Geometria Descrittiva: proiezione, sezione e proprietà proiettive

Geometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Concetto di PROIEZIONE e di SEZIONE

II P P O C O C = centro di proiezione P = punto n = quadro P' = punto intersezione o proiezione di P su nGeometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Posizione del piano

C P1 P П C P 0 Rappresentazione prospettica C P P P P Ripresa fotografica II C C P P Proiezione di un'ombra II C P' P PGeometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Proprietà proiettive

TT P Q R r C R s s' r' Allineamento P, Q e R allineati su r => P', Q' e R' allineati su r' Incidenza r /s in P => r' Zs' in P'

PROPRIETA' PROIETTIVE

Appartenenza PEr => P'Er'Geometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Concetto di elemento improprio

TT' A'f A00 C A4 D A4 A'30 A3 A'20 - A2 I - A1 A=A r r Dato un centro di proiezione C, un piano di quadro n' ed una retta r € ™, si individua con A il punto intersezione tra r e n'. Spostando il punto A su r successivamente nelle posizioni A1, A2, A3 ecc .. , sul quadro si individuano le immagini A1', A2', A3', ecc ... che definiscono la retta r' (immagine su n' di r). Spostando A su r, al limite (Ac), la sua immagine A'f su n' rappresenta l'immagine di un punto improprio (posto all'infinito) ed è un punto posto a distanza finita. Si riesce, con la G. proiettiva, a raffigurare un elemento posto a distanza infinita. Mentre nella G. Euclidea si parlava di rette incidenti (quando avevano un punto in comune) e parallele (quando non avevano un punto in comune), con la G. proiettiva anche le rette parallele hanno un punto di incidenza, posto all'infinito.Geometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Prospettività

1 TT C r B A r B A' D=D' P u I e n', secondo la G. proiettiva, sono due elementi corrispondenti in quanto derivano reciprocamente da un'operazione di proiezione. Dati, infatti, i due piani (non paralleli) ed un centro di proiezione C, è possibile individuare ad ogni punto di a un corrispondente punto di n' e viceversa. Si chiama prospettività di centro C la relazione che si stabilisce tra un punto di T ed un punto di m' attraverso il punto di proiezione C. Tra i due piani si instaura una corrispondenza biunivoca. Il punto D=D' si definisce punto unito in quanto appartiene ad entrambi i piani. La retta u (intersezione tra i due piani), prende il nome di retta dei punti uniti o asse della prospettività.

PROPRIETA'

• Coppie di punti corrispondenti (A e A') sono sempre allineati al centro della prospettività C;
• Coppie di rette corrispondenti (r e r') si intersecano sempre sull'asse della prospettività uGeometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Prospettività di ribaltamento

A A r. A' A K A A Coo p. bisettore A A X A' A' E' un caso particolare di prospettività tra i punti di I e i punti di n', in quanto la corrispondenza biunivoca si ottiene con il ribaltamento di un piano sull'altro, facendo perno sulla retta d'intersezione dei piani, corrispondente anche all'asse della prospettività. Ma per parlare di prospettività è necessario individuare il suo centro C che, in questo caso, corrisponde ad un punto improprio C o che definisce un'unica direzione proiettiva caratterizzata da un fascio di rette parallele. Quindi, l'operazione di ribaltamento tra due piani, può essere considerata una operazione di prospettività di centro improprio (C o ), disposto ortogonalmente alla bisettrice dell'angolo di incidenza dei due piani I e n'Geometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Omologia: prodotto di due prospettività

DEFINIZIONI

C C 90 TETT r r U (centro) u(asse) a Rette corrispondenti (r e r') si incontrano sull'asse dell'omologia u; Punti corrispondenti (A e A') sono allineati al centro dell'omologia U U : centro dell'omologia, individuato dall'intersezione della congiungente i centri di prospettività C e C', con il piano I u : asse dell'omologia individuato dall'intersezione del quadro n° con il piano T= 1'

PROPRIETA':

Un'omologia è il prodotto di due prospettività realizzate tra due piani coincidenti n e I', con un piano non parallelo nº. Si individua una prospettività di centro C tra I e nº, ed una successiva di centro C' tra T° e n'. La doppia prospettività che si realizza tra punti di I e n' (in una relazione biunivoca), si chiama omologia. Il fatto di aver considerato due piani sovrapposti equivale a considerare un unico piano; l'omolgia è dunque un'applicazione biunivoca che si realizza tra punti dello stesso piano.Geometria Descrittiva

Richiami di Geometria Proiettiva

Omologia: prodotto di due prospettività

U A C B r u 1 B' C) A'

DEFINIZIONI

U : centro dell'omologia, individuato dall'intersezione della congiungente i centri di prospettività C e C', con il piano I u : asse dell'omologia individuato dall'intersezione del quadro nº con il piano T= 1'

PROPRIETA':

Rette corrispondenti (r e r') si incontrano sull'asse dell'omologia u; Punti corrispondenti (A e A') sono allineati al centro dell'omologia U Una omologia è risolvibile anche lavorando sul solo piano «, senza passare per il quadro nº; infatti, un'omologia è individuata una volta assegnato il centro U dell'omologia, l'asse u e almeno una coppia di punti corrispondenti (A e A')Geometria Descrittiva

Metodi di rappresentazione

Proiezioni centrali e parallele

Aco A A oo s Aco r r T S T Coo DED' D=D' B=B' L B=B L A A C C' C B' B

Proiezione centrale o conica

Nella P. centrale, le immagini di rette parallele sono convergenti in un punto: r//s => r' 2s'

Proiezione parallela o cilindrica

Nella P. parallela, le immagini di rette parallele sono ancora delle rette parallele: r//s => r'//s' -DC 00 S -> CGeometria Descrittiva

Metodi di rappresentazione

Proiezioni centrali e parallele

PROIEZIONI

CENTRALI Prospettiva

PARALLELE

Proiezioni ortogonali Assonometria Proiezioni quotate

PROPRIETA' COMUNI:

• Tutti i metodi della G.D. risolvono il problema della rappresentazione di oggetti a tre dimensioni su un piano di proiezione.
• In tutti i metodi della G.D. intercorre una corrispondenza biunivoca tra l'oggetto e la sua rappresentazione.
• In tutti i metodi della G.D. le operazioni fondamentali che si utilizzano sono la proiezione e la sezione.Geometria Descrittiva

Metodi di rappresentazione

Proiezioni centrali e parallele

PROIEZIONI

CENTRALI Prospettiva

PARALLELE

Proiezioni ortogonali Assonometria Proiezioni quotate

PROPRIETA' DISTINTIVE:

A parte il centro di proiezione che può essere posto a distanza finita o infinita, ciò che differenzia i vari metodi di rappresentazione della G.D. è la posizione dei piani di proiezione rispetto all'oggetto e rispetto al centro di proiezione.Geometria Descrittiva

Metodi di rappresentazione

Proiezioni centrali e parallele

PROSPETTIVA

METODO

Centro di proiezione a distanza finita

Classe al variare del piano

PROSPETTIVA A QUADRO VERTICALE PROSPETTIVA A QUADRO ORIZZONTALE R FI .F2 × x & c *Geometria Descrittiva

Metodi di rappresentazione

Proiezioni centrali e parallele

ASSONOMETRIA

METODO

Centro di proiezione a distanza infinita

Classe al variare di centro di proiezione e piano

ASSONOMETRIA OBLIQUA ASSONOMETRIA ORTOGONALE Z *

PROIEZIONI ORTOGONALI

PROIEZIONI QUOTATE

1.Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Enti fondamentali

PIANO VERTICALE (72) TERZA PROIEZIONE PIANO AUSILIARIO (73) OGGETTO X 76. LINEA DI TERRA (LT) PIANO ORIZZONTALE (71) PRIMA PROIEZIONE SECONDA PROIEZIONE Z O x RIBALTAMENTO DI TT3 SU TT2 y TL1 RIBALTAMENTO DI TT1 SU TT2Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

I Diedri

500 PIANO ORIZZONTALE DI TERRA - 2° diedro 1º diedro 500 ¥96 T1 LINKA 901 VERTICALE 3º diedro 4º diedro TT2 PIANOGeometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Rappresentazione di un punto del primo diedro

A € 1º diedro A" aggetto A" A πλ quota T1 Π2 3 A' A" quota LT aggetto A' 1Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Rappresentazione di un punto del secondo diedro

B € 2° diedro aggetto B B" IT2 quota B T1 T2 B" : B' quota .... aggetto LT T1Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Rappresentazione di un punto del terzo e quarto diedro

C € 3º diedro T2 C' B aggetto LT quota C' πι D € 4° diedro Π2 LT quota aggetto D' ....... D" T1Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Segmento AB del primo diedro

Π2 T3 A" A" B" B" LT A' B π 1 Π3 Π2 A" A" A B" B" B A' B' πιGeometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Retta generica "r" del primo diedro

... Π2 TT3 T"r (T"r)" P" (T"r)"" LT (T'r)" P' T'r T1 T3 T2 (T"r)" Thr r (T'r)" P P r' (Tr) (T'r)" P T' 1 (T"r)'Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Retta generica "r" del primo diedro

Π2 T3 T""r (T''r)" (T'r)" LT (T'r)" (T"r)' r' T'r T1 T3 מייד (T''r)" TT2 r'", r" r (T'r)" (T"r)' r' (T'r)" T'r T1Geometria Descrittiva

PROIEZIONI ORTOGONALI (Metodo di Monge)

Retta generica "r" del primo diedro

Π2 T3 T"r r" r'" "T"'r (T"'r)" LT (T"r)' r' (T'r)' 1 T3 (T"r)" F2 T"r r'", r T"r (T''r)" - (T"r)' r (T"r)' T1