Metodi Quantitativi: Interesse Composto e Sconto Composto, Università della Valle D'aosta

UNIVERSITÀ DELLA VALLE D'AOSTA

UNIVERSITÉ DE LA VALLÉE D'AOSTE

Università della Valle D'Aosta - Dipartimento di Scienze Economiche e Politiche Corso di laurea in Economia e Management (classe laurea L-18) METODI QUANTITATIVI - MODULO MATEMATICA 2 6 CFU - ORE 45 Docente: Dott.ssa Tiziana Ciano Anno Accademico 2024/2025

Regime finanziario Interesse composto e sconto composto

Anche il regime finanziario dell'interesse composto si usa nella pratica. Consideriamo l'impiego di un capitale C per una durata t ≥ 0. A differenza della capitalizzazione semplice, dove gli interessi sono calcolati rispetto al capitale iniziale indipendentemente dalla durata dell'impiego (3 mesi o 12 anni), nella capitalizzazione composta la durata dell'impiego entra nel modello di formazione degli interessi attraverso il meccanismo della capitalizzazione degli interessi che rappresenta l'ipotesi di partenza per la costruzione di questo nuovo modello. Ipotizziamo di poter esprimere la durata dell'impiego da 0 a t come somma di n periodi tutti uguali, per esempio in periodi annuali dove si calcolano gli interessi semplici. Allora l'ipotesi di capitalizzazione degli interessi è la seguente: Gli interessi prodotti in un anno vengono aggiunti al capitale d'inizio d'anno per produrre nuovi interessi nell'anno successivo.

Regime finanziario Interesse composto e sconto composto: Capitalizzazione

• In un regime di capitalizzazione composta, invece, gli interessi si calcolano non solo sul capitale iniziale, ma anche sugli interessi maturati durante i periodi precedenti. Questo meccanismo è chiamato capitalizzazione degli interessi.
• Nel regime di capitalizzazione composta, gli interessi maturati in un periodo (ad esempio, un anno) vengono aggiunti al capitale iniziale per calcolare gli interessi nel periodo successivo. Questo fa sì che, con il passare del tempo, gli interessi vengano calcolati su un capitale sempre maggiore, che include anche gli interessi già maturati.

Regime finanziario Interesse Composto: Formula ricorsiva

Indicando con Ms il capitale disponibile alla data s l'ipotesi si traduce nella formula (ricorsiva) seguente Mo = C Interessi = Ms - Ms-1 = Ms-1. i (1) con s = 1,2, ... , n. Dalla (1) possiamo riscrivere la formula come segue Mo = C Ms = Ms-1 + Ms-1 . i con s = 1,2, ... ,n che ci permette di calcolare il montante alla data s in capitalizzazione composta. Si procede come segue:

Regime finanziario Interesse Composto: Calcolo del montante

• Per s = 1 si ha il montante alla fine del primo anno M1 = Mo + Mo . i= C+C. i=C(1+i)
• Per s = 2 si ha il montante alla fine del secondo anno M2= M1+ M1. i= M1(1+i) =C(1+i)2
• Per s = 3 si ha il montante alla fine del terzo anno M3 = M2+ M2. i= M2(1+i) =C(1+i)3 Procedendo in questo modo si arriva a calcolare il montante alla data n che risulta Mn = Mn-1+ Mn-1.i=Mn-1(1+i)=C(1+i)n

Regime finanziario Interesse Composto: Formula generale

• Quindi la formula che ci permette di calcolare il montante di un Capitale C impiegato per la durata t ≥ 0 con capitalizzazione composta con tasso annuo d'interesse i è: M = C(1 +i)t (2) Da cui il fattore di montante associato è f (t) = (1+i)t, rappresentato nel piano da una curva uscente dal punto (0,1), strettamente in salita e convessa f(t) 1 Gli Interessi I generati dall'operazione si determinano sottraendo dal montante M il capitale C, ossia I = M- C = C(1+ i)t - C = C . [(1 + i)t - 1] t

Regime finanziario Interesse Composto: Esempio e formule inverse

Esempio: Il montante di un capitale di 2500 € impiegati per 4 anni in capitalizzazione composta al tasso annuo d'interesse del 7% risulta M = 2500 · f (4) = 2500 · (1 + 0.07)4 ~ 3276,99 Producendo interessi pari a I = 3276,99 - 2500 = 776,99 €. Ricaviamo le formule inverse partendo dalla (2) che risultano:

• Ricerca del Capitale C noti M, i et M C = = M.(1 + i)-t (3) (1+i)t
• Ricerca del tasso annuo d'interesse i noti M, Cet (1+i)t === 1+i= VC ={/m → i=4]# -1 (4)

Regime finanziario Interesse composto: Durata

• Ricerca della durata t noti M, C e i .M C (1 + i)t == 0 =t = log1+i M C = In(1+i) (5)

Regime finanziario Interesse Composto: Esempio di calcolo

Esempio: Se si vuole conoscere quanto tempo serve affinché un capitale di 3500 € impiegato al tasso annuo d'interesse composto del 3% porti a un montante di 4200 €, occorre applicare la formula inversa (5) ottenendo 4200 3500 t = ln( ln(1 + 0.03) = ln 1.2 ln 1.03 ~ 6.168097 cioè poco più di sei anni. Se si vuole impiegare il denaro solo 4 anni allora dovremmo cercare, utilizzando la formula inversa (4), un impiego con tasso annuo d'interesse composto pari a i = ! V 4200 3500 - 1 = V1.2 - 1 ~ 0.0466 = 4.66%

Regime finanziario Interesse Composto: Variazione del tasso

Consideriamo l'impiego di un capitale C in capitalizzazione composta per la durata T con tasso annuo d'interesse i. Ipotizziamo che alla data t, con 0 < t < T, ci sia una variazione del tasso d'interesse, per esempio da i a i + Ai, allora il problema del calcolo del montante si risolve utilizzando la seguente formula M = C(1 + i)t[1+ (i+Ai)]T-t

Regime finanziario Interesse Composto: Esempio con variazione del tasso

Esempio: S'impegna un capitale di 2500 € per cinque anni in capitalizzazione composta al tasso annuo d'interesse del 2,5%. Se dopo due anni il tasso annuo d'interesse aumenta di mezzo punto percentuale (passando al 3%) allora il montante a scadenza risulta M = 2500(1 + 0,025)2(1 + 0,03)3 ~ 2870,12 Generando un interesse pari a 370,12 €.

Regime finanziario Interesse Composto: Generalizzazione e capitalizzazione periodica

Generalizzando, se consideriamo le durate t1, t2 ... tn dove rispettivamente valgono i tassi annui d'interesse i1, i2, ... , in allora il montante M relativo all'impiego di un capitale C per la durata T (dove T = t1 + t2 + .... + tn) risulterà M = C(1 + i1)+1 (1 + 12)+2 ... (1 + in) tn = C. 0J 1 S=1 (1 + is)ts Il processo di capitalizzazione degli interessi può essere fatto anche per periodi diversi dell'anno, per esempio per semestri, per mesi e anche per giorni (si pensi agli impieghi giornalieri fatti da importanti Istituti di credito utilizzando come parametro di calcolo il tasso overnight, indicato con il simbolo O/N e riportato dai più importanti giornali finanziari).

Regime finanziario Interesse Composto: Capitalizzazione annuale e semestrale

Consideriamo due impieghi a un anno fatti con diversa capitalizzazione degli interessi: il primo con capitalizzazione annuale e il secondo con capitalizzazione semestrale. Il montante a fine anno nei due casi risulta:

1. Con capitalizzazione annuale M1 = C(1 +i)
2. Con capitalizzazione semestrale M2= C(1+12)2 dove i2 rappresenta il tasso semestrale d'interesse composto. Le due capitalizzazioni a fine anno risulteranno equivalenti se M1= M2=> (1+i)=(1+(2)2 Che ci fornisce quale condizione deve valere tra i due tassi affinché i montanti a fine anno siano uguali. Questi si dicono tassi equivalenti (in capitalizzazione composta).

Regime finanziario Interesse Composto: Tassi equivalenti

Possiamo generalizzare questo processo attraverso la definizione che segue: Definizione: Il tasso d'interesse i e il tasso periodale d'interesse im si dicono equivalenti in capitalizzazione composta, per ogni t ≥ 0, se vale la condizione (1+i)t =(1+im)tm Possiamo ricavare le formule inverse i = (1 + im)™ - 1 e im = V1+i-1 Con le quali possiamo ricavare i noto im e viceversa.

Regime finanziario Interesse Composto e Sconto Composto: Parametri

Esempio: Il tasso mensile d'interesse composto i12 equivalente a quello annuo i=11% risulta [12 = V1+0.11-1 ~0.008735 = 0.8735% Osservazione: Nella pratica esistono altri due parametri per descrivere le condizioni di un impiego finanziario, questi sono:

1. Tasso annuo nominale (TAN), indicato con il simbolo jm, che si ottiene moltiplicando m per il tasso periodale d'interesse im, cioè jm = im · m Da non confondere con il tasso annuo d'interesse effettivo.

Regime finanziario Interesse Composto e Sconto Composto: Tasso istantaneo

1. Il tasso istantaneo d'interesse, indicato con 8, che si usa nell'ipotesi di capitalizzazione degli interessi istantanea (numerosi modelli in Finanza utilizzano questo tipo di capitalizzazione ed esso è stato reso obbligatorio da CONSOB per l'indicazione delle condizioni che le fiduciarie offrono). In questo caso la formula per calcolare il montante risulta M = C · est Valgono le seguenti relazioni 1+i= (1+ - jmym m 1 +i=e8 (1+ +Jmjm =es m tra i, jm e 8.

Regime finanziario Interesse Composto: Relazione tra i e jm

Che relazione esiste tra i e jm? Dato che valgono le seguenti relazioni 1 +i=(1+ I ( 1 + 1 mm > 1 +m . jmym m jm =1+ jm m m =>1+i≥1+jm Da cui si trova i ≥ jm per ogni m, dove il segno di uguaglianza vale nel caso m = 1

Regime finanziario dello Sconto Composto: Fattore di sconto

Dalla condizione 1 = f (t) · +(t), relativa ai fattori finanziari congiunti, possiamo ricavare il fattore di sconto composto coniugato al fattore di montante composto che risulta f(t) 1 (1 + i)t 1 ø(t) = = (1 +i)-t che identifica il regime finanziario dello sconto composto, rappresenta graficamente una curva che parte dal punto (0,1), strettamente in discesa e convessa. +(t) 1 1 Quindi il valore attuale A con sconto composto d'una somma S disponibile alla data t ≥ 0 risulta A = S . +(t) = S (1 + i)t = S(1 +i)-t Da cui si ricava lo sconto D come differenza tra S e A t

Regime finanziario dello Sconto Composto: Esempio e sconto continuo

Il valore attuale di 12.000 € disponibili tra due anni a tasso annuo d'interesse composto i = 12% risulta A = 12.000 · ¢(2) = 12.000 · 1.12-2 ~ 9.566,33 Mentre lo sconto vale D = 2.433,67 € Utilizzando la seguente formula (sconto continuo/istantaneo) A = S . $(t) = S · e-ot Possiamo calcolare il valore oggi di una somma S disponibile alla data t utilizzando il tasso istantaneo d'interesse 8.