Appunti di Analisi Matematica: insiemi, relazioni e numeri complessi

Insiemi numerici

Relazioni di equivalenza e ordine

Una relazione su un insieme X è un sottinsieme R del prodotto cartesiano X x X, e scriviamo xRy se (x, y) E R. Ricordiamo le seguenti proprietà:

1. riflessiva: Vx E X, xRx ;
2. simmetrica: Vx, y E X, xRy => yRx;
3. antisimmetrica: Vx, y E X, xRy e yRx => x =y;
4. transitiva: Vx, y, z E X, xRy e yRz => xRz.

Relazioni di equivalenza

Definizione 2.1 Una relazione è di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione di equivalenza si denota con il simbolo "~". Data una relazione di equivalenza poniamo per ogni x E X [x] == {y EX | x~y}, l'insieme [x] è detto classe di equivalenza di x.

Proposizione 2.2 Data una relazione di equivalenza su X, allora per ogni x, y € X tali che [x] [y] + 0 risulta [x] = [y]. Quindi le classi di equivalenza determinano una partizione di X. Possiamo dunque definire l'insieme quoziente X/ ~ == {[x] : xEX}.

Esempio 2.3 Consideriamo l'insieme delle frazioni X = {m/n | m, n € Z, n ± 0}. Si prova facilmente che la relazione su X definita da m/n ~ m'/n' > mn' = m'n è di equivalenza. Per ogni m/n € X la classe di equivalenza [m/n] è data da tutte le frazioni equivalenti a m/n. Quindi, l'insieme quoziente definisce l'insieme Q dei numeri razionali.

Relazioni di ordine

Definizione 2.4 Una relazione è di ordine se gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Una relazione d'ordine si denota con il simbolo " ≤ ".

Definizione 2.5 Una relazione d'ordine si dice totale se due elementi sono sempre confrontabili, i.e. se risulta: Vx, yEX, x≤yoy≤x.

Esempio 2.6 Se X = P(U), dove U è un insieme non vuoto, la relazione di inclusione "C" è di ordine, ma in generale non è totale. L'inclusione stretta Ç invece non è una relazione d'ordine.

Esempio 2.7 Se X = N, Z, Q, R, la relazione usuale "≤" è di ordine totale.

Sia ≤ una relazione d'ordine totale su X. Come modello teniamo in mente l'ultimo esempio fatto.

Definizione 2.8 Se A C X, si dice che un elemento M E X [m € X]] è un maggiorante [[minorante]] di A se VaEA, a≤M [a > m]] . Indicheremo poi l'insieme dei maggioranti [minoranti] di A con MA [m A]].

Definizione 2.9 Si dice che un insieme A C X è limitato superiormente [inferiormente]] se ha dei maggioranti [minoranti], i.e. se MA # Ø [mA / 0]]. Inoltre A si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente, i.e. se Em, MEX : VaEA, m≤a≤M.6 – APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA DOMENICO MUCCI Se X = R, posto M := max{|m|, |M|}, segue facilmente che A c R è limitato se e solo se EMER : VaEA, |a| < M.

Definizione 2.10 Se A C X, si dice che un numero M E X [m € X]] è il massimo [[il minimo]] di A se appartiene ad A ed è un maggiorante [minorante] di A. In tal caso si scrive M = max A [m = min A]]. Quindi M = max A > SME A VaE A, a≤M m = min A> Sme A VaEA, azm.

Osservazione 2.11 Il massimo [minimo]] può non esistere, anche se A è limitato superiormente [[infe- riormente]]. Si consideri ad esempio A = [0, 1[, per cui risulta MA = [1, +00) e quindi An MA = 0. Se però esiste, allora il massimo [minimo]] di A è unico. Infatti, se M1 = max A e M2 = max A, risulta M1 ≤ M2 e M2 ≤ M1, per cui M1 = M2.

Valgono infine le seguenti proprietà:

1. se A1 C A2 allora MA2 C MA1 [[m A2 CmA]]]
2. se A1 C A2 allora max A1 ≤ max A2 [min A] > min A2]] qualora i massimi [minimi] esistano
3. se A e B hanno massimo [minimo]], allora anche l'unione A U B ha massimo [minimo] e risulta max(AU B) = max{max A, max B} [min(AU B) = min{min A, min B}] .

I numeri reali

Assiomi algebrici

L'insieme Q dei numeri razionali gode delle seguenti propretà algebriche:

1. l'addizione, +, è associativa
2. l'addizione è commutativa
3. l'addizione ha elemento neutro, 0
4. ogni numero ha inverso rispetto alla addizione (detto l'opposto)
5. la moltiplicazione, ·, è associativa
6. la moltiplicazione è commutativa
7. la moltiplicazione ha elemento neutro, 1
8. ogni numero diverso da zero ha inverso rispetto alla moltiplicazione (detto il reciproco)
9. la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione
10. se a ≤ b, allora per ogni c si ha a + c ≤b + c
11. se a ≤ b, allora per ogni c ≥ 0 si ha a . c ≤ b . c.

L'insieme R dei numeri reali è definito in modo assiomatico come un insieme X = R munito di due leggi di composizione interna, addizione e moltiplicazione, e di una relazione d'ordine totale tali che valgano le proprietà algebriche 1 .- 11. sopra elencate ed in più la seguente proprietà di separazione.

Assioma di Dedekind

Definizione 2.12 Se A, B sono due sottoinsiemi non vuoti di R tali che Va E A, Vb E B, a ≤b (2.1) allora EcER : VaEA, VbEB, a≤c

Retta reale estesa e intervalli

Definiamo la retta reale estesa come R = RU {-00, +00}. Ricordando che x < y > x ≤ye x+y, l'insieme R diventa totalmente ordinato se si pone -00 < < +00 VIER. Estendiamo inoltre le operazioni di addizione e moltiplicazione ponendo Vx < (+00), x+(-00) =- 00, x> (-), x + (+00) = +00, x >0, x .(+00) =+00, Vx>0, x.(-) =- 00, Vx<0, x. (+0) =- 00, x <0, x . (-) =+00.

Osservazione 2.13 Non sono definite (e quindi non hanno senso) le operazioni (+00)+(-0) e 0 . (±00) .

Definizione 2.14 Un sottoinsieme I di R si dice un intervallo se Vx,yEIconx {zER:x <<< y} CI. Si verifica facilmente che gli intervalli di R sono tutti del tipo [a, b] = {x ER : a ≤x≤b} Ja, b] = {x ER : a < x

I numeri razionali

L'insieme Q dei numeri razionali è definito mediante classi di equivalenza di frazioni, cf. l'esempio 2.3. Tutti i numeri razionali sono reali, ma l'insieme dei numeri reali contiene strettamente l'insieme dei razionali, Q Ç R. Mostriamo intanto che:

Proposizione 2.15 V2 ¢ Q.

DIMOSTRAZIONE: Se per assurdo v2 € Q, possiamo scrivere v2 = m/n, con m, n € N+ e primi tra loro. Si avrebbe m2/n2 = (m/n)2 = 2, quindi m2 = 2n2, dunque m è pari, essendolo il suo quadrato. Scritto m = 2s, con s E N+, abbiamo 4s2 = m2 = 2n2, da cui n2 = 2s2 ed anche n dovrebbe essere pari, essendolo il suo quadrato. Questo non è possibile, perchè m ed n sono primi tra loro.

Dall'assioma di Dedekind, risulta poi che v2 € R :

Esempio 2.16 Poniamo A := {x € Q | x < 0 0 x2 ≤ 2} e B = Q | A. Gli insiemi A e B sono entrambi non vuoti e verificano (2.1). Un elemento separatore di A e B esiste ed è c = 12. Dato che tale elemento separatore è unico, cf. la (2.2), concludiamo che v2 E R.

La proprietà di Dedekind non vale sui razionali

L'insieme Q dei razionali non verifica la proprietà di Dedekind. Infatti, esistono sottinsiemi A, B C Q che verificano (2.1) ma che non hanno elemento separatore in Q, i.e. per i quali ACEQ : VaEA, VbEB, ascb. (2.2) Presi infatti A e B come nell'esempio 2.16, se esistesse un elemento separatore c in Q, allora c € A o c E B. In entrambi i casi otteniamo un assurdo. Supposto c E A, si ha c > 0 e c2 < 2, in quanto v2 ¢ Q. Si dimostra che En EN+ : (c+1/n)2 <2. Questo dà l'assurdo, in quanto a := c+ 1/n € Q e a2 ≤ 2, quindi a € A, ma a > c, per cui c non sarebbe elemento separatore di A e B. Quindi c ¢ A. Analogamente, supposto c E B si ottiene un assurdo mostrando che: En EN+ : (c-1/n)2 >2.DOMENICO MUCCI APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA - 8

Osservazione 2.17 La non esistenza di un elemento separatore razionale si verifica in maniera analoga in prossimità di tutti i punti della retta reale. Questo corrisponde al fatto che l'insieme dei razionali è " bucherellato" e che i buchi vengono riempiti dai numeri reali, grazie all'assioma di Dedekind.

Densità dei razionali

Si dimostra che l'insieme dei numeri reali che hanno rappresentazione decimale periodica coincide con Q.

Osservazione 2.18 Si noti però che, ad esempio, 0,9 = 1.

Anche se l'insieme Q è "bucherellato", vicino ad ogni reale si trova sempre un razionale. Grazie al principio del minimo intero, cf. la proposizione 2.54, si dimostra infatti la seguente

Proposizione 2.19 Ogni intervallo aperto non vuoto di R contiene almeno un numero razionale.

Dalla definizione 2.14 di intervallo, segue che la densità dei razionali è equivalente alla proprietà Va,BER: a

Estremo superiore

Sia X un insieme dotato di un ordinamento totale. La nozione di estremo superiore generalizza il concetto di massimo di un insieme.

Definizione 2.20 Se A C X è un insieme non vuoto e limitato superiormente [inferiormente]], si dice che un numero L [U] in X è estremo superiore [inferiore]] di A se è il più piccolo dei maggioranti [[il più grande dei minoranti]] di A. In tal caso si scrive L = sup A [l = inf A]]. Essendo sup A = min MA e inf A = max mA, l'estremo superiore [inferiore] se esiste è unico. Inoltre:

Proposizione 2.21 Se A ha massimo [[minimo]], allora questo è anche l'estremo superiore [[inferiore]].

Teorema di esistenza dell'estremo superiore

L'assioma di Dedekind implica l'esistenza dell'estremo superiore in R.

Teorema 2.22 Ogni insieme A C R non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore.

DIMOSTRAZIONE: Posto B = MA, gli insiemi A e B sono entrambi non vuoti, in quanto A è limitato superiormente. Inoltre vale (2.1), dal momento che Va E A, VMEMA, a≤M. Sia L E R un elemento separatore di A e B. Abbiamo VaEA, VMEMA, a≤L≤M. La prima disequaglianza ci dice che L è un maggiorante di A mentre la seconda che L è il più piccolo tra i maggioranti di A, dunque L = sup A. In particolare, l'elemento separatore di A e MA è unico. Se A C R non è vuoto, la scrittura sup A = +00 [inf A = - co]] significa che A non è limitato superiormente [inferiormente]. Quindi: sup A = to >> VM ER, Ja E A : a > M, inf A = - > <> Vm ER, Ja E A : a

Definizione 2.23 Se A c R, chiamiamo opposto di A l'insieme -A = {-a : a € A} degli opposti degli elementi di A. Osservando infatti che M_A = - ma em-A = - MA si ottiene la seguente