Lezione 2: Vettori e prodotto vettoriale, Alma Mater Studiorum UNIPR

Introduzione alla Fisica I

• Introduzione
• Dimensioni / Unità di misura

Vettori e Cinematica

• Vettori

Cap. 1 Gettys

Lezione 1

Cap. 2 Gettys (fino a pag 22)

• Prodotti con vettori

Cinematica del punto materiale

• Vettori spostamento e posizione
• Velocità (media e istantanea)
• Moto rettilineo uniforme

Cap. 2 Gettys

Cap. 3 (+ pezzo Cap. 4) Gettys

STUDIORU UNIVERSI UM . A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica

Cosa abbiamo imparato sui vettori

STUDIORU JERSI UM . UNI ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 Il vettore r può essere descritto dal suo modulo r e dalla sua direzione 0. Possiamo farlo in funzione delle sue componenti sugli assi x, y y ty P (x,y) ◌⃗ 15 θ ĵ ◌⃗ î O x Modulo del vettore r = |7| = r 2 + r2 1 Direzione del vettore 0 = tan-1 ly rx P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 2 rx = rxî Ty=ľyÎ scalari delle componenti del vettore 1x = r cos e Ty = r sin 0

Cosa abbiamo imparato sui vettori: Somma vettoriale

Somma vettoriale analitica di vettori ◌⃗ B c = Å + B y B OB & By ◌⃗ ◌⃗ Cy Ay ec O < 1 x Ax Bx Cx č = (Ax+Bx) î + (Ay+By) } = C cos(ec) î + C sin(ec) } c = [*] = C2 + C} 0c = tan-1 Cy Cx x La somma può essere effettuata tramite la scomposizione dei vettori (proiezione su assi cartesiani) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 3 A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 STUDIORU UNIVERSI UM .

Prodotti fra vettori

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Prodotti fra vettori Sappiamo già moltiplicare uno scalare per un vettore Å = Axî + Ay}+ Azk -> 3Å = 3Axî+ 3AyÎ+3Azk Se abbiamo a che fare con il prodotto di due vettori, si possono definire 2 diverse operazioni che useremo per descrivere fenomeni fisici di diversa natura: · Prodotto scalare > risultato è uno scalare (definito da un solo numero) · Prodotto vettoriale > risultato è un vettore P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 4

Prodotto scalare

Prodotto scalare S = A . B = AB cos 0 Dove S è una quantità scalare data dal prodotto dei moduli di A e B moltiplicati per il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori A e B ◌⃗ θ B 180° > 0 > 90° ◌⃗ B S = À · B < 0 0 = 90° > min ◌⃗ ◌⃗ B S = A . B = AB cos 0 = AB 90° > 0 > 0° ◌⃗ B S = A . B > 0 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 5 Nel prodotto scalare vale la proprietà commutativa -> A . B = B . A STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A.D. 962 A · PARMENSIS B S = A . B = AB cos 0 = 0 0 = 0° -> MAX

Prodotto scalare in sistema di riferimento

STUDIORU VERSI UM - UNI ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 S = À · B Å = Axî + AyÎ+ Azk B = Bxî + ByÎ + Bzk Formalmente ogni singola componente è costituita da un numero scalare (es. estensione del vettore A lungo l'asse x) moltiplicato per il versore corrispondente (es. î per l'asse x) A · B = (Axî + Ay] + Azk) · (Bxî + By] + Bzk) = AxBx î·î+AxByÎŤ+AxBzηk+ +AyBx}·î+AyByĵ·ĵ+AyB2}+ +AzBxkĩ+AzByk-ĵ+AzBz S = A . B = AxBx + AyBy + AzBz Svolgiamo il prodotto I versori î, j e k sono per definizione del nostro sistema di riferimento cartesiano ortogonali tra loro (0=90°) >î · f= î · k = ]· k=0 (più loro permutazione per proprietà commutativa) I versori sono allineati (0=0) >î·î=ĵ·ĵ= k . k=1 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica Appendice C - Elementi di Fisica - P. Mazzoldi 6 y î X + Z ĵ

Prodotto vettoriale: modulo

UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 C = À x B Dove C è un vettore. Di conseguenza non possiamo descriverlo solo con un numero ◌⃗ θ B 0 = 90° > MAX ◌⃗ B C = AB sin 0 = AB 0 = 0° > min ◌⃗ B C = AB sin 0 = 0 Modulo del prodotto vettoriale è pari all'area di questo parallelogramma (collassa a 0°, rettangolo con area massima a 90°) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 7 Il modulo di questo vettore è dato da: C = AB sin ℮ STUDIORU

Prodotto vettoriale: direzione e verso

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 C = A x B Il modulo di questo vettore è dato da: C = AB sin 0 Bx A = C 1. θ B À x B = - C La direzione del vettore è ortogonale al piano che contiene i due vettori (quindi il vettore C è ortogonale ad entrambi i vettori dell'argomento del prodotto vettoriale) Il verso è determinato dalla regola della mano destra C = A x B > allineo dita della mano destra lungo il primo vettore (A) orientando la punta delle dita nel verso concorde ad esso e le faccio ruotare secondo l'angolo minore possibile (0) sul secondo (B). Il pollice della mano indica il verso Per convenzione, indichiamo come positiva una rotazione antioraria delle dita (ovvero un vettore "uscente" dal foglio/lavagna) Nel prodotto vettoriale NON vale la proprietà commutativa > cambiando l'ordine, stesso modulo, ma cambia il segno P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 8

Prodotto vettoriale in sistema di riferimento

STUDIORU VERSI UM - UNI ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 Č = À x B Å = Axî + Ay}+ Azk B = Bxî + By] + Bzk Formalmente ogni singola componente è costituita da un numero scalare (es. estensione del vettore A lungo l'asse x) moltiplicato per il versore corrispondente (es. î per l'asse x) + z ĵ y î x AxB = (Axî + AyÎ+ Azk) × (Bxî + ByÎ+Bzk) =AxBxîXÃ+AxBy îx]+AxB2 îxk + +AyBxĵ×î+AyByĵXÃ+AyBz ĵ×Ê + +AzBx k×î+AzBy|kxĵ+AzBĄkxk Il prodotto vettoriale di versori allineati (0=0°) è nullo î×î=ĵ×ĵ=kxk=0 Il prodotto vettoriale tra versori che identificano un piano vale îxĵ=k ĵ×k=î k×î=ĵ ĵ×î =- k kxĵ =- î îxk =- ĵ (regola della mano destra) C = A x B = (AyBz - AzBy )î + (AzBx - AxBz)} + (AxBy - AyBx)k Appendice C - Elementi di Fisica - P. Mazzoldi P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 9

Prodotto vettoriale in sistema di riferimento: Determinante

STUDIORU VERSI UM - UNI ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 C = À x B À = Axî + AyÎ+ Azk B = Bxî + By] + Bzk Quanto trovato può essere condensato dicendo che C è il determinante della seguente matrice ◌⃗ ◌⃗ ↑ ん Az Bz î + C = Ax Ay Bx By Az Bz Ax Bx By ◌⃗ ◌⃗ î- Ax ↑ ん Az Ay Az By Ax Bx By Bz Poi si continua analogamente muovendosi verso destra sul versore j C = A x B = (AyBz - AzBy )î + (AzBx - AxBz)} + (AxBy - AyBx)k P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 10 ĵ y î x z Č = |Ax Ay Bx By

Cinematica del punto materiale

STUDIORU UNIVERSI UM . A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 Cinematica del punto materiale P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 11

Cinematica: Descrizione del moto

STUDIORU JERSI UM . UNI ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 Studia il moto dei corpi (descrizione matematica del moto) senza curarsi delle cause che l'hanno prodotto (moto come tale) ! APPROSSIMAZIONE > Consideriamo i corpi come punti materiali, ovvero entità di dimensioni trascurabili rispetto alle dimensioni del sistema che stiamo considerando Per descrivere un moto -> (1) sistema di riferimento (assi cartesiani, moto sempre descritto relativamente ad esso), (2) metodi fisici per misurare spazio e tempo, (3) metodi analitici per rappresentare e relazionare queste grandezze P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 12

Posizione e spostamento

Localizzare un punto P nello spazio circostante ad un istante iniziale 1. Scelgo un sistema di coordinate cartesiane x,y con origine O (es. 2d) 2. Descrivo posizione di P rispetto al sistema scelto tramite vettore posizione y Pi - Δε Ti Pf rf O x Consideriamo l'intervallo temporale At = tf - ti Punto si sposta nel tempo > definisco un altro vettore posizione per il punto P ad un istante finale Ti = XiÎ + yij `s =xfî+yfÎ Definisco lo spostamento del punto P > Ar = rf - ři = (xf - xi)î + (yf - Vi)} Lo spostamento ha le dimensioni di una lunghezza e la sua unità di misura (SI) è il m STUDIORU JERSI UM . UN ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 13

Esempio: Spostamento della guardia costiera

STUDIORU ERS UM . UNI ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 Una barca della guardia costiera si trova ad una distanza dalla base di 35 km, con direzione 52° (tra) Ovest-Nord. Una piccola barca di pescatori si trova in difficoltà, ferma a 24 km dalla stessa base in direzione 18° (tra) Est-Sud. Disegnare la situazione descritta in termini vettoriali con un sistema di coordinate cartesiane 2d. Descrivere il vettore spostamento della guardia costiera per soccorrere la barca di pescatori. N Guardia costiera 35 km O 52° 18 24 km Pescatori 02 2 T 2 S r1 = 35km = 3.5 × 104m 01 = 180° - 52° = 128° r2 = 24km = 2.4 × 104m 02 =- 18° ! Coerenza negli angoli ! (rispetto x pos.) y 01 E rỉ X ri = 11 (cos 01 î + sin 01 }) ri = 35 km (-0.61 î + 0.79 ) = (-21.5 km)î + (27.6 km) } Posizione pescatori T2 = 12 (cos 02 î + sin 02 ]) r2 = (22.8 km)î + (-7.4 km) } P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 14 Posizione guardia costiera

Esempio: Calcolo dello spostamento

STUDIORU ERS UM . ALMA A.D. 962 03 01 r1 Δr X 02 T 2 Devo arrivare ad r partendo da ri > Lo spostamento che la barca della guardia costiera deve compiere per prestare soccorso al peschereccio è descritto dal vettore Ar = n -n Ti = (-21.5 km)î + (27.6 km) } T2 = (22.8 km)î + (-7.4 km) } = (22.8 km + 21.5 km)î + (-7.4 km - 27.6 km)} = = (44.3 km)î + (-35 km)} La distanza fra le due barche non è altro che il modulo del vettore Ar Ar = |Ar| = Ar} + Ar2 7 = 1(44.3 km)2 + (-35 km)2= 56.5 km = 5.65 x 104m La direzione del vettore Ar è data dall'angolo 03 Dry Drx = tan-1 -35 km 03 = tan-1 44.3 km = - 38.3º P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 15 POD A . PARMENSIS

Velocità media

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A.D. 962 La velocità di un corpo è un vettore che ci dice la rapidità con la quale questo varia la sua posizione Ař=řs-ři (v) = rf - ři tf -ti = Δ𝑟𝑟 ◌⃗ Δt At = tf - ti Ha le dimensioni di una [LT-1] -- > misurata nel SI in m/s y Pi Δε Ti Pf rf O x Velocità media di un corpo è un concetto relativo ad un intervallo di tempo finito -- > in molti casi non da un'informazione fisica completa perchè dipende dagli istanti di tempo considerati Es. Percorso in linea retta 100 m (monodimensionale) in un'intervallo temporale di 50 s -- > questo non mi dice che il percorso sia stato affrontato tutto a 2 m/s P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 16 A · PARMENSIS

Velocità media come rapporto incrementale

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A.D. 962 x [m] Consideriamo un corpo che si muove nel tempo nella sola direzione x x(t + At) <0>= [x(t + At) - x(t)] î (t + △t)-t = x(t + At) -x(t) Δt î x(t) t t + At t [s] x(t + At) -x(t) θ Δt La (1) è la "pendenza" di questa retta -- > esprime la tg (0), ma non è adimensionale! P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 17 A · PARMENSISEsempio

Esempio: Velocità media di un proiettile

UNIVERSI UM . ALMA · A.D. 962 Qual'è la velocità media di un proiettile sparato da una carabina? 000000 (v) = x(t + At) -x(t) x(t + At) -x(t) Δt In questo esperimento si misura il tempo necessario al proiettile per attraversare uno spazio di 1.5 m x(t + At)-x(t) = 1.5 m t = 5.8 × 10-3s I x(t + At) x(t) | 1.5 m (2): ~ 258 m/s 5.8 × 10-3s https://www.youtube.com/watch?v=q9|WoQ199_o (minuto 15) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 18 (t + At) - t STUDIORU A · PARMENSIS