La Coniche: Parabola e Iperbole, Presentazione Università eCampus

Slide dall'Università degli Studi eCampus su La Coniche - Parabola, Iperbole. Il Pdf, una presentazione di Matematica di livello universitario, definisce la parabola come luogo geometrico, illustrandone l'equazione, l'asse e la concavità, e le soluzioni dell'equazione di secondo grado.

30 Pages

Corso di Laurea:

Insegnamento:

Lezione n°:

Titolo:

Attività n°:

ECONOMIA E COMMERCIO

METODI MATEMATICI

LA CONICHE - PARABOLA, IPERBOLE

7-5-3 LA PARABOLA

Corso di Laurea:

Insegnamento:

Lezione n°:

Titolo:

Attività n°:

ECONOMIA E COMMERCIO

METODI MATEMATICI

LA CONICHE - PARABOLA, IPERBOLE

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla

direttrice si chiama asse della parabola.

L’asse della parabola è un asse di simmetria e interseca

la parabola nel vertice.

La concavità della parabola dipende dal parametro a,

coefficiente del termine in

Se a > 0 la parabola è rivolta verso l’alto

Se a < 0 la parabola è rivolta verso il basso

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Corso di Laurea e Insegnamento

Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO Insegnamento: METODI MATEMATICI Lezione nº: 11 Titolo: LA CONICHE - PARABOLA, IPERBOLE Attività nº: 1 TA Facoltà di Economia

La Parabola

Definizione di Parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco). Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo: y = ax +bx+c con a ± 0 (nel grafico a>0)

Formule della Parabola

JA b x= 2a 0 + 1 1-A x 4a F 4a V J =_ 1+4 4a

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Asse e Vertice della Parabola

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.

Concavità della Parabola

La concavità della parabola dipende dal parametro a, coefficiente del termine in x2 Se a > O la parabola è rivolta verso l'alto Se a < 0 la parabola è rivolta verso il basso

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Elementi Caratteristici della Parabola

ELEMENTI CARATTERISTICI Asse B 2a Vertice b 2a 4a Fuoco b 1-4 F = 2a 4a Direttrice 1+4 y= 4a

Caratteristiche dell'Equazione della Parabola

Le caratteristiche della parabola variano a secondo che l'equa- zione sia, nel secondo membro, Completa : a +0 .... b # 0 ... c = 0 ...... y = ax +bx+c Pura: a 0 .... b = 0 ... c # 0 ...... y = ax2 +c Spuria a = 0 .... b + 0 ... c = 0 ..... y= ax2 +bx

Tipi di Parabole

PARABOLE Equazione |y = ax + bx + c y = ax + c(b = 0) |y = ax2 + bx(c = 0) y = ax' (b = c = 0) Figure

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Determinazione dei Coefficienti della Parabola

Anche nell'equazione della parabola (come in quella della circonferenza) ono presenti tre coefficienti a, b e c. Per poterli determinare occorrono tre condizioni: Alcune possibili condizioni sono le seguenti:

le coordinate del vertice e del fuoco;
la parabola passa per tre punti non allineati;
la parabola passa per due punti e si conosce l'equazione dell'asse
la parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice o del fuoco .

Intersezione della Parabola con l'Asse delle X

Studiando in particolare l'intersezione della parabola con asse parallelo all'asse y con l'asse delle x dovremmo studiare il seguente sistema: y=ax2 +bx+c y = 0 che diventa quindi lo studio dell'equazione ax2 +bx+c=0 l'equazione canonica di secondo grado.

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Soluzioni dell'Equazione di Secondo Grado

Il numero di soluzioni di questa equazione dipendono dal suo ∆ ed analogamente la rappresentazione grafica della parabola in oggetto avrà tre diverse posizioni rispetto all'asse delle ascisse a secondo del ∆ Si ricordano le soluzioni dell'equazione di II^ grado (auspicando che questo richiamo non serva !! ) . 6,2 = -b±vb2-4ac 2a △=b2 -4ac

Parabola con Concavità verso l'Alto e Delta Positivo

Sia a maggiore di zero, cioè si abbiano parabole con concavità verso l'alto. Se 4> 0 (4 = b2 - 4 ac positivo) La corrispondente funzione y = ax2 +bx+c è una parabola che interseca l'asse delle x nei 2 punti che hanno per coordinate le 2 soluzioni distinte dell'equazione ax2+bx+c=0

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Parabola con Concavità verso l'Alto e Delta Uguale a Zero

Se 4= 0 (4 = b2 - 4 ac uguale a zero) La corrispondente funzione y= ax +bx +c è una parabola tangente all'asse delle x nell'unico punto che ha per coordinata la soluzioni dell'equazione. ax2 + bx + c = 0 Più precisamente è un punto doppio, cioè un punto in cui due punti coincidono.

Parabola con Concavità verso l'Alto e Delta Negativo

Se 4< 0 (4 = b2 - 4 ac negativo) La corrispondente funzione y = ax2 +bx +c è una parabola che non interseca mai l'asse delle x , non avendo mai soluzioni (reali) la corrispondente equazione . ax2 +bx+c=0

Soluzioni dell'Equazione di Secondo Grado e Intersezioni

Quindi le soluzioni dell'equazione di secondo grado y = ax2 + bx + c non sono altro che le intersezioni della corrispondente parabola di equazione ax +bx+c=0 con l'asse delle ascisse.

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Parabole con Asse di Simmetria Orizzontale

Sinora abbiamo esami- nato parabole con asse di simmetria l'asse delle ordinate o una retta ad esso parallela. Analoghe proprietà valgo- no per le parabole con asse parallello all'asse delle ascisse. La loro equazione è x =ax2 +bx+c Parabola con asse di simmetria orizzontale: X = ay2 + by + c d VE

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L'Iperbole

Definizione di Iperbole

7-5-4 L'IPERBOLE L'iperbole è' il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. La equazione generale dell'iperbole equilatera è k y = - x

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Equazione Generale dell'Iperbole

L'equazione generale della iperbole si specializza e si Asintoto a1 : y =- Asintoto a2 : y = X 5 4 = (0, 3) 2. F. (Fuoco) F2 (Fuoco) -6 -4 =2 2 6 A (3.0) 2 3 B, = (0, -3) -5. 1 -6 b

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Approfondimento

Attività di Approfondimento

Attività 2- Approfondimento Abbiamo fatto un rapido excursus nella Geometria analitica tenendo di vista soprattutto le parti che sono base per le successive trattazioni di analisi. Per avere un quadro riassuntivo generale si può utilizzare il seguente schema pubblicato anche sul sito www.matematika.it

Schema Riassuntivo di Geometria Analitica

SCHEMA RIASSUNTIVO http://www.matematika.it/public/allegati/35/Geometria_analitica_sin tesi_2_3.pdf

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