Lezione 22: Fluidodinamica e onde meccaniche, Alma Studiorum Parmensis

Lezione 22

• Legge di Stevino (incomprimibili / comprimibili)
• Misura della pressione: manometro e barometro

Cap. 15 Gettys

FLUIDODINAMICA

• Tubo di flusso, portata di massa ed equazione di continuità
• Teorema di Bernoulli
• Applicazioni teorema Bernoulli (Venturi, Torricelli)

ONDE MECCANICHE

• Definizioni
• Onda impulsiva e progressiva
• Onda armonica progressiva

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Lezione 21

Cap. 15 Gettys

Cap. 20 Gettys

(piuttosto diverso in

questa trattazione)

P. Mazzolini

Fisica I - LT Chimica

1

• Principio di ArchimedeFluidi ideali in movimento

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Difficoltà di trattazione del moto dei fluidi

Argomento di difficile trattazione > non seguimo moto di una singola particella di fluido, ma

focalizziamo attenzione su un punto dal quale fluiscono le particelle del fluido e ne determiniamo le proprietà fisiche (p, p,¿)

Consideriamo il moto di un fluido in condizioni stazionarie, ovvero un fluido in moto

laminare (non turbolento) > tutti gli elementi di fluido che passano in determinato punto

hanno le stesse p, p, ¿

A

B

VB

VA

C

VC

Linee di flusso

Linee di flusso > linee lungo le quali fluiscono le particelle

(evidenziabili da un tracciante colorato come in figura). In

ogni punto la tangente alla traiettoria coincide con la

direzione della ¿ del fluido.

Linee di flusso in un fluido stazionario NON variano nel tempo (particella di fluido che percorre una determinata linea di

flusso avrà sempre stesse proprietà fisiche)

P. Mazzolini

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2

Equazione di continuità

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Tutte le linee di flusso che passano attraverso una generica sezione S identificano un tubo di flusso

V2At

A2

v,At

A1

Piccole sezioni > in ognuna di esse (p, p, 1 ) uniformi

Massa di fluido avente piccolo volume AV che attraversa generica sezione A

in un breve intervallo di tempo At è

4s = vAt

Δm = ρ ΔV =ρ Α(vAt)

Definiamo la portata di massa

Am

At

= pAv

Consideriamo le sezioni trasversali alle linee di flusso A1 e A2 > essendo in condizione di flusso stazionario ed il fluido è

incomprimibile (p1 = P2 = p) ed ideale (tralasciamo viscosità fluido), la portata di massa si conserva:

ρυ1Α1 = ΡΥΖΑ2

Equazione di continuità

V1A1 = V2A2

Diminuisce la sezione

> aumenta la v del fluido

Dimensionalmente Av si misura in [m3 /s] > portata

volumica del fluido (volume nell'unità di tempo)

P. Mazzolini

Fisica I - LT Chimica

3

Esempio di flusso d'acqua

Il flusso d'acqua di un rubinetto si restringe mentre cade. Questa variazione

dell'area di sezione è caratteristica di ogni fluido laminare in caduta -> la

forza di gravità accresce la velocità di caduta del fluido e pertanto la sezione

del suo tubo di flusso deve restringersi.

Consideriamo una sezione iniziale con area Ao = 1.2 cm2 ed una sezione

distante h = 45 mm che ha area A = 0.35 cm2. Qual è il flusso dell'acqua

che esce dal rubinetto?

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DOD

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La portata in questo punto

dev'essere uguale ...

A0

h

A

... alla portata in questo punto

P. Mazzolini

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4

Lavoro in un fluido in movimento

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ERS

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y

L

-

U1

-P1

t

Ingresso

yı

x

Consideriamo il caso di un flusso stazionario con fluido incomprimibile (p = cost.) nel

quale il lavoro compiuto dalle forze non conservative sia trascurabile (no viscosità)

Nell'intervallo di tempo At identico volume AV passerà dalla sezione A1 e dalla sezione

A2 (fluido incomprimibile)

Valutiamo quali siano le forze in gioco e il lavoro compiuto da ognuna di queste nel tratto

L (per passare da sezione 1 a sezione 2):

Lavoro delle forze di pressione: forza di pressione che spinge il fluido a salire nella sezione 1 (ingresso) > Fp1 = P1A1

e forza che dobbiamo vincere per fargli attraversare la sezione 2 > Fp2 = - P2A2 (è la pressione che contrasta il moto

dall'altra parte)

Il lavoro delle forze di pressione sarà funzione dello spostamento del liquido As nell'intervallo di tempo considerato At

> As1 = V14t e As2 = 124t

AV

Wp = P1A1(v14t) - P2A2(v24t) = AV(p1-P2)

P. Mazzolini

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5

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Lavoro delle forze di gravità e teorema di Bernoulli

y

L

1

U1

y2

-P1

t

Ingresso

yı

x

Lavoro delle forze di gravità: è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale 4mg sulla

massa Am di fluido durante l'ascensione verticale di questa. Questo lavoro sarà

negativo in quanto l'accelerazione gravitazionale e lo spostamento verticale della

massa di fluido sono in verso opposto

Wg =- 4mg(y2-y1) =- pAV g(y2-y1)

Non abbiamo altre forze in gioco (no attrito viscoso) > Per il teorema lavoro-energia il lavoro totale svolto dalle forze in

gioco sarà uguale alla variazione dell'energia cinetica della massa di fluido Am

1

1

AK = = Am(v2 - v2) = = PAV(v)} -v2) = Wtot = Wp + Wg

2

Teorema di Bernoulli

1

PAV (12 - v2) = AV(P1 -P2) - PAV g(y2 - y1)

1

Pi + Pgy1 + 5 PVf = P2 + Pgy2 + 50V2

1

P. Mazzolini

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6

2

UM-

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Teorema di Bernoulli: conservazione dell'energia nei fluidi

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1

1

Pi + Pgy1 + 5pVi = P2 + Pgy2 + 50V2

Il teorema di Bernoulli è un'equazione di conservazione dell'energia per i fluidi

Vale in fluidodinamica stazionaria (fluido laminare), per fluidi incomprimibili ed in assenza di forze dissipative

Casi particolari del teorema di Bernoulli

Se la velocità del fluido è = 0 (ovvero se siamo in condizioni di statica) si riconduce alla pressione idrostatica (legge di

Stevino) > p1 = P2 + pgAy

Tubo orizzontale a sezione variabile

V1= y2

1

2

P1> P2

1

Pitzpvi = P2 +5 pvz

1

V2

V1< 12

P. Mazzolini

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7

Tubo di Venturi

Consiste in un condotto orizzontale (y1 = y2) a sezione variabile e

viene utilizzato per misure di velocità e di portata inserendolo nella

conduttura in cui scorre il fluido

2

1

Pi + Pgy1 + 5 pVi = P2 + P9y2 + 50V2

1

Non abbiamo differenze di quota o di

densità del fluido (incomprimibile)

Y

V1A1 = V2A2

0=

2(p1-P2)

p

A2 - A2

2

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A11

A2

2

VI

P2

PI

h

Liquido a p maggiore dell'acqua

che mi permette di vedere Ap

Dalla misura della differenza di pressione nelle due sezioni (4p = p1 - P2) si

possono calcolare 12 e 11 del fluido

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8

Principio di Bernoulli per cisterna forata (legge di Torricelli)

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Un serbatoio a sezione cilindrica A ha un foro (sezione cilindrica a) ad una distanza h dal

pelo dell'acqua del serbatoio stesso. Valutare a quale velocità sgorga l'acqua dal buco

L'acqua fluisce in una sezione molto larga A lungo y (ad una velocità 10), mentre lungo x

attraverso una sezione molto piccola a (ad una velocità v)

> sappiamo dall'equazione di continuità che la portata volumica deve essere la stessa nei

due tratti considerati

av = Avo

a

A

2

Trascurabile (foro piccolo)

Siccome a << A > deve essere anche che|

Prendiamo l'equazione di Bernoulli prendendo il livello del buco come potenziale gravitazionale =0 e assumiamo che in

cima al serbatoio e all'uscita del buco la pressione sia quella atmosferica po

po +pgh + zpvo = po + p9(0) + 5pv2

1

1

serbatoio

v = 12gh

Cioè la velocità dell'acqua è pari a quella

che avrebbe un corpo in caduta libera

partendo da ferma dopo un'altezza h (non

dipende da p)

P. Mazzolini

Fisica I - LT Chimica

9

foro

Po

h

Po

1

y = 0

Onde meccaniche

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10

Diversi tipi di onde

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· WO

UNI

to

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Onde meccaniche

Seguono le leggi della Meccanica

Newtoniana e per esistere

(propagarsi) necessitano di un mezzo

materiale.

Es. onde del mare -- > acqua

onde sonore

-- > aria

onde sismiche

-- > terreno

Onde elettromagnetiche

Non richiedono un mezzo materiale per

propagarsi (si propagano anche nel

"vuoto" - spazio aperto).

Luce -- > visibile, UV, IR, raggi-x, onde

radio

tutte le onde elettromagnetiche

viaggiano alla stessa velocità della luce

(c = 299 792 458 m/s)

2. cresce

lunghezza d'onda A

10

1

10

10

10-6

-8

108

10-10

10-12

10-14

metri

onde

onde

TV

microonde

infra-

rosso

visibile

ultra-

raggi X

raggi Y

raggi

cosmici

3.10 8

3.1010

3.10 12

3.10 16

3-10 18

3.10 20

3.10 22

S

v cresce

700 nm

400 nm

rosso arancio giallo

verde

azzurro

indaco violetto "

Onde di materia

Riguardano costituenti principali della

materia -- > elettroni, protoni ..... Anche

la descrizione della materia (e le sue

interazioni) ha carattere ondulatorie

b)

(110) facet

(110) facet

Ga(l) Ga(II)

(110)

...

14

O(1) O(II) QUI!]

Mazzolini P., et al., APL Mater. 7, 022511 (2019)

P. Mazzolini

Fisica I - LT Chimica

11

-2

-4

frequenza v

radio

violetto

-1

Onde meccaniche trasversali e longitudinali

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In un'onda meccanica la materia oscilla localmente attorno ad un punto di equilibrio, ma NON c'è spostamento netto di

materia: l'onda si propaga attraverso il mezzo. A seconda della direzione di spostamento locale di materia, possiamo

definire

spostamento

Cresta

Cresta

Aria

Livello

imperturbato

Acqua

Ventre

Ventre

Onde trasversali

spostamento

-

-

crcrcrcrc

Onde longitudinali

P. Mazzolini

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12

Propagazione di un'onda: caso semplificato dell'impulso

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Corda tesa fissata ad un'estremità al muro -- > diamo impulso trasversale all'altra

estremità che teniamo in mano. Grazie a tensione corda impulso si trasmette

-- > come deformazione elastica locale della corda in funzione di spazio e tempo,

traslando con una velocità di avanzamento 1 costante nel tempo

y

Onda

sinusoidale

v

x

Se ripetiamo ciclicamente il movimento

impulsivo con la mano con movimento

armonico semplice continuo (mantendo

una certa periodicità, ampiezza con

funzione sinusoidale nel tempo ) -- > onda

continua sinusoidale si forma nella corda

y

Impulso

0

-x

t

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Fisica I - LT Chimica

13

Rappresentazione analitica di un impulso singolo

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Trascuriamo effetti dispersivi -- > impulso viaggia a velocità costante v

Dopo un certo tempo t l'impuso (la sua "cresta") si sarà spostato da x = 0 a

x = (0 + vt)

Forma dell'impulso al tempo t = 0 è data dalla generica funzione y = f (x)

Dopo un tempo t impulso si è spostato verso destra di un tratto x = (vt)

-- > ricostruiamo una funzione uguale a quella di partenza che avevamo a t = 0

ex = 0

y(x,t) = f(x -vt)

(nel caso di propagazione nel verso positivo)

y

Tempo t = 0

f (x)

.X

Tempo iniziale

y

Tempo t

- vt

f (x - vt)

X

Dopo un tempo t

L'impulso dato si trasmette inalterato nel mezzo (corda tesa) e lo possiamo descrivere come funzione di spazio e tempo

Le funzioni y(x, t) vengono chiamate funzioni d'onda -- > forniscono la coordinata y di un elemento costituente la corda,

ovvero il suo spostamento dalla sua posizione di equilibrio (y = 0) in funzione di ogni punto x ed istante t

P. Mazzolini

Fisica I - LT Chimica

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