Lezione 13: Numeri complessi e loro operazioni, Università di Torino

Numeri complessi I

Alan Cigoli Algebra 1 a.a. 2024/25, CdL in Matematica, Università di Torino

L'insieme C dei numeri complessi e le sue operazioni

Abbiamo visto come si costruiscono successivamente Z, Q ed R. Il prossimo obiettivo è di estendere R e le sue operazioni ad un insieme più grande che permetta di estrarre radici quadrate senza restrizioni. Si dice insieme dei numeri complessi, l'insieme C=Rx R = {(x, y) | x, y ER}. Definiamo ora l'addizione e la moltiplicazione, per ogni (x, y), (x', y') E C come (x, y) + (x', y') = (x+x', y +y') (somma componente per componente) (x, y) . (x', y') =(xx'-yy', xy' + yx') (prodotto). Cigoli - Alg 1 - Lez 13 1 / 20

Proprietà dell'addizione in C

È facile verificare che l'addizione +: Cx C > C è commutativa e associativa. Si noti che, se (x, y) è numero complesso, allora (x,y) + (0R,0R) = (x + 0R,y + 0R) = (x,y). Il numero complesso (OR, OR) si chiama zero di C e si indica col simbolo 0c. Inoltre, si ha che (x, y) +(-x,-y) =(x-x,y-y) = (OR,OR). Chiamiamo opposto di (x, y) il numero complesso (-x, -y) e lo indichiamo con il simbolo -(x, y). Pertanto, ogni numero complesso (x, y) ha un opposto -(x, y) =(-x,-y). Cigoli - Alg 1 - Lez 13 2 / 20

Proprietà della moltiplicazione in C

Anche la moltiplicazione : Cx C > C è commutativa e associativa. Si noti che, se (x, y) è numero complesso, allora (x, y) . (1R, OR) = (x .1R -y . OR, X . OR +y .1R) = (x, y). Il numero complesso (1IR, OR) si chiama uno di C e si indica con 1c. Si dimostra facilmente che per ogni z E C, z · 0c = 0c. Vale inoltre la proprietà distributiva, cioè per ogni u, v, w E C si ha che (u + V) . W = U . W + V . W. Un numero complesso z E C si dice invertibile rispetto al prodotto se esiste un numero complesso w E C tale che z . w = 1c. Se esiste, tale w è unico, infatti se w, w' sono due numeri complessi tali che Z . W = Z . w' = 1c, allora w' = w' . 1c = w' . (z . w) = (w' . z) . w = 1c . W = W. Chiameremo w inverso (moltiplicativo) di z e lo indicheremo con z-1. Tutti i numeri complessi hanno un opposto ma non tutti hanno un inverso. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 3 / 20

Lemma: invertibilità di un numero complesso

Un numero complesso è invertibile se e solo se è non nullo. Più precisamente, se (x, y) # (0,0), allora in C (x, y)-1 = ( x x2 + y2' x2+ y2 -y Dimostrazione. Indichiamo con CX l'insieme degli elementi invertibili rispetto al prodotto e dimostriamo che CX = C \ {0c}. (C) Sia z E CX, allora per ipotesi esiste il suo inverso z-1. Se fosse z = 0c, allora avremmo 0c = 0c · z-1 = z · z-1 = 1c. Ovvero 0c = 1c, cioè (OR, OR) = (1R, OR), da cui OR = 1R, assurdo. Pertanto z = 0c. (2) Sia z E C\ {0}. Se z = (x, y) ER x IR, la condizione z = 0c significa (x, y) (OR, OR) cioè XOR Vy #OR. In particolare, x2+y2 0. Allora x2+ y2 è invertibile in R e dalla definizione di prodotto si ottiene facilmente che (x, y) . -y ( x x2 + y2' x2+ y2 ) =(1R, OR) = 1c. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 4 / 20

Lemma: legge di annullamento del prodotto

Dati z, w E C, z . w = 0c => Z= 0c Vw= 0c. Dimostrazione. Se z #0c, allora è invertibile per il lemma precedente. Dall'ipotesi z · w = 0℃ segue che W = 1c . W = (z-1 . z) . w = z-1 . (z . w) = z-1 .0c = 0c, dove la terza uguaglianza vale per l'associatività della moltiplicazione in C. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 5/ 20

Immersione di R in C

Proposizione sull'immersione

La funzione jc : IR > C, X => (X,OR) è iniettiva e rispetta le operazioni di addizione e moltiplicazione. Ovvero, per ogni x, y € R jc(x+y)=jc(x)+jc(y), jc(OR) = 0c, jc(x.y)=jc(x).jc(y), jc(1R) = 1c. Tale funzione è detta immersione di R in C. Dimostrazione. La funzione è iniettiva perché se jc(x) = jc(y), ovvero (x, OR) = (y, OR) in Rx R, allora x = y. Ora, per ogni x, y € R abbiamo jc(x)+jc(y)=(x,OR)+(y,OR)=(x+y,OR)=jc(x+y) jc(OR)= (OR, OR) = 0℃ jc(x) . jc(y) = (x, OR) . (y, OR) = (x . y -OR . OR, X .OR +OR . y) = (xy, OR) = jc(x . y) jc(1R) = (1R,OR) = 1℃ Cigoli - Alg 1 - Lez 13 6 / 20

Rappresentazione algebrica dei numeri complessi

Il numero complesso i = (0R,1R) ha un ruolo importante, infatti 12 = (OR, 1R) . (OR, 1R) = (OR . OR - 1R . 1R, OR . 1R +1R . OR) = (-1R, OR) =- 1c. Tale numero è detto unità immaginaria. Si vede immediatamente che, per ogni x,y in R jc(x)+i.jc(y)=(x,OR)+(OR,1R).(y,OR)=(x,OR)+(OR, y) = (x,y), ovvero (x, y) = jc(x) +i·jc(y). Identificando ogni numero reale x con la sua immagine jc(x) in C e omettendo il simbolo di moltiplicazione si ottiene la rappresentazione più sintetica (x, y) = x + iy. Ogni numero complesso si può scrivere in tale forma, che prende il nome di rappresentazione algebrica o cartesiana. La rappresentazione algebrica di un numero complesso è unica, infatti x+iy=x'+iy' >> (x, y) = (x', y') <>> x = x'Ay = y'. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 7 / 20

Forma algebrica e operazioni

Pertanto possiamo scrivere C = {x+ iy | x, y € R} · Il numero reale x è detto parte reale di x + iy; . Il numero reale y è detto parte immaginaria di x + iy . Possiamo quindi interpretare i numeri reali come speciali numeri complessi, la cui parte immaginaria è nulla. Chiamiamo immaginari (puri) i numeri complessi aventi parte reale nulla. Ricordando che i2 = - 1c e sfruttando le proprietà delle operazioni in C, possiamo calcolare somma e prodotto di due numeri complessi direttamente in notazione algebrica: (x+ iy) + (x' + iy') = x + x' + iy + iy' = (x+x') + i(y + y') (x + iy) . (x' + iy') = xx' + iyx' + xiy' + iyiy' = xx' +12yy' + ixy' + ix'y = (xx' - yy') + i(xy' + x'y) Abbiamo così ritrovato le formule per il calcolo di somma e prodotto a partire da parte reale e immaginaria dei due termini. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 8 / 20

Esempio di calcolo di un prodotto

Ecco un esempio di calcolo di un prodotto: (2+3i) . (-1+4/) =2 .(-1) +2 . 4/+3i . (-1)+3i .4/ =- 2+8/-3/+12/ ==- 2+5/+12.(-1) = - 14+5/. Esempio Nel calcolo di quozienti tra numeri complessi in forma algebrica, essendo i = v-1, possiamo adottare una strategia simile a quella della razionalizzazione di frazioni contenenti radici. Ecco un esempio: 2+i 1 - i = (1 - i)(1+i) (2+i)(1+i) = 2+2/+/+/2 12 _j2 = 2+3/-1 1-(-1) = 1+3/ 2 = 1 2 3 2 + ~i. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 9 / 20

Esercizio: risoluzione di equazione lineare

Risolvere in C l'equazione x · (i+1) +2- 3i = 0. Soluzione. Cerchiamo un numero complesso x che renda vera l'uguaglianza sopra. Procediamo come nel caso di equazioni a coefficienti reali, ricordando che ogni numero complesso ha opposto e, se non nullo, anche inverso moltiplicativo. Sommiamo ad ambo i membri l'opposto di 2 - 3/: x . (i+1) +2-31-(2-31) =0-(2-3i), per ottenere l'uguaglianza x . (i+ 1) = - 2+3i. Ora moltiplichiamo per l'inverso di (i+1): x. (+).(+)+=(-2+3i) .(i+1)-1. Infine esprimiamo x in forma algebrica calcolando il quoziente: -2+3/ X = 1+ / = -2+3/ 1 +/ 1 - i 1 - i · = -2+3/+2/-3/2 1- j2 = 2 1+5/ 5 = 1 2 2 + Cigoli - Alg 1 - Lez 13 10 /20

Risoluzione di equazioni di secondo grado

Dati a, b, c E R, con a = 0, sappiamo che la risolubilità in R dell'equazione ax2 + bx+c=0 dipende dal segno del discriminante A = b2 - 4ac. Infatti ax2 + bx+c=0 <> 4a2x2+4abx+4ac=0 <> 4a2x2+4abx + b2 = b2 -4ac (2ax+b)2 =A. Si presentano quindi due casi:

• Se A > 0, allora esiste la radice quadrata (reale positiva) VA e possiamo riscrivere l'uguaglianza precedente come (2ax + b)2 = (14)2, da cui ricaviamo due soluzioni reali dell'equazione: -b±VA ×1,2 = . 2a
• Se 4 < 0, allora 4 = - |4| = [2|4| = (iv14|)2 in C. Possiamo riscrivere l'uguaglianza precedente come (2ax + b)2 = (i\|4|)2, da cui ricaviamo due soluzioni complesse dell'equazione: ×1,2 = -b±iv|A| 2a Cigoli - Alg 1 - Lez 13 11 / 20

Esercizio: risoluzione di equazione quadratica

Risolvere in C l'equazione x2 + X + 1 = 0. Soluzione. Innanzitutto calcoliamo il discriminante: A = b2 - 4ac = 12 - 4 = - 3 < 0. Ci troviamo nel secondo caso. Le soluzioni sono X1,2 = -b±iv|A| 2a - = -1 ±iv3 2 . Verifichiamo, ad esempio, che x1 è effettivamente soluzione dell'equazione: xỉ = ,2 -1+iV3 2 2 = (-1)2+(iv/3)2+2(-1)iv3 22 = -1-iv3 2 , da cui segue immediatamente che x2 + X1 + 1 = 0. La stessa verifica si può fare con x2. Esercizio Dimostrare che per ogni numero reale negativo r esistono due numeri complessi distinti z e z' tali che z2 = (z')2 = r. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 12/ 20

Rappresentazione grafica dei numeri complessi

Un numero complesso è una coppia ordinata (x, y) E IR x R di numeri reali. Sappiamo che ogni coppia di questo tipo si può rappresentare come un punto del piano cartesiano. Questa rappresentazione grafica di C è nota come piano complesso (o piano di Argand-Gauss). Fissato un riferimento cartesiano ortogonale centrato in un punto O del piano, identifichiamo l'asse orizzontale con R e l'asse verticale con Ri = {yi | y E R} ponendo i in corrispondenza con il punto (0, 1). Rİ (3,2) = 3+2/ 2/ 1 i R O 1 3 Ogni numero complesso individua un vettore applicato nell'origine. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 13/ 20

Somma di numeri complessi nel piano

La somma di due numeri complessi corrisponde quindi alla somma di vettori tramite la nota regola del parallelogramma. Rİ (3,1) 1 1 1 O 1 R 1 1 1 1 1 1 - - - - (-1,-2) (-1,-2) + (3,1) = (2, -1) Questa rappresentazione non è altrettanto efficace nell'interpretazione del prodotto di numeri complessi. A tale scopo è più adatto un sistema di coordinate differente. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 14/ 20

Coordinate polari

Come nuovo sistema di riferimento nel piano, fissiamo un punto O, una semiretta s di origine O ed un'unità di misura per le lunghezze. Un punto qualunque P del piano è univocamente determinato dalla sua distanza r da O, ovvero la lunghezza del segmento OP, e dall'angolo e (orientato in senso antiorario) tra la semiretta s e il segmento OP. P r θ O s La coppia (r, e) prende il nome di coordinate polari di P. NB: Gli angoli saranno misurati in radianti (rad). La misura in radianti di un angolo corrisponde alla lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio 1 sotteso dall'angolo. Per esempio at rad = 180º. In generale misura in radianti = misura in gradi . 180 π Cigoli - Alg 1 - Lez 13 15/20

Cambio di coordinate

Ora sovrapponiamo un sistema di coordinate polari ad uno di coordinate cartesiane in modo che i punti origine coincidano e la semiretta s si sovrapponga alla semiretta positiva dell'asse orizzontale. In questo modo abbiamo fissato una corrispondenza fra le rappresentazioni cartesiana e polare dei punti del piano. P= (x, y) I r 1 y θ O x Dato un punto P di coordinate polari (r, 0), dalla trigonometria sappiamo che X = r cos 0, y = rsin 0. Tali relazioni forniscono le coordinate cartesiane di P. Cigoli - Alg 1 - Lez 13 16/20