% al di sopra di esso.
Se abbiamo una serie di dati grezzi, come si calcola la
mediana?

1. Si ordinano i valori in modo crescente (dal più
   piccolo al più grande)
2. Si calcola la posizione della mediana.
3. Si individua il valore corrispondente alla
   PosMe

Posizione della Mediana

Casi Pari ->
~< PosMe <2+ 1
Casi Dispari >
PosMe =
N +1
2

(xi)
(fi)
(f cum)
13
I
I
15
I
2
17
I
3
18
4
19
I
5
20
2
7
21
2
9
22
2
23
3
14
24
I
15
25
3
18
26
2
20
27
4
24
28
2
26
29
2
28
30
3
31
Tot
31
PosMe = (31 + 1) / 2 = 16
> Mediana = 25

Esempio di Mediana con Giudizi Scolastici

Si vuole individuare la mediana della seguente serie di 11 giudizi scolastici (N=11):
buono buono suff suff insuff suff buono ottimo buono distinto buono

1. Pongo le osservazioni in ordine crescente:
   insuff suff suff suff buono buono buono buono buono distinto ottimo
2. Calcolo le frequenze e le frequenze cumulate

GIUDIZIO
f
f cum
Insufficiente
1
1
Sufficiente
3
4
Buono
5
9
Distinto
1
10
Ottimo
1
Totale

1. Calcolo la posizione della mediana
   PosMe = (11+1)/2 = 6
   N +1
   PosMe =
   2
2. Cerco questo valore (posMe) nella colonna delle f. cumulate e individuo il
   valore/categoria corrispondente.

GIUDIZIO
f
f cum
Insufficiente
1
1
Sufficiente
3
4
Buono
5
9
Distinto
1
10
Ottimo
1
Totale
11

Il valore 6 non è presente
nella nostra distribuzione di
frequenza cumulata. Per
questo motivo, si considera
il valore che lo comprende,
ovvero 9.

Mediana e Frequenza Cumulata

Data una distribuzione di frequenze, la posizioni che ciascuna osservazione ha
nella distribuzione originaria è espressa tramite la frequenza cumulata
Ricordate la nostra distribuzione originaria?
insuff suff suff suff buono
buono
buono buono buono distinto ottimo

GIUDIZIO
f
f cum
Posizione
Insufficiente
1
1
1º
Sufficiente
3
4
2° 3º 4°
Buono
5
9
5°|6 7° 8° 9º
Distinto
1
10
10°
Ottimo
1
11
11º
Totale
11

PosMe = (11+1)/2 = 6
Mediana è in sesta posizione
Ma dato che il valore 6 non è
presente nella nostra
distribuzione di frequenza
cumulata, si considera il valore
che lo comprende, ovvero 9.
La mediana è buono.

Mediana con Numero Pari di Osservazioni

Se il numero delle osservazioni è pari, la mediana è posta in un punto della scala ordinale
intermedio a due distinte osservazioni.
~< PosMe <2+ 1
2
Esempio: mediana posta fra due osservazioni

GIUDIZIO
f
f cum
Posizione
nella
distribuzione
N/2 = 4
N/2 + 1 = 5
Insufficiente
2
2
1º
Sufficiente
2
4
2º 3º|4°
Buono
2
6
5° 6°
Distinto
1
7
7º
Ottimo
1
8
8°
Totale
8
8
4 < PosMe < 5
La mediana è fra
sufficiente e buono

Esercizio: Calcolare la Mediana

ESERCIZIO > CALCOLATE LA MEDIANA

GIUDIZIO
f
f cum
Insufficiente
2
Sufficiente
4
Buono
4
Distinto
1
Ottimo
2
Totale
13

GIUDIZIO
f
f cum
Posizione nella
distribuzione
Insufficiente
2
2
1º 2°
Sufficiente
4
6
3° 4° 5° 6°
Buono
4
10
7º 8° 9º 10°
Distinto
1
11°
Ottimo
2
13
12º 13º
Totale
13

La Moda

MODA
D

(xi)
(fi)
13
1
15
1
17
I
1
18
I
1
19
1
20
2
21
2
22
2
23
3
24
1
25
3
26
2
27
4
28
2
29
2
30
3
Tot
31

La moda indica il valore ti tendenza centrale relativo alla misura osservata più frequente

Tipi di Distribuzioni in base alla Moda

UNIMODALE
CATEGORIA
F
Celibe/nubile
3
Coniugato/a
4
Vedovo/a
1
Separato
2
Divorziato/a
0
Totale
10

BIMODALE
CATEGORIA
F
Celibe/nubile
4
Coniugato/a
4
Vedovo/a
1
Separato
1
Divorziato/a
0
Totale
10

MULTIMODALE
AMODALE
CATEGORIA
F
CATEGORIA
F
Celibe/nubile
2
Coniugato/a
3
Coniugato/a
2
Vedovo/a
3
Vedovo/a
2
Separato
1
Separato
2
Divorziato/a
0
Divorziato/a
2
Totale
10
Totale
10
Celibe/nubile
3

Media
Mediana
- Moda
Punteggio Esame Psicometria
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
13
15
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Punteggio Esame Psicometria

Quando Scegliere tra Moda, Mediana e Media

QUANDO SCEGLIERE TRA MODA, MEDIANA E MEDIA?

1. Il tipo di Scala di Misura ci suggerisce quale valore di tendenza centrale possiamo utilizzare.
2. Controllare la presenza di Outliers. Valori molto estremi della distribuzione influenzano la media portando a valori
   non rappresentativi. Vedremo nelle prossime lezioni come controllare gli outliers ed eventualmente rimuoverli
   dal dataset. Nei casi in cui si incorra in dati anomali e non rappresentativi è meglio utilizzare la mediana come indice
   di tendenza centrale.
3. Come visto nella figura precedente, non è detto che questi valori coincidano. Essi diventano coincidenti solamente
   nel caso in cui la distribuzione sia una distribuzione simmetrica (e.g. Gaussiana), ovvero quando i valori sono
   equamente distribuiti a sinistra e destra della distribuzione.

Distribuzioni Simmetriche e Asimmetriche

simmetrica
moda
media
mediana

Asimmetrica negativa
media
moda
mediana

Asimmetrica positiva
media
moda
mediana