Definizione e proprietà della retta nel piano cartesiano per l'Università

Definizione di retta

Una retta è un insieme infinito di punti allineati. Se consideriamo il piano cartesiano e un riferimento di coordinate Ory, è possibile individuare qualsiasi retta mediante un'equazione nelle incognite x e y della forma ax + by + c = 0. y ^ (x2,Y2) y2 y1 (×1,Y1) q a 1 O X1 X2 X

Ribadiamo che qui non trattiamo il caso tridimensionale, a cui abbiamo dedicato diverse lezioni nella sezione di Algebra Lineare per studenti universitari. Potete leggerle a partire da qui: equazioni cartesiane della retta nello spazio.Passiamo in rassegna le formule della retta che avremo modo di approfondire nei successivi formulari.

Per cominciare, un sistema di riferimento cartesiano ci permette di descrivere una qualsiasi retta mediante un'apposita equazione nelle incognite z, y.

Tale equazione descrive la retta come luogo geometrico e si basa sulla solita logica di rappresentazione nel piano cartesiano. Un punto P appartiene alla retta se e solo se le sue coordinate P = (x, y) ne verificano l'equazione; viceversa, tutti e soli i punti con coordinate (x, y) che soddisfano l'equazione appartengono alla retta.

L'equazione di una retta può essere espressa in due forme: esplicita o implicita. Nella sostanza non cambia nulla e si può passare dall'una all'altra con semplici passaggi algebrici; nella pratica l'una e l'altra forma forniscono diverse informazioni geometriche.

Equazione della retta in forma esplicita

Questo tipo di equazione consente di rappresentare .. .. .. . . ..Equazione della retta in forma esplicita Questo tipo di equazione consente di rappresentare qualsiasi retta, tranne quelle verticali del tipo x = k, perché non è possibile cancellare l'incognita y in alcun modo:

y =mx + q

Nell'equazione della retta in forma esplicita m viene detto coefficiente angolare ed esprime la pendenza della retta rispetto all'asse I. Il coefficiente q viene detto ordinata all'origine, o intercetta, ed è l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y.

Equazione della retta in forma implicita

Questo tipo di equazione permette di rappresentare qualsiasi retta, comprese quelle verticali.

ax + by +c=0

Nell'equazione di una retta in forma implicita il membro di destra è zero, mentre il membro di sinistra è un polinomio di primo grado nelle indeterminate z, y .

Relazione tra retta in forma esplicita ed implicita

Se escludiamo le rette di equazione I = k con k costante, le quali non ammettono un'equazione esplicita, le due rappresentazioni in forma esplicita e implicita sono equivalenti.

Ricavando la forma esplicita da quella implicita è possibile scrivere le relazioni tra i coefficienti a, b, c con m, q.

Supponiamo che sia b = 0 (retta non verticale). In tal caso possiamo scrivere:

ax + by +c=0ax + by + c =0 →y =- o- 등

Quindi si vede che il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine sono dati da:

m =-= ; q =- 1

Se b = 0, ossia se la retta è verticale e della forma I = k, il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine non sono definiti.

Rette orizzontali e rette verticali

Nel caso b = 0 ricadiamo nell'equazione:

ax+c=0 -> x= C a

Questa individua una retta verticale, ossia parallela all'asse delle y.

Per capirlo basta notare che un'equazione della forma I = k, con k un numero qualsiasi, ammette come soluzioni tutti e soli i punti del tipo (k, y) al variare di y In altre parole, individua la retta che interseca l'asseIn altre parole, individua la retta che interseca l'asse delle ascisse in x = k e che copre tutti i punti con ascissa x = k, per qualsiasi ordinata y.

Nel caso a = 0 abbiamo:

by+c=0 -> y =- C b

In tal caso abbiamo a che fare con una retta orizzontale, ossia parallela all'asse delle I.

Per vederlo basta considerare un'equazione del tipo y = k, con k un numero qualsiasi. Tale equazione ammette come soluzioni tutti e soli i punti del tipo (x, k) per ogni z, ossia una retta che interseca l'asse delle y in y = k e che copre tutti i punti con ordinata y = k, per qualsiasi ascissa I.

Un piccolo trucco per non fare confusione: se nell'equazione di una retta non è presente una delle due variabili x o y, allora la retta è parallela all'asse della variabile che non compare.

Per approfondire: equazione della retta.

Retta passante per l'origine

Una qualsiasi retta passante per l'origine è caratterizzata da un'equazione in cui non compare il termine di grado zero, ossia il termine puramente numerico.

Una retta per l'origine ha un'equazione del tipo: y= mx oppure ax + by = 0

In entrambi i casi è facile vedere che l'origine degli assi O = (0, 0) soddisfa le equazioni, dunque l'origine appartiene a qualsiasi retta di questo genere.

Rette notevoli

Tra le rette nel piano cartesiano che non richiedono particolari presentazioni, annoveriamo:

• l'asse delle ascisse y =0
• l'asse delle ordinate I = 0
• la bisettrice del primo-terzo quadrante y = I
• la bisettrice del secondo-quarto quadrante y =- I

Come disegnare una retta

Il metodo per disegnare una retta si basa sul primo postulato di Euclide: per due punti distinti passa una e una sola retta.

Nel caso di una retta orizzontale y = k o di una retta verticale x = k, la rappresentazione è immediata. In tutti gli altri casi bisogna scrivere la forma esplicita y= mx + q e assegnare alla variabile x due valori comodi I1, 2, in modo da calcolare le corrispondenti ordinate y1, 32:

y1= mx1 + q y2= m.x2 + q

Non resta che segnare i punti (1, y1) e (x2, y2) sul piano cartesiano e tracciare la retta che li congiunge,Un esempio svolto: come disegnare una retta.

Coefficiente angolare di una retta

Per definizione il coefficiente angolare di una retta è costante, ed è il rapporto tra la differenza di ordinate e la differenza di ascisse di due qualsiasi punti P1=(x1, 31) e P2 = (x2, y2) della retta:

m = y2- 31 I2-I1 per ogni x1 # x2

Il coefficiente angolare esprime una misura della pendenza della retta rispetto all'asse x (o a una qualsiasi retta orizzontale).

Nell'equazione esplicita, è il coefficiente m della variabile x.

Nell'equazione implicita, se b = 0 si può calcolare mediante la formula:

m =- seb±0

Se b = 0, ossia per una retta verticale x = k, il coefficiente angolare viene definito alle Scuole Superiori come m = oo anche se matematicamente sarebbe più opportuno affermare che non è definito.Nel particolare caso di una retta orizzontale (y = k -> a = 0) è facile vedere che i angolare è m = 0.

Angolo formato da una retta con l'asse x o con una qualsiasi orizzontale

[Per chi ha già studiato la Trigonometria] Abbiamo scritto che il coefficiente angolare esprime la pendenza di una retta rispetto all'asse delle ascisse, ma in che modo?

In effetti possiamo riscrivere la definizione in una forma equivalente, e considerare la tangente dell'angolo acuto « formato dalla retta e da una qualsiasi orizzontale:

m = tan(a) con - 90° < a < 90°

dove l'angolo è negativo se misurato in senso orario e positivo se misurato in senso antiorario rispetto alla retta orizzontale. Se la retta è verticale allora x = 90° e m non è definito.

È possibile invertire la precedente relazione per calcolare l'angolo acuto formato con una qualsiasi retta orizzontale:

a = arctan(m)

La formula è valida dunque per qualsiasi retta che non sia verticale, eventualità in cui l'angolo formato con l'asse delle ascisse è un angolo retto.

Una considerazione: poiché la formula coinvolge l'arcotangente, di solito negli esercizi che richiedono di calcolare l'angolo formato con l'asse delle x è ammesso l'uso della calcolatrice.

Coefficiente angolare conoscendo due punti della retta

Questa formula non è altro che la definizione ed è valida per qualsiasi retta che non sia verticale:

m = y2-y1 I2-I1 se I1 + I2

Se la retta è verticale, abbiamo I1 = I2 e la formula diventa inconsistente, infatti in tal caso il coefficiente angolare non è definito.

Termine noto o ordinata all'origine

L'ordinata all'origine, o intercetta, è il coefficiente q che compare nella forma esplicita ed è l'ordinata del puntoTermine noto o ordinata all'origine L'ordinata all'origine, o intercetta, è il coefficiente q che compare nella forma esplicita ed è l'ordinata del punto che la retta interseca sull'asse delle ordinate.

Per capirlo è sufficiente considerare l'equazione esplicita di una retta e calcolare l'ordinata corrispondente all'ascissa x = 0, che è l'equazione dell'asse delle ordinate:

1 y = mx + q I= 0 T y = m . 0 + q = q

Nel caso implicito, la formula per l'ordinata all'origine a partire dai coefficienti è

9 = - 6 se b ± 0

e ovviamente, nel caso di una retta verticale (b = 0) la quota all'origine non è definita.

Termine noto o quota all'origine conoscendo due punti

Questa formula è valida per qualsiasi retta che non sia verticale (I1= 2):Termine noto o quota all'origine conoscendo due punti Questa formula è valida per qualsiasi retta che non sia verticale (I1 = X2):

I291-I192 q = I2-I1 se I1 + I2

Se la retta è verticale, abbiamo Z1 = I2 e la formula diventa inconsistente, infatti in tal caso il coefficiente angolare non è definito.

Condizione di parallelismo tra due rette

Rette parallele

Due rette parallele presentano il medesimo coefficiente angolare:

m1 = m2

La condizione di parallelismo per le rette in forma implicita si riscrive nella forma:

a1b2-@2b1 = 0

Condizione di perpendicolarità tra due rette

Rette perpendicolari

Due rette perpendicolari presentano due coefficienti angolari che sono l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro:

m1 = 1 m2

In modo equivalente:

m1m2 =- 1

La condizione di perpendicolarità per rette in forma implicita diventa:

@1@2 + b1b2 = 0

Per approfondire: rette parallele e perpendicolari.

Equazione della retta passante per due punti

Disponendo delle coordinate di due punti appartenenti a una retta, possiamo servirci di una formula per calcolare l'equazione della retta passante per due punti:Equazione della retta passante per due punti Disponendo delle coordinate di due punti appartenenti a una retta, possiamo servirci di una formula per calcolare l'equazione della retta passante per due punti:

y-y1 y2-31 I-I1 I2-1 se x1 # x2 e yı ± y2

I= I1 Se I1 = I2 y= y1 se y1 = y2

Equazione della retta passante per un punto

Conoscendo il coefficiente angolare

Se disponiamo del coefficiente angolare di una retta e di un punto di passaggio, possiamo usare la formula per la retta passante per un punto:

y-yp = m(x -Ip)

Distanza di un punto da una retta