Introducción a las funciones reales y aplicaciones de las derivadas

Tema 1: Introducción a las funciones reales (Derivadas aplicaciones)

viu Universidad Internacional de Valencia Grado en Administración y Dirección de Empresas 02GADE | Matemat Profesor: Adrián Infante Linares universidadviu.com De: Planeta Formación y Universidadesviu Universidad Internacional de Valencia

Contenido

Aplicaciones de las derivadas

Optimización

Crecimiento de una función

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Procedimiento para determinar los intervalos donde una función f crece o decrece usando la derivada

Paso 1. Encuentre todos los valores de x para los cuales f'(x) = 0 o donde f'(x) no es continua, y marque esos números sobre una recta numérica. Esto divide la recta en un número de intervalos abiertos. Paso 2. Elija un número de prueba c para cada intervalo a < x < b determinado en el paso 1 y evalúe f'(c). Entonces · Si f'(c) > 0, la función f (x) es creciente (la gráfica asciende) en a < x < b. · Si f'(c) < 0, la función f (x) es decreciente (la gráfica desciende) en a < x < b.Optimización Crecimiento de una función viu Universidad Internacional de Valencia

Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de función

Encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función f (x) = 2x3 + 3x2 - 12x - 7 Solución. Paso 1. La derivada de f (x) es f'(x) = (2x3 + 3x2 -12x -7)" = 6x2 + 6x - 12 = 6(3x2 + x -2) = 6(x+2)(x-1) Así que f (x) = 0 cuando x = - 2 y x = 1. Los números -2 y 1 dividen el eje x en tres intervalos abiertos; x < - 2, -2 < < < 1, x > 1Optimización Crecimiento de una función viu Universidad Internacional de Valencia

Paso 2: Evaluación de f'(c) para cada número de prueba

Paso 2. Elija un número de prueba c para cada uno de estos intervalos; por ejemplo, c = - 3 de x < - 2, c = 0 de - 2 < < < 1 y c = 2 de x > 1 Evalúe f'(c) para cada número de prueba: f'(3) =24>0 f'(0) =- 12 <0, f'(2) =24>0

Intervalo	Número de prueba c	f'(c)	Conclusión	Dirección de la gráfica
x <- 2	-3	f'(-3) >0	f es creciente	↗
-2<x <1	0	f'(0) < 0	f es decreciente	↘
x > 1	2	f'(-3)>0	f es creciente	↗

En resumen

x <- 2 -2<x <1 x >1 ↗ ↘ ↗Optimización Crecimiento de una función viu Universidad Internacional de Valencia

Gráfica de la función f (x) = 2x3 + 3x2 - 12x - 7

-GL 10 5 -10 -5 0 5 1( -5 -10- -15viu Universidad Internacional de Valencia

Optimización

Crecimiento de una función

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función x2 f (x) = x -2 Solución. Paso 1. La función está definida para x + 2, y su derivada es f'(x) = = ( +2 x -2 2x(x-2) - x2(1) = = (x - 2)2 ′ (x2)'(x-2)-x2(x-2)' (x-2)2 2×2 - 4x - x2 (x-2)2 = x(x - 4) (x-2)2viu Universidad Internacional de Valencia

Optimización

Crecimiento de una función

f'(x) = x(x - 4) (x-2)2 que es discontinua en x = 2 y tiene f'(x) = 0 en x = 0 y x = 4. Por tanto, hay cuatro intervalos donde el signo de f'(x) no cambia: éstos son: x < 0, 0 < < < 2, 2 < < < 4 x > 4 Paso 2.Al elegir los números de prueba en estos intervalos, por ejemplo, a) c = - 2 para el intervalo x < 0 b) c = 1 para el intervalo 0 < x < 2 c) c = 3 para el intervalo 2 < < < 4 d) c = 5 para el intervalo x > 4 se tiene que f (5) = se tiene que f'(-2) = = > 0 3 se tiene que f'(1) = - 3 < 0 se tiene que f'(3) = - 3 <0 5 9Optimización Crecimiento de una función viu Universidad Internacional de Valencia

Dirección de la gráfica

Signo de f'(x)

+++++ +++++ - 0 2 4 Gráfica de la función f (x) = x 2 (x-2) 0| 2| X 4 .Optimización

Extremos relativos

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Definición de Extremos relativos

1. Se dice que la gráfica de la función f (x) tiene un máximo relativo en x = c si f (c) ≥ f (x) para toda x en un intervalo a < x < b que contiene a c.
2. La gráfica tiene un mínimo relativo en x = c si f (c) ≤ f (x) para toda x en un intervalo a < x < b que contiene a c.
3. En conjunto, los máximos y mínimos relativos de f se denominan extremos relativos.

10 -10 0 5 0| 2| 4 -10 -15Optimización

Extremos relativos

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Definición de Números críticos y puntos críticos

Un número c en el dominio de f (x) se denomina número crítico si f'(c) = 0 o f'(x) no existe. El punto correspondiente (c, f (c)) en la gráfica de f (x) se denomina un punto crítico de f (x).Optimización

Extremos relativos

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Criterio de la primera derivada para extremos relativos

Sea c un número crítico para f (x) [es decir, f (c) está definido y se tiene que f'(c) = 0 o f'(c) no existe]. Entonces el punto crítico P(c, f(c)) es

1. Un máximo relativo si f'(x) > 0 a la izquierda de c y f'(x) < 0 a la derecha de c. f'>0 c f'<0
2. Un mínimo relativo si f'(x) < 0 a la izquierda de c y f'(x) > 0 a la derecha de c. f'<0 c f'>0
3. No es un extremo relativo si f'(x) tiene el mismo signo a ambos lados de c f'>0 c_f'>0 f'<0 cf'<0Optimización

Extremos relativos

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Ejemplo de números críticos y clasificación

Encuentre todos los números críticos de la función f(x) = 2×4 - 4×2 + 3 y clasifique cada punto crítico como un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguna de las dos cosas. Solución. Vamos estudiar el signo de la primera derivada Paso 1. La función está definida en IR y su derivada es f'(x) = (2x4 -4x2+3)'=8x3-8x=8x(x2-1) = 8x(x-1)(x+1) Como la derivada existe para toda x, los únicos números críticos están donde f'(x) = 0,es decir, x=0, x=1, x =- 1.Optimización

Extremos relativos

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Signo de la derivada en intervalos

Estos números dividen el eje x en cuatro intervalos, en cada uno de ellos el signo de la derivada no cambia; esto es, x < - 1, -1 < < < 0, 0 < < < 1, x > 1 Paso 2. Elija un número de prueba c en cada uno de estos intervalo, por ejemplo, a) c = - 5 para el intervalo x < - 1 1 se tiene que f'(-5) = 960 < 0 = b) c =- 5 par el intervalo -1 < x < 0 7 se tiene que f' (-) =3>0= f c) c = 4 1 para el intervalo 0 < < < 1 se tiene que f' 1 4 d) c = 2 para el intervalo x > 1 f se tiene que f'(2) = 48 > 0 f 8 = −

Dirección de la gráfica

Signo de f'(x)

+++++ +++++ -1 0 máx 1 mín mínOptimización

Extremos relativos

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Gráfica de f (x) = 2x4 - 4x2 + 3

4- 2 2 -2 -1 0 1 2Optimización

Extremos relativos

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Ejemplo de ingreso máximo

El ingreso obtenido por la venta de una nueva clase de patín motorizado t semanas después de su introducción está dado por 63t - t2 R(t) = t2 + 63 0 ≤t ≤ 63 millones de euros. ¿ Cuándo se alcanza el ingreso máximo? ¿ Cuál es el ingreso máximo?Optimización

Extremos relativos

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Solución

Optimización

Extremos relativos

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Ejemplo (ANÁLISIS MARGINAL)

El costo total de producir x unidades de cierto artículo está dado por C(x)=15x+2+3 i) Trace la curva de costo y encuentre el costo marginal. ii) ¿El costo marginal crece o decrece con el aumento de la producción?Optimización

Extremos relativos

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Solución

Optimización

Extremos relativos

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Ejemplo de función de coste de una empresa

Se tiene la siguiente función de coste de una empresa C(q) = 0, 0002q3 - 0,03q2 + 5q + 5000, q = cantidad producida en unidadesOptimización

Extremos relativos

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Solución

Coste marginal es: C'(q) = (0, 0002q3 - 0, 03q + 5000)' = 0, 0006q2 - 0, 06q + 5 Para saber el coste de 50 unidades, evaluamos en q = 50 7 C'(50) = = = 3, 50 2 Esto indica que al incrementar en una unidad la producción en una unidad la producción en unidad (por ejemplo, de 50 a 51 unidades) el coste adicional es aproximadamente 3, 5¡Muchas gracias! viu Universidad Internacional de Valencia

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